平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、学习必备欢迎下载平面对量 复习基本学问点及经典结论总结1、向量有关概念：（ 1） 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示，留意不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）；如已知 a （ 1,2）， b（ 4,2），就把向量ab 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，留意 零向量的方向是任意的；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 ab 共线的单位向量是（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；ab ；|

2、ab |（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ， 规定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（由于有 0 ；三点a、b、c共线ab、ac共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；如 以下命题：（ 1）如 ab ，就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；（ 3）如 abdc ，就 abcd 是平行四

3、边形；（ 4）如 abcd 是平行四边形， 就 abdc ；（ 5）如 ab ,bc，就 ac ；（ 6）如a / b, b / c ，就a / c ；其中正确选项 （答：（ 4）（ 5）2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ab ，留意起点在前，终点在后；（ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i， j 为基底，就平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如

4、向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2，使 a=1 e12 e2；如（ 1）如 a1,1,b1, 1,c1,2 ，就 c （答： 1 a3b ）；224 、 实 数 与 向 量 的 积 ：实 数与 向 量 a 的 积 是 一 个 向 量 ， 记 作a ， 它 的 长 度 和 方 向 规 定 如 下 ：1aa ,2 当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反，当 0时，a0 ， 留意 ：a 0；5、平

5、面对量的数量积：（ 1）两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作 oaa ,obb ，aob0称为向量 a ， b学习必备欢迎下载的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直；2（ 2）平面对量的数量积：假如两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量| a |b | cos叫做 a 与 b的数量积（或内积或点积），记作： ab ，即 ab a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量；如（ 1） abc 中，| ab |（答： 9）；3 ，| ac |4 ，| bc |5 ，就 abbc （

6、3）b 在 a 上的投影 为 | b | cos，它是一个实数， 但不肯定大于0；如 已知 | a |3 ，| b |5 ，且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影为 （答：12 ）5（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积；（ 5） 向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，就：abab0 ；当 a ， b 同2向时， ab a b ，特殊地， a22aaa, aa；当 a 与 b 反向时， ab a b ；当为锐角时，ab 0，且 a、b 不同向， ab0 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， ab 0，

7、且 a、b 不反向，ab0 是为钝角的必要非充分条件；非零向量a ，b 夹角的运算公式： cosaba b； | ab | | a | b | ；4如（ 1）已知 a,2 ，b3,2 ，假如 a 与 b 的夹角为锐角， 就的取值范畴是 （答：或03且1 ）； 36、向量的运算：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行，但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法仍可利用 “三角形法就” ：设aba, bcb ，那么向量ac 叫做 a 与 b 的和，即 ababbcac ；向量的减法：用“三角形法就”：设aba,acb, 那么ababacca，由减向量的终点指向被

8、减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如（ 1 ） 化简：abbccd ； abaddc ； abcd acbd （答：ad ； cb ； 0 ）；（ 2）坐标运算 ：设 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，就： 向量的加减法运算： abx1x2 ， y1y2 ；如（ 1） 已知点a2,3, b5,4， c 7,10 ，如apabacr ，就当 时，点 p 在第一、三象限的角平分线上（答：1 ）；2 实数与向量的积：ax1 , y1x1,y1；学习必备欢迎下载如 a x1,y1 , bx2 ,y2 ，就abx2x1, y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段

9、的终点坐标减去起点坐标；如 设111,7,9 ）；3a2,3, b1,5 ，且 ac1ab， ad 33ab ，就 c、d 的坐标分别是（答： 平面对量数量积： abx1x2y1 y2 ；如已知向量 a （ sinx ，cosx）,b （sinx ，sinx ）,c （ 1，0）；（ 1）如 x ，求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）如 x 33, ，函数84f xab 的最大值为1 ，求的值（答：21150;21 或21 ）；2 向量的模 ：| a |2x2y2 , a| a |2x2y2 ；如已知a, b 均为单位向量， 它们的夹角为60 ，那么 | a3b | （答：13 ）； 两点间的

10、距离 ：如ax y1, 1 b, x y2 , 2， 就 | ab |2x2x1y2y12；如 如图，在平面斜坐标系xoy中，xoy60 ，平面上任一点p 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：如opxe1ye2 ，其中e1, e2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，就 p 点斜坐标为 x, y ；（ 1）如点 p 的斜坐标为 （2， 2），求 p 到 o 的距离 po；（ 2）求以 o 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程；（答：（ 1） 2；（ 2） x2y2xy10 ）；7 、 向 量 的 运 算 律 ：（ 1 ） 交 换 律 ： abba ，aa ， abba ； 2 结

11、合 律 ：abcabc, abcabc，ababab； （3）分配律：aaa,abab ， abcacbc ；如以下命题中： a bca bac ；a b ca b c ； ab2| a |22 | a | | b | b |2 ；如 a b0 ，就 a0 或 b0 ；如a bc b,2就 ac ； a2a bba ；2； a b222ab ； ab 2aa22a2a bb；其中正确选项 （答：）提示：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记

12、两向量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律，即abcabc ，为什么？8 、向量平行 共线 的充要条件：a / bab a b2| a | b |2x1 y2y1 x2 0 ； 如 1 如向量a x,1, b4, x ，当 x 时 a 与 b 共线且方向相同（答：2）；学习必备欢迎下载9、 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：abab0| ab | | ab |x1 x2y1 y20. 特 别 地 a ba ca ba c3 ）；如1 已知 oa1,2,ob3,m ，如 oaob ，就 m（答：a ba ca ba c210. 线段的定比分点：1 p21212 ，（ 1）定比

13、分点的概念：设点 p 是直线 p上异于 p 、p的任意一点， 如存在一个实数，使 pppp就叫做点 p 分有向线段p1p2 所成的比， p 点叫做有向线段p1p2的以定比为的定比分点；（ 2）的符号与分点p 的位置之间的关系：当 p 点在线段p1 p 2 上时>0；当 p 点在线段p1 p 2 的延长线上时< 1；当 p 点在线段p 2 p1 的延长线上时10 ；如点 p 分有向线段p1p2所成的比为，就点 p 分有向线段p2 p1 所成的比为1 ；如如点 p 分 ab 所成的比为3 ，就 a 分 bp 所成的比为 （答：7 ）43（ 3）线段的定比分点公式：设p1 x1 ,y1

14、、p2 x2 , y2 ，p x, y分有向线段p1p2所成的比为，就1xx1x2xx1x2 21yy1y2 1，特殊地，当 1 时，就得到线段p p 2的中点公式yy1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时，应明确 x,y ， x1 , y1、 x2 ,y2 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标；在详细运算时应依据题设条1件，敏捷地确定起点， 分点和终点， 并依据这些点确定对应的定比；如（ 1）如 m（ -3，-2），n（ 6，-1），且mpmn， 3就点 p 的坐标为 （答：6,7 ）；311. 平移公式 ：假如点p x,y 按向量ah, k平移至p x , y ，就xxhyyk；曲线f

15、x, y0 按向量ah,k平移得曲线f xh, yk0 .留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2） 向量平移具有坐标不变性， 可别忘了啊！ 如（1）按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ，就按向量 a 把点 7,2 平移到点 （答：（，） ）；（ 2）函数 ysin2x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是ycos 2 x1 ，就 a （答： ,1 ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要留意运用；（ 2） | a | b | | ab | | a | b | ，特殊地，当a、b 同向或有 0| ab | | a

16、 | b |a | b | | ab |； 当 a 、 b反 向 或 有 0| ab | a|b| |a|b| |a |b； 当 a 、 b不 共 线| |a|b| |a |b|a | |这b 些和实数比较类似.学习必备欢迎下载（ 3）在abc 中，如a x , y, bx , y,cx, y，就其重心的坐标为gx1x2x3 , y1y2y3；11223333如如 abc的三边的中点分别为 （ 2，1）、（ -3 ，4）、（ -1 ，-1 ），就 abc的重心的坐标为 （答：24, ）；33 pg1 papbpc 3g 为abc 的重心，特殊地papbpc0p 为abc 的重心； papbpbpcpcpap 为abc 的垂心；向量ab| ab |ac 0 所在直线过abc 的内心 是bac 的角平分线所在