年山东省莱芜市中考数学试卷2

1、2021 年山东省莱芜市中考数学试卷一、挑选题（本大题共12 小题，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项正确 的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每道题选对得3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0 分，共 36 分1（3 分）（2021.莱芜） 2 的肯定值是（）a 2 bcd22（3 分）（2021.莱芜）经中国旅行争论院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客 1.47 亿人次， 1.47 亿用科学记数法表示为（）a14.7×107b1.47×107c 1.47×108d0.147×1093（3 分）（2021.莱芜）无理数 23 在（

2、）a2 和 3 之间b3 和 4 之间c 4 和 5 之间d5 和 6 之间4（3 分）（2021.莱芜）以下图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）abcd5（3 分）（2021.莱芜）如 x，y 的值均扩大为原先的3 倍，就以下分式的值保持不变的是（）abcd6（3 分）（2021.莱芜）某校举办汉字听写大赛，参赛同学的成果如下表：成果（分）8990929495人数46857对于这组数据，以下说法错误选项（）a平均数是 92 b中位数是 92 c众数是 92d极差是 67（3 分）（2021.莱芜）已知圆锥的三视图如下列图，就这个圆锥的侧面绽开图的面积为（）a60 cm2b65 cm2c1

3、20 cm2 d130 cm28（3 分）（2021.莱芜）在平面直角坐标系中，已知abc 为等腰直角三角形，cb=ca=，5 点 c（0，3），点 b 在 x 轴正半轴上，点 a 在第三象限，且在反比例函数 y=的图象上，就 k=（）a3b4c6d129（3 分）（ 2021.莱芜）如图， ab cd， bed=61°， abe 的平分线与 cde的平分线交于点f，就 dfb=（）a149°b149.5 ° c 150°d150.5 °10（ 3 分）（2021.莱芜）函数 y=ax2+2ax+m（ a 0）的图象过点（ 2，0），就使函数值

4、 y0 成立的 x 的取值范畴是（）ax 4 或 x2b 4x2cx 0 或 x2 d0x211（ 3 分）（2021.莱芜）如图，边长为2 的正 abc的边 bc在直线 l 上，两条距离为 l 的平行直线 a 和 b 垂直于直线 l，a 和 b 同时向右移动（ a 的起始位置在b 点），速度均为每秒1 个单位，运动时间为t（秒），直到 b 到达 c 点停止，在a 和 b 向右移动的过程中，记abc夹在 a 和 b 之间的部分的面积为s，就 s 关于 t 的函数图象大致为（）abcd12（3 分）（2021.莱芜）如图，在矩形 abcd中，adc的平分线与 ab 交于 e，点 f 在 de 的

5、延长线上， bfe=90°，连接 af、cf，cf与 ab 交于 g有以下结论： ae=bc af=cf bf2=fg.fc eg.ae=bg.ab其中正确的个数是（）a1b2c3d4二、填空题（本大题共5 小题，每道题 4 分，共 20 分；请将答案填在答题卡上13（ 4 分）（2021.莱芜）运算：（ 3.14）0+2cos60°=14（4 分）（2021.莱芜）已知 x1，x2 是方程 2x23x 1=0 的两根，就 x12+x2 2=15（ 4 分）（2021.莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一 个正方形， 其四个顶点都在矩形的边上， 正三角形和正

6、方形的面积分别是2和 2，就图中阴影部分的面积是16（ 4 分）（2021.莱芜）如图，正方形abcd的边长为 2a，e 为 bc 边的中点，、的圆心分别在边ab、cd 上，这两段圆弧在正方形内交于点f，就 e、f间的距离为17（4 分）（ 2021.莱芜）如图，如 abc内一点 p 满意 pac=pcb=pba，就称点 p 为 abc的布罗卡尔点， 三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学训练家克雷尔首次发觉， 后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发觉，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发觉， 引发了争论 “三角形几何 ”的热潮已知 abc中，ca=cb，acb=120°，p 为 ab

7、c的布罗卡尔点， 如 pa=，就 pb+pc=三、解答题（本大题共7 小题，共 64 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤 18（6 分）（2021.莱芜）先化简， 再求值：（+）÷，其中 a=+119（ 8 分）（2021.莱芜）我市正在开展 “食品安全城市 ”创建活动，为明白同学对食品安全学问的明白情形， 学校随机抽取了部分同学进行问卷调查，将调查结果依据 “a特别明白、 b 明白、c 明白较少、 d 不明白 ”四类分别进行统计，并绘制了以下两幅统计图（不完整） 请依据图中信息，解答以下问题：（ 1）此次共调查了名同学；（ 2）扇形统计图中d 所在扇形的圆心角为；（

8、3）将上面的条形统计图补充完整；（ 4）如该校共有800 名同学，请你估量对食品安全学问“特别明白 ”的同学的人数 20（ 9 分）（ 2021.莱芜）在小水池旁有一盏路灯，已知支架ab 的长是 0.8m，a端到地面的距离ac是 4m，支架 ab 与灯柱 ac的夹角为 65°小明在水池的外沿d 测得支架 b 端的仰角是 45°，在水池的内沿 e 测得支架 a 端的仰角是 50（°点 c、e、d 在同始终线上），求小水池的宽de（结果精确到 0.1m）（sin65 °0.9，cos65 ° 0.4， tan50 °1.2）21（9 分）

9、（ 2021.莱芜）已知 abc中，ab=ac，bac=90°，d、e 分别是 ab、ac的中点，将 ade绕点 a 按顺时针方向旋转一个角度（0° 90°）得到 ad'e，连接 bd、ce，如图 1（ 1）求证： bd=c；e'（ 2）如图 2，当 =60时°，设 ab与 de交于点 f，求的值22（ 10 分）（2021.莱芜）快递公司为提高快递分拣的速度，打算购买机器人来 代替人工分拣已知购买甲型机器人1 台，乙型机器人2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元（ 1）求甲、乙两种型号的机

10、器人每台的价格各是多少万元；（ 2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200 件和 1000 件，该公司方案购买这两种型号的机器人共8 台，总费用不超过41 万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300 件，就该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？23（ 10 分）（2021.莱芜）如图，已知a、b 是 o 上两点， oab 外角的平分线交 o 于另一点 c，cdab 交 ab 的延长线于 d（ 1）求证： cd是 o 的切线；（ 2） e 为的中点， f 为 o 上一点， ef交 ab 于 g，如 tan afe= ，be=bg， eg=3

11、，求 o 的半径24（12 分）（2021.莱芜）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 a（ 1，0），b（4，0）， c（0，3）三点， d 为直线 bc上方抛物线上一动点， debc于 e（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）如图 1，求线段 de长度的最大值；（ 3）如图 2，设 ab 的中点为 f，连接 cd，cf，是否存在点 d，使得 cde中有一个角与 cfo相等？如存在，求点d 的横坐标；如不存在，请说明理由2021 年山东省莱芜市中考数学试卷参考答案与试题解析一、挑选题（本大题共12 小题，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项正确 的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每道

12、题选对得3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0 分，共 36 分 1（3 分）（2021.莱芜） 2 的肯定值是（）a 2 bcd2【考点】 15：肯定值【分析】运算肯定值要依据肯定值的定义求解第一步列出肯定值的表达式；其次步依据肯定值定义去掉这个肯定值的符号【解答】 解： 2 0， | 2| =（ 2）=2 应选： d【点评】此题考查了肯定值的意义，任何一个数的肯定值肯定是非负数，所以2 的肯定值是 2部分同学易混淆相反数、肯定值、倒数的意义，而错误的认为 2 的肯定值是，而挑选 b2（3 分）（2021.莱芜）经中国旅行争论院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客 1.47

13、亿人次， 1.47 亿用科学记数法表示为（）a14.7×107b1.47×107c 1.47×108d0.147×109【考点】 1i：科学记数法 表示较大的数【专题】 511：实数【分析】科学记数法的表示形式为a× 10n 的形式，其中 1| a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的肯定值与小数点移动的位数相同当原数肯定值1 时， n 是正数；当原数的肯定值1 时， n是负数【解答】 解： 1.47 亿用科学记数法表示为1.47×108，应选： c【点评】 此题考查科学记数法的表示方

14、法科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中 1| a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值3（3 分）（2021.莱芜）无理数 23 在（）a2 和 3 之间b3 和 4 之间c 4 和 5 之间d5 和 6 之间【考点】 2b：估算无理数的大小【专题】 1：常规题型【分析】 第一得出 2的取值范畴进而得出答案【解答】 解： 2=， 67，无理数 23 在 3 和 4 之间应选： b【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范畴是解题 关键4（3 分）（2021.莱芜）以下图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）abcd【考点】 p3

15、：轴对称图形； r5：中心对称图形【专题】 1：常规题型【分析】 依据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判定【解答】 解： a、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； b、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； c、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确； d、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误应选： c【点评】此题考查了中心对称图形，轴对称图形的判定 关键是依据图形自身的对称性进行判定5（3 分）（2021.莱芜）如 x，y 的值均扩大为原先的3 倍，就以下分式的值保持不变的是（）abcd【考点】 65：分式的基本性质【专题】 52：方程与不等式【分析】

16、 据分式的基本性质， x，y 的值均扩大为原先的3 倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是【解答】 解：依据分式的基本性质，可知如x，y 的值均扩大为原先的3 倍，a、，错误；b、，错误；c、，错误；d、，正确；应选： d【点评】此题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0 的数，分式的值不变此题比较简洁，但运算时肯定要细心6（3 分）（2021.莱芜）某校举办汉字听写大赛，参赛同学的成果如下表：成果（分）8990929495人数46857对于这组数据，以下说法错误选项（）a平均数是 92 b中位数是 92 c众数是 92d极差是 6【考点】 w2：加权平均数； w4：中位数；

17、 w5：众数； w6：极差【专题】 1：常规题型； 542：统计的应用【分析】 依据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一运算即可判定【解答】 解： a、平均数为=，符合题意；b、中位数是=92，不符合题意； c、众数为 92，不符合题意；d、极差为 9589=6，不符合题意； 应选： a【点评】此题考查了极差、众数、平均数、中位数的学问，解答此题的关键是把握各学问点的概念7（3 分）（2021.莱芜）已知圆锥的三视图如下列图，就这个圆锥的侧面绽开图的面积为（）a60 cm2b65 cm2c120 cm2 d130 cm2【考点】 mp：圆锥的运算； u3：由三视图判定几何体【专题】 55：几何

18、图形【分析】 先利用三视图得究竟面圆的半径为5cm，圆锥的高为 12cm，再依据勾股定理运算出母线长为13cm，然后依据锥的侧面绽开图为一扇形，这个扇形的 弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式运算【解答】 解：依据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为 5cm，圆锥的高为 12cm，所以圆锥的母线长 =13，所以这个圆锥的侧面积 = .2 .5.13=65（cm2）应选： b【点评】此题考查了圆锥的运算： 圆锥的侧面绽开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了三视图8（3 分）（2021.莱芜）在平面直角

19、坐标系中，已知abc 为等腰直角三角形，cb=ca=，5 点 c（0，3），点 b 在 x 轴正半轴上，点 a 在第三象限，且在反比例函数 y=的图象上，就 k=（）a3b4c6d12【考点】 g6：反比例函数图象上点的坐标特点；kw：等腰直角三角形【专题】 534：反比例函数及其应用【分析】 如图，作 ahy 轴于 h构造全等三角形即可解决问题；【解答】 解：如图，作 ah y 轴于 h ca=cb， ahc=boc， ach=cbo， ach cbo， ah=oc， ch=ob， c（ 0， 3），bc=5， oc=3， ob=4， ch=ob=4，ah=oc=3， oh=1， a（ 3，

20、 1），点 a 在 y=上， k=3， 应选： a【点评】此题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、 全等三角形的判定和性质等学问，解题的关键是学会添加常用帮助线， 构造全等三角形解决问题9（3 分）（ 2021.莱芜）如图， ab cd， bed=61°， abe 的平分线与 cde的平分线交于点f，就 dfb=（）a149°b149.5 ° c 150°d150.5 °【考点】 ja：平行线的性质【专题】 551：线段、角、相交线与平行线【分析】过点 e 作 eg ab，依据平行线的性质可得“abe+beg=18°0， ge

21、d+ edc=180°，”依据角的运算以及角平分线的定义可得“fbe+ edf= （ abe+ cde）”，再依据四边形内角和为360°结合角的运算即可得出结论【解答】 解：如图，过点 e 作 egab， abcd， abcdge， abe+beg=18°0， ged+edc=18°0， abe+cde+bed=36°0；又 bed=6°1， abe+cde=29°9 abe和 cde的平分线相交于f， fbe+ edf= （ abe+cde）=149.5°，四边形的 bfde的内角和为 360°， bf

22、d=360°149.5 °61°=149.5°应选： b【点评】此题考查了平行线的性质、 三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，依据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键10（ 3 分）（2021.莱芜）函数 y=ax2+2ax+m（ a 0）的图象过点（ 2，0），就使函数值 y0 成立的 x 的取值范畴是（）ax 4 或 x2b 4x2cx 0 或 x2 d0x2【考点】 h3：二次函数的性质； h5：二次函数图象上点的坐标特点；ha：抛物 线与 x 轴的交点【专题】 11：运算题【分析】先求出抛物线的对称轴方程，

23、 再利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 4， 0），然后利用函数图象写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范畴即可【解答】 解：抛物线 y=ax2+2ax+m 得对称轴为直线 x=1， 而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（ 2，0），抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（4， 0）， a 0，抛物线开口向下，当 x 4 或 x2 时， y0 应选： a【点评】 此题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质11（ 3 分）（2021.莱芜）如图，边

24、长为 2 的正 abc的边 bc在直线 l 上，两条距离为 l 的平行直线 a 和 b 垂直于直线 l，a 和 b 同时向右移动（ a 的起始位置在b 点），速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t（秒），直到 b 到达 c 点停止，在a 和 b 向右移动的过程中，记 abc夹在 a 和 b 之间的部分的面积为 s，就 s 关于 t 的函数图象大致为（ ）abcd【考点】 e7：动点问题的函数图象【专题】 532：函数及其图像【分析】依据 a 和 b 同时向右移动，分三种情形争论，求得函数解析式，进而得到当 0t 1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1 t2 时，函数图象为开口向下的

25、抛物线的一部分，当 2 t3 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分【解答】 解：如图，当 0t 1 时， be=t，de=t， s=s bde=×t ×t=；如图，当 1t 2 时， ce=2t ，bg=t1， de=（ 2t ），fg=（ t 1）， s=s 五边形 afged=s abcs bgfs cde= × 2× ×（ t 1）×（ t 1） ×（ 2 t）×（2t ）=+3t ；如图，当 2t 3 时， cg=3 t，gf=（3t ）， s=s cfg=×（ 3t ）×（3t ）=

26、3t +，综上所述，当0 t1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1t 2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2t 3 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，应选： b【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象， 函数图象是典型的数形结合， 通过看图猎取信息， 不仅可以解决生活中的实际问题， 仍可以提高分析问题、 解决问题的才能12（3 分）（2021.莱芜）如图，在矩形 abcd中，adc的平分线与 ab 交于 e，点 f 在 de 的延长线上， bfe=90°，连接 af、cf，cf与 ab 交于 g有以下结论： ae=bc af=cf bf2=fg.fc eg.a

27、e=bg.ab其中正确的个数是（）a1b2c3d4【考点】 lb：矩形的性质； s9：相像三角形的判定与性质【专题】 152：几何综合题【分析】 只要证明 ade为直角三角形即可只要证明 aef cbf（sas）即可；假设 bf2=fg.fc，就 fbg fcb，推出 fbg=fcb=45°，由 acf=45°，推出 acb=9°0，明显不行能，故错误，由 adf gbf，可得=，由 egcd，推出=，推出=，由 ad=ae，eg.ae=bg.a，b 故正确，【解答】 解： de平分 adc， adc为直角， ade= ×90°=45°

28、;， ade为直角三角形 ad=ae，又四边形 abcd矩形， ad=bc， ae=bc bfe=90°， bfe=aed=4°5， bfe为等腰直角三角形，就有 ef=bf又 aef=dfb+abf=135°， cbf=abc+abf=135°， aef=cbf在 aef和 cbf中， ae=bc， aef=cbf，ef=bf， aef cbf（sas） af=cf假设 bf2=fg.fc，就 fbg fcb， fbg=fcb=45°， acf=45°， acb=9°0，明显不行能，故错误， bgf=18°0 c

29、gb，daf=90°+eaf=90°+（90° agf）=180° agf， agf= bgc， daf=bgf， adf=fbg=4°5， adf gbf，=， egcd，=，=， ad=ae， eg.ae=bg.a，b故正确，应选： c【点评】此题考查相像三角形的判定和性质、矩形的性质、 等腰直角三角形的判定和性质等学问，解题的关键是敏捷运用所学学问解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共5 小题，每道题 4 分，共 20 分；请将答案填在答题卡上13（ 4 分）（2021.莱芜）运算：（ 3.14）0+2cos60°=2【

30、考点】 2c：实数的运算； 6e：零指数幂； t5：特别角的三角函数值【专题】 11：运算题； 511：实数【分析】 原式利用零指数幂法就，特别角的三角函数值运算即可求出值【解答】 解：原式 =1+2× =1+1=2， 故答案为： 2【点评】 此题考查了实数的运算，娴熟把握运算法就是解此题的关键14（ 4 分）（2021.莱芜）已知x1， x2 是方程 2x23x1=0 的两根，就x12+x2 2=【考点】 ab：根与系数的关系【专题】 52：方程与不等式【分析】 找出一元二次方程的系数a，b 及 c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积， 然后利用完全平方公式变形后，将求

31、出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值【解答】 解： x1、x2 是方程 2x23x1=0 的两根， x1+x2=x1x2= ， x12+x22=，故答案为：【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决此题的关键15（ 4 分）（2021.莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一 个正方形， 其四个顶点都在矩形的边上， 正三角形和正方形的面积分别是2和 2，就图中阴影部分的面积是2【考点】 7b：二次根式的应用【专题】 514：二次根式【分析】 由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图

32、中阴影部分的面积【解答】 解：设正三角形的边长为a，就 a2×=2，解得 a=2就图中阴影部分的面积 =2×2=2 故答案是： 2【点评】考查了二次根式的应用 解题的关键是依据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽16（ 4 分）（2021.莱芜）如图，正方形 abcd的边长为 2a，e 为 bc 边的中点，、的圆心分别在边ab、cd 上，这两段圆弧在正方形内交于点f，就 e、f间 的 距 离 为 【考点】 le：正方形的性质； ml：相交两圆的性质【专题】 559：圆的有关概念及性质【分析】作 de 的中垂线交 cd于 g，就 g 为 的圆心，h 为 的圆心，连接

33、ef， gh，交于点 o，连接 gf，fh，he，eg，依据勾股定理可得 ge=fg= ，依据四边形 egfh是菱形，四边形 bcgh是矩形，即可得到 rtoeg中， oe= a，即可得到 ef= a【解答】 解：如图，作 de 的中垂线交 cd于 g，就 g 为 的圆心，同理可得，h 为 的圆心，连接 ef， gh，交于点 o，连接 gf，fh， he，eg，设 ge=gd=，x 就 cg=2a x，ce=a，rt ceg中，（2ax）2+a2=x2，解得 x=， ge=fg=，同理可得， eh=fh=，四边形 egfh是菱形，四边形bcgh是矩形， go= bc=a， rtoeg中， oe

34、=a， ef= a，故答案为：a【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线） ，垂直平分两圆的公共弦留意：在习题中经常通过公共弦在两圆之间建立联系17（4 分）（ 2021.莱芜）如图，如 abc内一点 p 满意 pac=pcb=pba，就称点 p 为 abc的布罗卡尔点， 三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学训练家克雷尔首次发觉， 后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发觉，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发觉， 引发了争论 “三角形几何 ”的热潮已知 abc中，ca=cb，acb=120°，p 为 abc的布罗卡尔点， 如 pa=，

35、就 pb+pc=1+【考点】 kh：等腰三角形的性质； s9：相像三角形的判定与性质【专题】 552：三角形【分析】 作 ch ab 于 h第一证明bc=bc，再证明 pab pbc，可得=，即可求出 pb、pc；【解答】 解：作 ch ab 于 h ca=cb，chab， acb=12°0， ah=bh， ach=bch=6°0， cab= cba=3°0， ab=2bh=2.bc.cos3°0= bc， pac=pcb=pba， pab=pbc， pab pbc，=， pa=， pb=1， pc=， pb+pc=1+故答案为 1+【点评】此题考查等腰

36、三角形的性质、相像三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等学问，解题的关键是精确查找相像三角形解决问题三、解答题（本大题共7 小题，共 64 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤 18（6 分）（2021.莱芜）先化简， 再求值：（+）÷，其中 a=+1【考点】 6d：分式的化简求值【专题】 11：运算题【分析】 依据分式的运算法就即可求出答案【解答】 解：当 a=+1 时，原式=×=×=2【点评】此题考查分式的运算， 解题的关键娴熟运用分式的运算法就，此题属于基础题型19（ 8 分）（2021.莱芜）我市正在开展 “食品安全城市 ”创建活

37、动，为明白同学对食品安全学问的明白情形， 学校随机抽取了部分同学进行问卷调查，将调查结果依据 “a特别明白、 b 明白、c 明白较少、 d 不明白 ”四类分别进行统计，并绘制了以下两幅统计图（不完整） 请依据图中信息，解答以下问题：（ 1）此次共调查了120名同学；（ 2）扇形统计图中d 所在扇形的圆心角为54° ；（ 3）将上面的条形统计图补充完整；（ 4）如该校共有800 名同学，请你估量对食品安全学问“特别明白 ”的同学的人数【考点】 v5：用样本估量总体； vb：扇形统计图； vc：条形统计图【专题】 1：常规题型【分析】（1）依据 b 的人数除以占的百分比即可得到总人数；（

38、 2）先依据题意列出算式，再求出即可；（ 3）先求出对应的人数，再画出即可；（ 4）先列出算式，再求出即可【解答】 解：（1）（25+23）÷ 40%=120（名），即此次共调查了120 名同学，故答案为： 120；（ 2） 360°×=54°，即扇形统计图中d 所在扇形的圆心角为54°，故答案为： 54°；（ 3）如下列图：；（ 4） 800×=200（人），答：估量对食品安全学问“特别明白 ”的同学的人数是200 人【点评】 此题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估量总体等学问点，两图结合是

39、解题的关键20（ 9 分）（ 2021.莱芜）在小水池旁有一盏路灯，已知支架ab 的长是 0.8m，a端到地面的距离ac是 4m，支架 ab 与灯柱 ac的夹角为 65°小明在水池的外沿d 测得支架 b 端的仰角是 45°，在水池的内沿 e 测得支架 a 端的仰角是 50（°点 c、e、d 在同始终线上），求小水池的宽de（结果精确到 0.1m）（sin65 °0.9，cos65 ° 0.4， tan50 °1.2）【考点】 ta：解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】 55：几何图形【分析】过点 b 作 bf ac于 f，bg cd

40、于 g，依据三角函数和直角三角形的性质解答即可【解答】 解：过点 b 作 bfac于 f， bg cd于 g，在 rtbaf中， baf=65°，bf=ab.sinbaf=0.8×0.9=0.72，af=ab.cos baf=0.8×0.4=0.32， fc=af+ac=4.32，四边形 fcgb是矩形， bg=fc=4.3，2 bdg=4°5，cg=bf=0.7，2 bdg=gbd， gd=gb=4.3，2 cd=cg+gd=5.04，在 rtace中， aec=5°0， ce=， de=cd ce=5.043.33=1.71 1.7，答：小

41、水池的宽 de 为 1.7 米【点评】此题考查的学问点是解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是此题要求同学借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形21（9 分）（ 2021.莱芜）已知 abc中，ab=ac，bac=90°，d、e 分别是 ab、 ac的中点，将 ade绕点 a 按顺时针方向旋转一个角度 （0° 90°）得到 ad'e，连接 bd、ce，如图 1（ 1）求证： bd=c；e'（ 2）如图 2，当 =60时°，设 ab与 de交于点 f，求的值【考点】kw：等腰直角三角形； kx：三角形中位线定理； r

42、2：旋转的性质； s9：相像三角形的判定与性质【专题】 1：常规题型【分析】（1）第一依据旋转的性质和中点的定义证明ad=ae，然后再利用sas证明 bda ce，a最终，依据全等三角形的性质进行证明即可；（ 2）连接dd，先证明 add为等边三角形，然后再证明abd为直角三角形，接下来，再证明 bfd afe，最终，依据相像三角形的性质求解即可【解答】 解：（1）证明： ab=ac，d、e 分别是 ab、ac的中点， ad=bd=ae=ec由旋转的性质可知： dad=eae=，ad=a，d ad=ae， bda ce，a bd=ce（ 2）连接 dd dad=60，°ad=ad，

43、add是等边三角形 add= add=60，°dd=da=db dbd= ddb=30，° bda=90° dae=，90° bae=30，° bae=abd，又 bfd=afe， bfd afe，ae=ae在 rt abd中， tanbad=，=【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相像三角形的性质和判定、旋转的性质，发觉 bfd afe是解题的关键22（ 10 分）（2021.莱芜）快递公司为提高快递分拣的速度，打算购买机器人来 代替人工分拣已知购买甲型机器人1 台，乙型机器人2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型

44、机器人 3 台，共需 24 万元（ 1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（ 2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200 件和 1000 件，该公司方案购买这两种型号的机器人共8 台，总费用不超过41 万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300 件，就该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？【考点】 9a：二元一次方程组的应用；ce：一元一次不等式组的应用；fh：一次函数的应用【专题】 521：一次方程（组）及应用；533：一次函数及其应用【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题；（ 2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费

45、用最低值【解答】解：（ 1）设甲型机器人每台价格是x 万元，乙型机器人每台价格是y 万元，依据题意得解这个方程组得：答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6 万元、 4 万元（ 2）设该公可购买甲型机器人a 台，乙型机器人（ 8 a）台，依据题意得解这个不等式组得 a 为正整数 a 的取值为 2，3，4，该公司有 3 种购买方案，分别是购买甲型机器人2 台，乙型机器人 6 台购买甲型机器人3 台，乙型机器人 5 台购买甲型机器人4 台，乙型机器人 4 台设该公司的购买费用为w 万元，就 w=6a+4（8a）=2a+32 k=20 w 随 a 的增大而增大当 a=2 时， w 最小， w 最小

46、 =2×2+32=36（万元）该公司购买甲型机器人2 台，乙型机器人 6 台这个方案费用最低， 最低费用是36 万元【点评】此题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二 元一次方程组和不等式组的应用23（ 10 分）（2021.莱芜）如图，已知a、b 是 o 上两点， oab 外角的平分线交 o 于另一点 c，cdab 交 ab 的延长线于 d（ 1）求证： cd是 o 的切线；（ 2） e 为的中点， f 为 o 上一点， ef交 ab 于 g，如 tan afe= ，be=bg， eg=3，求 o 的半径【考点】m2 ：垂径定理； m5 ：圆周角定理； me：切

47、线的判定与性质； t7：解直角三角形【专题】 55c：与圆有关的运算【分析】（1）连接 oc，如图，先证明 ocb=cbd得到 oc ad，再利用 cdab 得到 occd，然后依据切线的判定定理得到结论；（ 2）解：连接 oe 交 ab 于 h，如图，利用垂径定理得到oeab，再利用圆周 角定理得到 abe=afe，在 rtbeh中利用正切可设 eh=3x，bh=4x，就 be=5x， 所以 bg=be=5，xgh=x，接着在 rtehg中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（ 3）2，解方程得 x=3，接下来设 o 的半径为 r，然后在 rt ohb 中利用勾股定理得到方程（ r 9） 2+122=r2，最终解关于 r 的方程即可【解答】（1）证明