平面向量题型归纳

1、平面对量题型归纳一向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】uuur1 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，记作：abr或 a ；留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示，留意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）；uuur例：已知 a （ 1,2）， b（ 4,2），就把向量abr按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是uuurr2.向量的模 ：向量的大小（或长度），记作： | ab |或 | a | ；3 零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，留意 零向量的方向是任意的；rruuur4 单位向量 ： 单位向量 ：长度为1 的向量；如e 是单位向量，就| e|1；

2、与 ababuuur共线的单位向量是uuur ；| ab |5 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：ab ，规定零向量和任何向量平行；提示 ： 相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！（由于有 0 ；uuuruuur三点 a、b、c共线ab、ac共线；如图，在平行四边形abcd 中，以下结论中正确选项（）uuuruuura. abcduuur

3、uuuruuurc. adabacuuuruuuruuurdcb. abadbduuuruuurd. adbc0ab7相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的uuuruuurrrrrrr rr相反向量是a 、abba ；例：以下命题：（ 1）如 ab ，就 ab ；（ 2）如 ab, bc ，rrrr rrrruuuruuur就 ac ；（ 6）如 a / b, b/ c ，就 a / c ；（ 3）如 abdc，就 abcd 是平行四边形； （ 4）如uuuruuur abcd 是平行四边形，就abdc；其中正确选项 题型 1、基本概念1：给出以下命题：rrrr如| a | |

4、 b |，就 a = b ； 向量可以比较大小；方向不相同的两个向量肯定不平行；rrrrrrrrrrrrrrr如 a = b ， b = c，就 a = c； 如 a / b ， b / c，就 a / c ； 0 a0 ； 0 a0 ；其中正确的序号是；2、基本概念判定正误： （ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量；（2）如两个向量不相等，就它们的终点不行能是同一点；（3）与已知向量共线的单位向量是唯独的；uuuruuur（4）四边形abcd 是平行四边形的条件是abcd ；uuuruuur（5）如 abcd ，就 a 、b 、c、d 四点构成平行四边形；（6）由于向量就是有向线段，所以数

5、轴是向量；rrrrrr（7）如 a 与 b 共线，b 与 c 共线，就 a 与 c 共线；rrrrrr（8）如 mamb ，就 ab ；（ 9）如 mana ，就 mn ；rrrr（10）如 a 与 b 不共线，就a 与 b 都不是零向量；rrrrrrrrrrrr（11）如 a b| a | | b |，就 a / /b ；（ 12）如 | ab | | ab | ，就 ab ；二、向量加减运算8.三角形法就：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurabbcac； abbccddeae ； abaccb （指向被减数）9.平行四边形法就：rrrr

6、rr以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab ， ab ；题型 2.向量的加减运算uuuruuuruuuruuuruuuur1、化简 abmb bobc om；uuuruuuruuur2、已知 | oa |5 ,| ob |3 ,就 |ab |的最大值和最小值分别为、；uuuruuuruuuruuur3、在平行四边形abcd 中，如abadabad，就必有uuurruuurruuurra. ad0b. ab0或 ad0c. abcd 是矩形d.abcd 是正方形题型 3.向量的数乘运算rrrrrrrrrr1、运算：（1） 3ab2ab（ 2） 22a5b3c32a3b2c题型 4

7、.作图法求向量的和rrr1 rr3 r1、已知向量a, b ，如下图，请做出向量3ab 和 2ab ；22r ar b题型 5.依据图形由已知向量求未知向量uuur uuur1、已知在abc 中， d 是 bc 的中点，请用向量ab，acuuur表示 ad ；uuurruuurruuuruuur2、在平行四边形abcd 中，已知aca, bdb ，求 ab和 ad ；题型 6.向量的坐标运算rrr1 r1、已知 a1,4,b3,8 ，就 3ab；2rrr练习：如物体受三个力uuurf11,2 , f22,3 , f31,4 ,就合力的坐标为；2、已知 pq3,5 ， p3,7，就点 q 的坐标

8、是；rrrrrrrr3、.已知 a3,4 ， b5,2，求 ab， ab， 3a2b ；2、已知a1,2, b3,2r,向量 a x2, x3 yuuur2) 与 ab相等，求x, y 的值；uuuruuurruuur5、已知 o 是坐标原点，a2,1,b 4,8 ，且 ab3bc0 ，求 oc的坐标；三平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a=1 e12 e2 ；基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底；题型 7.判定两个向量能否作为一组基底uruur1、已知e1, e2是平面内的一组基底，判定以下

9、每组向量是否能构成一组基底：uruururuururuuruurururuuruururuuruurura. e1e2 和e1e2b. 3e12e2 和4e26e1c. e13e2和e23e1d. e2和e2e1练习：以下各组向量中，可以作为基底的是（）(a) e10 ,0 , e21,2 (b) e11,2 , e25 ,7 c3,5 ,6 ,10 d 2 ,3 ,13,e1e2e1e 224r2、.已知 a3,4，能与r 构成基底的是（）a34a. ,5543b. ,5534c. ,554d. 1, 33、知向量e1 、e2 不共线，实数 3 x-4ye1 2x-3ye2 =6e1+3e2

10、 ,就 xy 的值等于4、设e1 , e2是两个不共线的向量，ab2e1ke2 ,cbe13e2 , cd2e1e2 ，如a 、b、d 三点共线，求k 的值 .uuur5、平面直角坐标系中，o 为坐标原点， 已知两点a3,1, b-1,3,如点 cx, y满意 oc uuurob ，其中 ,r且 +=1，就 x, y 所满意的关系式为（）a 3x+2y-11=0b x-12+y-22=5c 2x-y=0d x+2y-5=0四平面对量的数量积：uuur=oa +1 两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作uuurruuurroaa, obb ，aob0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时

11、， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直；2实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：rr1aa , 2当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同， 当<0 时，a 的方向与 a 的rr方向相反，当 0 时，a0 ， 留意 ：a 0；uuur uuuruuurr uuurruuur例 1、已知rrad, be 分别是abc 的边bc , ac 上的中线 ,且 ada, beb ,就 bc 可用向量 a, b表示为 例 2、已知abc 中，点 d 在 bc 边上，且 cd2 db ，cdr abs ac ， 就 r

12、s的值是rr2 平面对量的数量积：假如两个非零向量a ，b ，它们的夹角为，我们把数量 | a |b | cosrr叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积），记作： a . b ，即 a . b a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0，留意数量积是一个实数，不再是一个向量；3向量的运算律：rrrrrrrrrr1交换律：abba ，aa ， a . bb . a ；rrrrrrrrrrrrrr2结合律： abcabc,abcabc，a . brrrrrrrrrr3安排律：aaa,abab ，ab.crrrr题型 8：有关向量数量积的判定 1：判定以下各命题正确与否：a . ba .

13、b；rrrra . cb .c ；aa ccarrr（ 1） abcabc ；（ 2）如 rbrr ，就 br 当且仅当r0 时成立；rrrrrrrrr（ 3） abca cb c ；（ 4） a bca bc 对任意 a, b,c 向量都成立；rrrrrrrrr 2r 2（ 5）如 a0, a ba c ，就 bc ；（ 6）对任意向量a ，有 aa；7m （ ab ） =m a +m b其中正确的序号是；2、以下命题中： a bc a ba c ； a bc a b c ； rrrr ab2| a |22 | a | | b | b |2 ； 如 a b0 ，就 a0 或 b0 ； 如a

14、bc b, 就rrr 2rrrrrrrrrrrrrr2a bb222222ac ； aa的是 ； r 2ar ； a b arab； abra2a bbr a；其中正确题型 9、求单位向量【与 a 平行的单位向量：er】| a |1.与r平行的单位向量是；2.与 r1平行的单位向量是a12,5rrrrm1,2rra b题型 10、数量积与夹角公式：a b| a | | b | cos；cosrr| a | | b |rrr 2rrrrr向量的模： 如 ax, y ，就 | a |x2y2 ， a| a |2 ， | ab |ab 21、 abc 中， | ab |3 ， | ac |4 ， |

15、 bc |5 ，就 abbc r1r1rrr urrrrur42、已知 a1, b0, cakb, dab ， c 与 d的夹角为，就 k 等于 r2 r2 rrrrrrr3、已知 | a |3,| b |4 ，且 a 与 b的夹角为 60o ，求（ 1） ab ，（ 2） a ab ，r1 rrrrrr（3） ab 2b ，（ 4） 2ab a3b ；rrrrrrrrr4、已知a, b 是两个非零向量，且abab ，就 a与ab 的夹角为 rrrr5、已知 a3,1, b23, 2 ，求 a 与 b的夹角；6、已知a1,0 ， b0,1 ， c 2,5，求 cosbac ；7、已知非零向量a

16、,b 满意 ab ，b（b2 a），就uuura与b 的夹角为uuur8：已知abc 中abc50o , bcba,就 ba与 ac的夹角为rrrrrrrra9：已知向量a 与向量 b 的夹角为120°，如向量 c = a +b ，且 a c ，就r的值为brrrrrrr10： 已知 | a | 1| b | 2， | a b | 2，就 b 与 2 a - b 的夹角余弦值为rrrrrrrr11：已知向量a =2 ， b =2， a 和 b 的夹角为 135 ，当向量 a +b 与a + b 的夹角为锐角时，求的取值范畴；r题型11、求向量的模的问题如向量的模：如 ax, yr，就

17、 | a |r 2x2y2 ， ar| a |2 ，rrrr2| ab |ab 1、已知零向量a （2，1）, a.b10, ab52，就 b2、已知向量a, b 满意 a1, b2, ab2，就 ab3、已知向量a1,3) ， b2 ,0 ，就ab4、已知向量a1,sin, b1, cos, 就 ab 的最大值为5、设点 m 是线段 bc 的中点，点a 在直线 bc 外，2bc16 , abacabac, 就 am（）a 8b4c 2d 16、 设向量 a ， b 满意 ab1及 4a3b3 ，求3a5b 的值练习：已知向量a, b满意 a2, b5,a.b3， 求 ab 和 ab7、 设向

18、量 a ， b 满意 ar1, b2, aa2b, 就 2ab 的值为8、已知向量a 、 b 满意 a1 ， | b |4 ，就 | a b |的最大值是最小值是；题型 12、结合三角函数求向量坐标uuuruuur1.已知 o 是坐标原点，点a 在其次象限，|oa |2 ，xoa150o ，求 oa 的坐标；uuur2.已知 o 是原点，点a 在第一象限，|oa |43 ，xoa60ouuur，求 oa 的坐标；五、平行与垂直学问点：rrrrrrrra / /babx1y2x2 y1 ；aba b0x1x2y1 y20题型 13：向量共线问题1、已知平面对量a（2，3 x），平面对量 b（2，

19、 18），如 a b ，就实数x2、设向量a （2，1），b（2，3）如向量ab 与向量 c4，7 共线，就3、已知向量a （1，1），b（ 2， x）如 ab与4b2a 平行，就实数x 的值是（）a -2b 0c 1d 24、已知向量 oa就 k k,12, ob 4，5, ock ,10，且 a， b， c 三点共线，uuuruuuruuur练习：设 pak,12, pb4,5, pc10, k ，就 k 时， a,b,c 共线5、已知a, b不共线， ck ab, dab ，假如 c d ，那么 k=, c 与 d 的方向关系是rrrrrrrrrr练习：已知a1,1,b4, x ， ua

20、2b ， v2ab ，且u / v ，就 x 6、已知向量a （1，2），b （2，m）, 且a b ，就2a3b题型 14、 向量的垂直问题1、已知向量a （ x，1）, b3,6且ab ，就实数 x 的值为2、已知向量a （1， n），b （1，n），如 2ab与b垂直，就 a练习：已知a =（ 1，2）， b =（ -3， 2）如 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂直，求实数k 的值3、已知单位向量m和n的夹角为，求证：（ 2n3m）m4、 a（3，1）, b1,3，c k,2, 如（ ac）b，就 k练习：a（1，2）, b 2,3，如向量c满意于（ ca）b ， c（ab），

21、就 c 5、以原点o 和 a4,2 为两个顶点作等腰直角三角形oab ，b90，就点b 的坐标是r题型 15、 b 在 a 上的投影 为 | b |cos，它是一个 实数 ，但不肯定大于0；1、已知| a |3 ， | b |5 ， 且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影为 rrrr2、已知 a8 ，e 是单位向量， 当它们之间的夹角为时，a 在 e 方向上的投影为；3练习：已知a5, b4， a与b 的夹角2，就向量 b 在向量 a 上的投影为3题型 16、三点共线问题1.已知a0,2 ，b2, 2 ，c 3, 4 ，求证：a, b, c 三点共线；uuur2rruuurrruu

22、urrr2. 设 aba5b, bc22a8b, cd3ab ，求证：a、b、d 三点共线；uuurrruuurrruuurrr练习：已知aba2b, bc5a6b,cd7 a2b ，就肯定共线的三点是；3.已知a1,3 ， b8,1 ，如点c 2 a1,a2 在直线 ab 上，求 a 的值；4. 已 知 四 个 点 的 坐 标uuuruuuruuuroatoboc成立？o 0,0， a3, 4 ，b1,2， c 1,1 ， 是 否 存 在 常 数 t ， 使5： e1, e2是平面内不共线两向量，已知abe1ke2 , cb2e1e2 , cd3e1e2 ，如a, b, d 三点共线，就k

23、=6： 设 o 是直线 l 外肯定点， a 、b 、c 在直线 l 上，且ob3oax oc, 就 x =rrrrrr7：设 a ， b 是两个不共线向量，如a 与 b 起点相同， t r，t=时， a ， t b ，1rr a b 三向量的终点在一条直线上；38：如图，在 abc 中，点 o 是 bc 的中点，过点o 的直线分别交直线ab、ac 于不同的两点 m 、n，如 ， ，就 m n 的值为 abmamacnan9:在oab 的边 oa，ob 上分别取点m ，n，使 13， 14，设线段an 与 bm 交于点 p，记|om | o|a|oa a， ob b，用 a， b 表示向量 op

24、.|on | o|b|练习： 如图，在 oab 中， oc 1 ， od 1 ，ad 与 bc 交于点 m ，设 oa a， ob；omb.1 用 a、 b 表示 oaob24oe2 已知在线段ac 上取一点e，在线段 bd 上取一点 f ，使 ef 过 m 点， 设 poa，of ，求证： 1 3 1.qob7p7q六、线段的定比分点：1定比分点的概念：设点 p 是直线 p 1 p 2 上异于 p 1 、p 2 的任意一点，如存在一个实数uuuruuur，使 p1ppp2 ，就叫做点 p 分有向线段定比为的定比分点；uuuurp1p2 所成的比， p 点叫做有向线段uuuurp1p2 的以1

25、2212的符号与分点p 的位置之间的关系：当 p 点在线段p1 p 2 上时>0；当 p 点在线段p p的延长线上时< 1；当 p 点在线段pp 的延长线上时10 ；uuur例 1、如点 p 分 ab 所成的比为3uuur，就 a分 bp 所成的比为 4uuuur3线段的定比分点公式：设xxp1 x1 , y1 、 p2 x2 , y2 ， p x, y分有向线段xp1p2x1所成的x2x比为，就y121y1y21，特殊地，当1 时，就得到线段p1 p 2的中点公式y2y1y2 ；2题型 17、定比分点2、如 m （ -3， -2）， n （ 6， -1），且1mpmn，就点 p

26、的坐标为 33、已知a a,0, b3,2a ，直线 y1 axabmuuuuruuur，就 a 等于与线段2交于，且 am2mb七、平移公式：假如点rpx, y按向量rah,k平移至p x , y ，就x xhy yk；曲线f x, y0 按向量ah, k平移得曲线f xh, yk0 .留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常 “左加右减 ”有何联系？ （ 2）向量平移具有坐标不变性，题型 18、平移rr1、按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ，就按向量a 把点 7,2 平移到点 2、函数 ysin 2 x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是ycos 2x1 ，就 a 八、向量中

27、一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要留意运用；rrrrrrrrrrrrr（ 2） | a | b | | ab | | a | b | ，特殊地，当a、b 同向或有 0| ab | | a | b |rrrrrrrrrrrrrrrrr| a | b | | ab |；当 a、b 反向或有 0rrrrrr| ab | | a | b | a | b | | ab |；当 a、b 不共线| a | b | | ab | | a | b | 这些和实数比较类似.（ 3 ） 在abc 中 ， 如ax1 , y1, bx2 , y2, cx3 , y3， 就 其 重 心

28、的 坐 标 为gx1x2x3 , y1y2y3；如331、如 abc 的三边的中点分别为（2， 1）、（ -3， 4）、（ -1，-1），就 abc 的重心的坐标为uuuruuuruuuruuuruuuruuurrpapbpcg 为abc的重心，特殊地papbpc0 uuur pg1 p 为3auuburcu的uur重心u；uuruuuruuuruuurpapbpbpcpcpap 为abc 的垂心；uuuruuur向量uauburuaucur0 所在直线过abc 的内心 是bac 的角平分线所在直线 ；| ab | ac |uuuruuuruuuruuuruuuruuurr| ab | pc|

29、 bc | pa| ca | pb0uuuurpabc 的内心；uuuruuuuruuuur（3）如 p 分有向线段p1p2所成的比为，点 m 为平面内的任一点，就uuuuruuuurmpmp1 1mp2 ，特殊地 p 为 p1p2 的中点（4）向量pa、pb、pc 中三终点a、b、c 共线存在实数、使得papbpc且1 .如uuuruuuruuuruuur mpmp1mp2 ；2uuuruuuruuur2 、平面直角坐标系中，o 为坐标原点，已知两点a3,1, b 1,3 , 如点 c 满意 oc1 oa2 ob,其中1 ,2r 且121 ,就点 c 的轨迹是 题型 19、判定多边形的外形u

30、uurruuurruuuruuur1. 如 ab3e ， cd5e ，且 |ad | | bc |,就四边形的外形是；2.已知a1,0 ，b4,3， c 2, 4 ，d 0,2，证明四边形abcd 是梯形；3.已知a2,1 ， b 6,3 ， c 0,5，求证：abc 是直角三角形；4、在 abc 中，如ba baab cb0，就 abc 的外形为（）a 等腰三角形b等边三角形c等腰直角三角形d直角三角形uuuruuuruuur5、在平面直角坐标系内，oa1,8, ob4,1, oc1,3 ,求证：abc 是等腰直角三角形；6、平面四边形abcd 中， aba ， bcb ， cdc ， da

31、d ，且abb cc dda ，判定四边形abcd 的外形1、已知abc 的三个顶点a 、b、c 及abc 所在平面内的一点p，如 papbpc0就点 p 是abc 的（）题型 20：三角形四心uuuvuuuvuuuvva 重心b垂心c内心d外心uur uuru uuruuuru uuruuur2. 已知点 o 是三角形所在平面上一点，如oaob oboc ocoa,就 o 是三角形abc 的（）uuur 2uuur 2uuur2如oaoboc（ a ）内心（ b）外心（ c）重心（ d）垂心3、已知点 o 是三角形所在平面上一点，就 o 是三角形abc 的（）（ a ）内心（ b）外心（ c

32、）重心（ d）垂心练习、已知o， n， p 在abc 所在平面内，且oaoboc, nanbnc0 ，且 pa . pbpb . pcpc . pa，就点 o， n， p 依次是abc 的（）（a ）重心外心垂心（ b ）重心外心内心（c）外心重心垂心（ d ）外心重心内心uuruuruuruuuruuuruur4、在平面内有abc 和点 o，如ab oaobac ocoa 0，就点 o 是abc 的a 重心b 垂心c内心d 外心5 、 已 知 点 o 是 平 面上 一个 定 点 ， a 、 b 、 c 是 平 面 内不 共 线 三点 ， 动点 p 满 足uuuruuuruuuruuuropo

33、a abac ,r ，就动点p 肯定通过abc 的（）（ a ）内心（ b）外心（c）重心（ d）垂心uuuruuur6、已知点 o 是平面上一个定点，a 、b 、c 是平面内不共线三点，动点 p 满意 opoauuuruuurabacuuur+uuur,r ，就动点 p 肯定通过abc 的（）| ab | ac |（ a ）内心（ b）外心（ c）重心（ d）垂心uuuruuur7、已知点 o 是平面上一个定点，a 、b 、c 是平面内不共线三点，动点 p 满意 opoauuuruuurabacuuur+uuur,r ，就动点 p 肯定通过abc 的（）| ab | cos b| ac | cos c（ a ）内心（ b）外心（c）重心（