浅谈摄动理论及其工程应用

1、浅谈摄动理论及其工程应用摘要奇并摄动方法是求含有小参数的微分方程在整个区域上一致有效渐近解的 一类近似方法的总称。它是1892年由poincare倡导创立的。奇异摄动方法自诞 生z日起，便被广泛应用于力学、天文学等诸多科学领域z中。实用性是奇异摄 动方法最突出的品质。在柔性关节机器人的控制研究屮，实现定位目标的同时必 须快速消除柔性振动。根据奇界摄动方法，提出了基于慢时标子系统和快时标子 系统的混合控制方法。本文分为四个部分。其中，第一部分为引言，对应用数学 的产生做了简耍介绍；第二部分对摄动理论的发展现状进行了总结，阐述了摄动 理论与应用数学的关系及其在工程应用问题小的经典方法；第三部分以柔

2、性关节 机器人控制系统为工程背景，对奇异摄动方法的应用进行了详细的阐述。通过奇 异摄动方法实现了对具有鲁棒性的双时标混合控制系统的设计；第四部分是总结 部分。关键词：奇异摄动；一致有效；柔性关节；混合控制;*引言数学作为研究数量关系和空间形成的一门学科，起源于人类社会生产实践的 需要，并随着社会的进步和数学自身矛盾的解决而发展，以口身矛盾为研究对象 的数学，人们称z为纯粹数学，其突岀的特点是高度的抽彖和理论的严谨。而以 现实世界的物质运动和人类社会的实际活动为背景的数学，则称z为应用数学, 其突出的特点是实际的背景和具体的应用。作为应用数学一部分的摄动法是最重 要的一种求解非线性问题的近似方法

3、，它正受到国内外学者越来越普遍的重视, 已被公认为数学、物理、力学、化学、生物学以及各种工程技术科学中研究非线 性问题的基木工具之一，也是现代应用数学、计算数学和力学工作者所必须掌握 的基础知识。二.摄动理论的现状与发展2.1应用数学的产生及其特征在29世纪末，当时的丁业落后，无论是引进技术还是自己动手搞大t业实 验都力不从心，只好求助于数学，崇尚应用数学的研究蔚然成风，形成了著名的 哥廷根应用数学学派。最早使用“应用数学”这一名称是本世纪四十年代的美国 数学家。第二次世界大战期间，许多军事问题如“密码破译、潜艇的系统搜索、 原子弹”都与数学有密切的关系。数学家为战争的胜利作了重人的贡献，这也

4、促 使美国政府和军界在战后对应用数学的研究继续提供有力的支持和资助，使得应 用数学在当今的美国充满生机、最优活力的学科之一。应用数学侧重解决实际问题，来源于数学学科以外的其他学科提出的数学问 题。应用数学容许用不完全严格的推理和运算去求解数学模型。这是因为将实际 问题归结为数学模型时，人们必训抓住主要矛盾而省略次要因素。使用的参数和 数据难免不完全或有测量误差，计算时也往往会有舍入误差、截断误差和误差的 积累。而实际问题也往往容许一定程度的课差，有时一些问题虽然有严格的数学 解 但实际应用时不方便，因此人们宁可要那些虽然不够严格但是简单实用的解。2.2摄动法的产生及其与应用数学的关系随着经济建

5、设和科学技术的发展，现代的丁程技术人员、物理学和数学丁作 者面临的许多实际问题，应用数学从这些实际问题屮归结出来的数学模型，常常 是非线性、变系数的微分方程，附以非线性的边界条件或初始条件，有些问题的 边界形状相当复杂，有些边界木身是不确肚的1。这些问题绝大多数求不出精 确解，或者址可求出精确解但对于物理上或数学上不便使用。为了解决这些问题， 人们不得不求助于近似解、数值解或两者相结合的形式，从而逐步形成和发展了 奇异摄动理论和各种渐近方法，亦称摄动方法。“摄动”一词源于犬体力学，而摄动方法则是近百年来由许多数学家、力学 家和物理学家共同建立并发展起来的具有广泛应用的一类重要方法。从近半个世

6、纪來看，其发展十分迅速，摄动方法是求现代技术和科学问题分析的最有力的数 学工具，应用领域尤为广泛。现在已被公认为数学、力学、理论物理、化学、生 物学及各种工程技术科学屮研究非线性微分方程的基本工具乞一，也是应用数学 的重要学科之一。摄动方法是寻求代数方程、超越方程、微分方程、积分方程等方程近似解的 一大类方法的总称，是方程近似求解中最主要的方法。按照这些方法，解是用一 个渐近展开式的开头几项(-般不多于两项)表示。在实际问题中，人们经常会遇到兼具快、慢变化的统一过程。描述它们的方 程多是变系数的、非线性的，定解条件可能是不确定的、非线性的，用一般参数 展开得不到-致有效的近似解，而使用通常的数

7、值解法又会出现病态矩阵，因而 吸引了许多数学和具他各门科学技术工作者，他们在正则摄动理论的基础上，发 展了奇异摄动理论。应该指出，摄动方法在数学上并非十分严谨。其处理技巧和适用性有时没有 一定规律可循，需要对实际背景有相当的了解，并借助经验和直觉才能顺利地运 动这种数学工具来解决实际问题。尽管如此，人们还是在实践中不断丰富发展着 这一理论。究其原因，就在于它的实用性。摄动方法的产生可溯源到十九世纪末 期天文学家lindstedt(1882)z bohlin(1889), gylden(1893)等人的工作。它们利用小 参数£的幕级数来研究行星的运行问题，这些幕级数虽然是发散的，却正确

8、地描 述了客观现象，引起了人们很人的惊界。1892年杰出的数学和力学家庞加莱 (poincare)证明了这些发散级数是一种所谓渐近级数，当参数£充分小时，它的前 儿项z和可以充分接近原来的问题的解。从而为这种“小参数法”或“摄动法” 建立了理论基础。1903年prandtl边界层理论对航空工作的发展有着划时代的意 义，而且这一理论也是以后发展起來的渐近展开法的物理模型和雏形；lighthill2 和郭永怀在研究超音速流锥形激波和平板边界层时，分别发展了 poincare的思 想，形成了著名的plk方法。然而，奇异摄动理论的应用不仅仅局限于此。就其在船舶流体力学屮的应用 來说，自pet

9、ers和stroker用小参数法研究薄船和扁船的垂荡和纵摇运动以來， 摄动法便被引进了船舶流体力学领域。而后经过ursell, newman, maruo等人的 努力，到了上世纪60年代末期，新切片理论获得成功，开创了理论预报实船的 时代。与此同时,newman和ogilvie, adach等都系统的总结了这方面的进展， 并将其建立在匹配渐近展开方法的基础上。1969年ogilvie和tuck提出了所谓合 成的纵摇切片理论,troesch则把它推广到水平面内运动的情形"978年newman 提出了同意的船舶运动理论，并由scalvanous加以实现。maruo在1978年也提 出过不

10、同的细长体理论的改进4,所有这些工作都采用了匹配渐近展开方法。 兴波阻力的研究方面，从michell的薄船理论开始，经过近七十年的努力，人们 终于认识到：引入自由而条件的非线性是改善理论的唯一途径。为了克服自由而 上非线性条件带来的困难，人们尝试使用各种奇界摄动方法，多数获得了部分成 果，其屮包括匹配渐近展开的细长体理论、伸缩坐标的薄船理论6, wkb的 慢船理论等等。此外，奇界摄动方法6 ±111：纪60年代开始便应用于控制理论的研究方面。 其屮，对线性奇异摄动系统的控制问题的研究起步较早。利用微分对策方法 对标准奇异摄动系统hg的最优控制问题及利用广义系统对具非标准问题均进行 了

11、研究。同时，对基于lyapunov函数的非线性奇异摄动系统的稳定性及复合 lyapunov函数的存在性等进行研究7。2.3奇异摄动方法的工程应用口 20世纪80年代中期以后，以积分流形为主要工具的几何方法在非线性奇 异摄动系统的控制设计屮异军突起8,形成了一个重要的研究方向。积分流形 的研究大量集中于所谓“快执行器驱动型”系统，即控制量仅出现在快系统中。 其基本特点在于：只要快子系统的状态进入该流形，则它的动力学将完全由该积 分流形来描述，如果此积分流形是稳定的，则快子系统就是稳定的。尽管如此, 积分流形的求解确实比较困难的，一般通过渐近展开的方法来逐步求解，理论上 可以获得任意高的精度，然而

12、过高的精度要求会使得推到极为繁琐。通过积分流形与奇异摄动建立的模型在电机驱动系统、柔性关节机器人中较 多见。在宏微机器人中，微机器人的物理参数一般比宏机器人小。如何充分利 用宏微机器人包含“快慢”系统的特性，采用奇异摄动方法建立时标分离的标 准模型，是解决柔性关节机器人控制问题及提髙控制系统鲁棒性的重要依据。对 于刚性机器人，在对其执行机构动力学进行研究时，其屮的快变量也不可忽略。 如何针对末端执行器与刚性环境接触的受限机械臂、由马达中枢电流体现出来的 快动力学物理量，建立奇异摄动模型，是解决该类工程问题的关键。对于轮式移 动机器人，非完整约束是其重要特点。其菲完整约束通常是由于实际移动过程的

13、 无滑动假设而引出的，但对于实际的移动机器人，理想的无滑动假设是难以满足 的，因而近年來针对非理想的非完整运动学约束的控制为题得到了关注，奇界摄 动技术作为处理这类问题的有利工具，也得到了深入研究。对于具有柔性关节的 机器人而言，在实现定位目标的同时必须快速消除柔性振动。奇界摄动法和双时 标分解为混合控制方法的提出奠定了基础。通过将控制系统分解为慢子系统与快 子系统，可以实现柔性关节机器人的有效控制策略。奇界摄动作为解决工程问题的重要应用数学方法，在长期的发展过程中逐渐 完备，并形成了几大分支，出此也产生了几种为学者所熟知并推崇的几种经典方 法。它们分别是：伸缩参数法(lindstedt-po

14、incare技巧)、lighthill技巧、重正化 方法、多重尺度法及匹配渐近展开法等。正如前文所述，任何一种应用数学 方法的产生都是与实际的工程问题息息和关的。这几种经典方法在各种工程应用 问题中也具有深远的意义，为各门应用学科的发展提供了强大的理论依据和数学 工具。2.3.1伸缩参数法(lindstedtpoincar©技巧)这种技巧是由十九世纪天文学家lindstedt等为在方程ii + a)ou = £f(u, u), £ « 1 (2-1) 的摄动解中避免长期项的出现而发展的。其基本思想是基于试验和既得的精确解 中观察到非线性使系统的频率从线性

15、的3。(常值)改变为3(£)。依据这种方法，我们把系统的因变量u和频率3都按£的幕级数做展开。由于3不显含在微分方程中，因而我们先在扰动方程中引进变换s = o)t(2-2)得到o)2u + o)qu = £f(u, o)u)(2-3)上式中导数是关于s的。然后在变换后的方程中，令u(s, £)= u0(s) + £u1 (s) + ，(2-4)3 = o)o +h(25)并令£的同次幕系数相等，便得到可逐个求解un的一系列方程。再通过参数0)n的 选取，使长期项消失。这个技巧已经广泛应用与物理和数学领域屮。比如：keller将这个技

16、巧应用 于常微分方程组的边值问题。这个技巧和ritz-galerkin的方程和结合常被应用于 弹性体的动力反应。2.3.2 lighthill 技巧lighthill技巧的实质是用小参数£的幕展开因变量u(xpx2,.xn；8)和口变量中 的一个，比如x。lighthill引进了一个新的自变量,然后同时展开u和x为w的幕 形式，洗漱依赖于s,此时u = sm=o £mum(s>x2/x3/.,xn),(2-6)xi = s + sm=l(s> x2x3, ., xn)(2-7)若以xi代替(26)屮的s,则(26)便是poicare型直接展开式。由于这种展开式

17、不是一致有效的，所以lighthill引入(27),意在通过伸缩函数务的选取，使得展 开式(26)和(27)均一致有效，而这通常是由要求g/gi和去/论-1有界来实现 的。lighthill技巧是伸缩参数方法的推广，这个技巧已曲郭永怀加以变形并应用 到粘性流体，因此也称之为plk即poincare-lighthill-kuo方法。这个方法已经应 用到各类问题中，尤其是在非色散煤质中波的传播。2. 3. 3重正化方法lindstedt-poincare方法是把变换s = 3t代入微分方程，同时对3和u作展开, 但是我们可以把变换和3的展开式代入直接展开式屮，再将结果对小量£作展开, 通

18、过的选取来消去长期项，也就是在方程ii + a)gu = £f(u, u)的直接展开式(2-8)u = uo(t) + £u2 (t) + £2u2(t) + 中，令o)()sa)oso)0t =；cocog + ez(a)2 + (2-9)“ sa)i £2o)i、=s(l+ )3o3$固定s,将结果对小量£作展开，并按消去长期项的要求适当选取3叮以上提到的几种技巧均属伸缩坐标法，这类方法对许多确定一致有效展开的 物理问题是十分奏效的，尤其是对于在一个或两个方向的行波的双曲型微分方程 来说是成功的，但是对于椭圆型方程却不能得到一致有效的展开式

19、。2.3.4多重尺度方法在用lindstedt-poincare方法或是重止化方法得到的一致有效展开式屮，我们 注意到u对时间t和参数£的两数依赖性是相交接的，除了单独地依赖t和£外, 还依赖它们的组合比若将lindstedt-poincare展开进行到更高阶，我们会发现所 得到的展开式除依赖于£外，还依赖于称之为尺度的t,比护匕，因此我们可以 假定u(t； £)= u(t, et, e2t,£)=s(t0/t1/t2, ,tm) + o(etm)=sm=0 £叫口(丁0，1,tm)+ o(etm)(2-10)其中tn = ent(2

20、-11)误差o(etm)表明次展开式关于时间t直到0(£-m)之前是有效的。(2j0)和 (212)说明像想将原来的常微分方程转化为偏微分方程，这样我们便避免开了直 接求t的苗数u,而是各u欣入到更大的一类函数ii中 求作为尺度to，ti，t2,的 函数的一致有效展开式。再令tm = £叫而由j得到uo如果对时间t的导数按下式(2-12)-=+ £+£2 +dt ct。 j" dt2转换，则方程(2-10), (211)和(212)阐述了多重尺度方法的第一种变形(多变量变形)。多重尺度法的第二个变形是由cole和kevorkian引进的，他们假

21、定u(t； £)= u(t|；8)=関二占um(d + 0(em)(2-13)其中§ = £tr| = (1 + £2(ji)2 + £3o)3 hf emo)m)t而对时间t的到时转换为估=£貞 + (1 + £20)2 + /伽 + + £“3m)彩 (2-14)同样将常微分问题转化为偏微分方程，先确定作为的函数的一致有效展开式。 多重尺度方法现已广泛应用与物理，工程以及应用数学等各个领域中。在轨道力学、飞行力学、固体力学屮，多重尺度方法解决了一系列问题。2.3.5匹配渐近展开法采用匹配渐近展开时，我们称直接展

22、开式为外展开式，并用y°表示，而且把 自变量x称作外变量，于是外展开式用外极限过程，即固定x时y0(x) = limy(x,£)/、 v y(x； e)-smoym(x)£m%(x)=出如果非一致性在x=0处，利用伸展的自变量2咅，入0如果非一致性在x"处，利用伸展的自变量1 x2丁，入°从而得到一个内展开式来补充上述的外展开式，自变量§称为内变量。借助于壬求 得如下形式的内展开式yin-lyi(g； c =(£%(§) + 0(§n(£)m=0上式小订(可为渐近序列，由£ to时保持

23、e固定的内极限过程确定。然后通过使 yo(0的方程包含丫6(。并具有最少退化形式来确定入，丁是就产生所谓特异极限, 如果只有一个入值产生一个特异极限，那么只存在一个内展开式；如果两个或更 多的入值产生特异极限，那么存在两个或更多的嵌套着的内展开式，称z为多层。当入只有一个特界极限时，我们己把边界层问题的近似解写成以外变量x和 内变量e表示的两个独立的展开式。匹配渐近展开的基本思想是：两个展开式的 有效区域相互重叠，因而可以进行匹配。van dyke提出了一个匹配原则：n项外 展开式的m项内展开式等于m项内展开式的n项外展开式。如果对边界层位置 的猜测是正确，则所得到的展开式通常可以匹配，展开式

24、中所有的常数可以确定。 最后可以形成如下单一的一致有效展开式，用yc表示：yc = yo + yi _ (yo)i = yo + yi _ (yi)0匹配渐近展开法作为一种重要方法在奇异摄动理论屮具有举足轻重的地位。 自诞生之日起，其基本思想经过多年的发展已经成熟。在加州理工学院，这种方 法获得了系统的发展，并被应用到粘性流动的研究中去。关于边界层理论，kaplun 采用了形式的内外极限过程及其相应的内外展开式；以后kaplun, lageratrom ft 研究reynolds数流动时，对匹配过程进行了深入的分析；proudman和pearson 使用这种方法处理了小reynolds数下绕圆

25、球和圆柱的流动。在这个时期以后， i兀配渐近展开法被应用到各种流体力学问题中去。早起的应用大多是针对粘性流 动，之后人们又成功的应用它來解决无粘性问题。三、奇异摄动在柔性关节机器人控制系统中的应用3.1研究背景机器人自产生以来，经过40多年的发展，其种类越来越多，呈现了多元化的趋势。机器人技术涉及了力学、电子学、生物学、控制论、计算机科学、人工智能和系统工程等，成为一门综合了多学科的高新科技，并逐渐形成了一个完整的体系。机器人的关节柔性是影响机器人动态精确度和稳定性的重要因素，尤其是在 空间机器人和大型挠性航天器中，关节柔性的影响更为突出。谐波减速器和关节 力矩传感器带来的关节柔性严重降低了机

26、器人系统的带宽，成为制约机器人性能 的瓶颈。如何有效控制柔性关节机器人，消除柔性机械臂在定位控制时的高频振 动是一个关键性的问题10 o以往提出的抑振方案是基于柔性连杆机械臂的动力 学模型，由于柔性连杆机械臂动力学模型具有高度非线性和分布参数特性，这些 基于模型的系统控制设计方法，一方面使得控制计算复杂，难以做到实时；另一 方面，未建模系统动力学严重影响整个系统的控制性能，有些情况甚至使系统不 稳定。因而寻求一种不过分依赖对象模型的控制方法，是柔性关节机器人控制系 统研究的一个重要方向llo积分流形和奇异摄动理论可以有效对柔性关节机器人控制系统进行分解，改 变当前柔性关节机器人系统建模过程中的

27、问题。根据奇异摄动方法，柔性关节连 杆的运动控制可以分解为慢时标的等效刚性臂运动控制和快时标的振动控制，然 后利用角位移和速度传感器检测的信息，实现等效刚性臂的运动控制，再次基础 上利用模糊控制方法抑制柔性连杆机械臂运动控制屮的高频振动。针对传统的奇 异摄动方法受关节柔性限制这一问题，还可以设计关节柔性补偿器，以提高关节 的等效刚度，补偿关节柔性带來的影响；利用奇异摄动方法给出柔性补偿后系统 的快慢子系统模型，并为慢子系统设计一种口适应控制器，以保证轨迹的渐近跟 踪。3.2基于补偿的奇异摄动控制完整的柔性关节机器人的数学模型可表示为= j0 + t(3-1)t = m(q)q + c(q, q

28、)q + g(q)(3-2)t = k(0 - q)(3-3)式中：q和e分别为关节连朴端和电机端的角位置向量；m、j分别为机器人连杆 和电机端的惯量矩阵；k为关节刚度矩阵；是控制力矩向量；t是由于关节柔 性产生的关节力矩向量;c和g分别为机器人系统的哥氏力及离心力项和重力项。对柔性关节机器人来说，若关节刚度足够大，可以利用奇异摄动技术将柔性 关节模型转化成具有快、慢两个时间尺度的系统。在设计控制器时，首先快子系 统被忽略，进而通过假设慢变量为常数，在快时间尺度下计算由快子系统带来的 修正项，并引入到控制中构成混合型控制器。该技术具有模型降阶的有点，其核 心思想就是通过在刚性机器人控制规律屮增

29、加一些简单的修正项来达到抑制关 节柔性抖动的忖的。但是，实际小很多机器人(尤其是空间机器人)关节的刚度 不足以直接利用奇界摄动技术，因此，针对这一问题，通过设计柔性补偿器，提 高了关节等效刚度，可以将奇异摄动技术推广应用于一般的柔性关节的控制中去, 而不需要限制关节刚度的范围。将式(31)、(33)写成关于力矩工的方程为jk吒 + x = tm-jq(3-4)针对式(3-4),定义ue = tm 一 jq(3-5)由于关节柔性k-i的存在，相当于在业和关节力矩工之间设置了一个滤波器， 关节柔性越人，该滤波器的带宽越窄，柔性动力学对刚性部分的影响就越人，直 接利用传统的奇异摄动技术得到的控制效果

30、将越差。选取控制量为tm = kaua + uf(3-6)式中：5为新的控制量；屮为柔性补偿部分；©为待定采纳数矩阵，用来调节滤 波器的低频增益。将式(36)代入式(3-4),得jk-1t + t = ka(ua-k-1jq) + uf(3-7)定义ui = ua - kjq(3-8)设计uf = -k(pt(3-9)式中，心为柔性补偿洗漱矩阵。则式(37)变为(3-10)jkf+(i + kp)t = kau为保证式(3jo)和式(34)具有近似的低频增益，取© = i + k®(3-11)则通过柔性补偿后的力矩动力学方程为jk71f + t = u1 = ua

31、-kr1jq(3-12)式中kc = kak(3-13)通过柔性补偿，可以将关节的等效刚度调整到期望的数值上來，提高内环力 矩滤波器的带宽，使柔性动力学和刚性动力学在时间尺度上的差距增大。新的控 制量也的选取由针对快、慢两个子系统的控制部分组成，其中慢控制量由慢子系 统获得，快控制量的选取只需要保证快子系统的稳定性即可。利用奇界摄动方案的设计思路，取新的控制量为4 = % + uaf(3-14)式屮和如分别为柔性补偿之后快慢子系统的控制规律。由于补偿后提高了关节的等效刚度，可以定义一个非常小的常数卩，是的忑=kei/|l2o同理亦可选取lf = -kevt = -nke2t使快了系统代 + n

32、kel ke2t + kelt = kel + (uas k-q)(3-15)满足稳定要求。若假设卩=0则可得新的慢子系统方程为me(q)q + c(q, q)q + g(q) = uas(3-16)式中 mjq) = m(q) + k/j。曲此，系统被分解为快了系统和慢了系统。为斤续控制系统的实现建立了必 备的理论基础。对于慢子系统，基于鲁棒滑模微分估计器设计二阶滑模控制，可 以使系统状态跟踪期望的轨迹，保留了滑模的鲁棒性和易于实现的特点，有效的 去除了抖振和信号的高频分量，设计最优控制规律，使柔性模态快速趋于稳定值, 在保证刚性轨迹精确跟踪期望值的同时，使弹性振动得到了有效抑制。四、总结以

33、上我们概述了摄动法的产生和发展，阐述了它的特点及其工程应用。随着 社会经济与科学技术的h益发展，对摄动法的研究和应用在国外己相当普遍和广 泛，在我国也己取得迅速的发展。冃前，国内奇异摄动应用范i韦i涉及固体力学、 流体力学、一般力学、大气物理、地球物理、空间物理、量了物理、低温物理、 半导体物理、等离子体物理、传热学、声学、光学、电磁学。研究摄动法的队伍 也迅速壮大，并取得了可喜的成果。但摄动方法在国内尚未受到广泛的重视和应 有的普及，在某些方面还是空白。正如钱伟兴教授所说，数学像美丽的海洋，里 面有许多宝藏，我们不要总是站在海边赞赏海洋的美丽，而要勇敢地下到海里去 探索和利用宝藏，同时又不能在海里淹没，而是要进得去出得来。摄动理论与应 用数学的