人教A版高中数学必修5同步检测第一章章末复习课

1、人教版高中数学必修精品教学资料第一章章末复习课整合整合网络构建网络构建警示警示易错提醒易错提醒1三角形解的个数的确定三角形解的个数的确定(易错点易错点)已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解问题可能出现一解、两解、无解的情况的情况,这时应结合这时应结合“三角形中大边三角形中大边对大角对大角”,此时一般用正弦定理此时一般用正弦定理,但也可用余弦定理但也可用余弦定理(1)利用正弦定理讨论利用正弦定理讨论：若已知若已知 a、b、a,由正弦定理由正弦定理asin absin b,得得 sin bbsin

2、 aa.若若 sin b1,无解无解；若若 sin b1,一解一解；若若 sin b1,两两解解(2)利用余弦定理讨论：利用余弦定理讨论： 已知已知 a、b、a.由余弦定理由余弦定理 a2c2b22cbcos a,即即 c2(2bcos a)cb2a20,这是关于这是关于 c 的一元二次方的一元二次方程若方程无解或无正数解程若方程无解或无正数解,则三角形无解；若方程有唯一正数解则三角形无解；若方程有唯一正数解,则则三角形一解；若方程有两不同正数解三角形一解；若方程有两不同正数解,则三角形有两解则三角形有两解2三角形形状的判定方法三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径判定三角形形状通常

3、有两种途径： 一是通过正弦定理和余弦定理一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角化边为角(如：如：a2rsin a,a2b2c22abcos c 等等),利用三角变换得利用三角变换得出三角形内角之间的关系出三角形内角之间的关系进行判断进行判断 此时注意一此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系系如：如：sin asin bab；sin (ab)0ab；sin 2asin 2bab 或或 ab2等等；二是利用正弦定理二是利用正弦定理、余弦定理化角为边余弦定理化角为边,如如：sinaa2r(r为为abc外接圆半径外接圆半径),cos ab2c2a22bc等等

4、,通过代数恒等变通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断换求出三条边之间的关系进行判断3.解三角形应用解三角形应用题的基本思路题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题决其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如测量如测量距离距离、高度高度、角度等角度等),然后依题意画出示意图然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在把已知量和未知量标在示意图中示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个最后确定用哪个

5、定理转化定理转化,哪个定理求解哪个定理求解,并进行作答解题时还要注意近似计算的要并进行作答解题时还要注意近似计算的要求求专题一专题一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形(自主研析自主研析)例例 1abc 中中,内角内角 a,b,c 对边的边长分别是对边的边长分别是 a,b,c.已知已知 c2,c3.(1)若若abc 的面积等于的面积等于 3,求求 a,b；(2)若若 sin b2sin a,求求abc 的面积的面积自主解答自主解答(1)由余弦定理由余弦定理得得a2b2ab4.又因为又因为abc的面的面积等于积等于 3, ,所以所以12absin c 3, ,得得 ab4.联立方程组

6、联立方程组a2b2ab4，b2a，解得解得 a2, ,b2.(2)由正弦定理已知条件可化为由正弦定理已知条件可化为 b2a, ,联立方程组联立方程组a2b2ab4，b2a，解得解得 a2 33, ,b4 33, ,所以所以abc 的面积的面积 s12absin c2 33.归纳升华归纳升华正、余弦定理应用需注意的三个方面正、余弦定理应用需注意的三个方面(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系, ,解题时解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一要根据题目条件恰当地实现边角的统一(2)统一为统一为“角角”后后, ,要注意正确利用三角恒等变换及诱

7、导公式要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为进行变形；统一为“边边”后后, ,要注意正确利用配方、因式分解等代数要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形变换方法进行变形( (3)求值时注意方程思想的运用求值时注意方程思想的运用变式训练变式训练abc 的内角的内角 a,b,c 的对边分别为的对边分别为 a,b,c,asin acsin c 2asin cbsin b.(1)求角求角 b 的大小；的大小；(2)若若 a75,b2,求求 a,c.解：解：(1)由正弦定理得由正弦定理得 a2c2 2acb2.由余弦定理得由余弦定理得 b2a2c22accos b.故故 cos

8、b22, ,因此因此 b45.(2)sin asin(3045)sin 30cos45cos 30sin 452 64.故故 absin asin b1 3.由已知得由已知得, ,c180457560, ,cbsin csin b2sin 60sin 45 6.专题二专题二判断三角形的形状问题判断三角形的形状问题 例例 2已 知已 知 abc 中中 , 内 角内 角 a,b,c 所 对 的 边 分 别所 对 的 边 分 别 为为a,b,c,a3b3c3abcc2,且且 acos bbcos a,试判断试判断abc 的形状的形状解：解：由由a3b3c3abcc2, ,得得 a3b3c3c2(ab

9、)c3, ,所以所以 a2b2abc2, ,所以所以 cos c120, ,又因为又因为 c(0, ,180), ,所以所以 c60.由由 acos bbcos a, ,得得 2rsin acos b2rsin bcos a(r 为为abc外接圆的半径外接圆的半径), ,所以所以 sin(ab)0, ,又因为又因为 ab(180, ,180), ,所以所以 ab0, ,所以所以 abc60, ,所以所以abc 为等边三角形为等边三角形归纳升华归纳升华利用正、余弦定理判断三角形形状的方法利用正、余弦定理判断三角形形状的方法主要有两种方法主要有两种方法： 方法一方法一, ,通过边之间的关系判断形状

10、通过边之间的关系判断形状； 方法二方法二, ,通过角之间的关系判断形状通过角之间的关系判断形状利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化, ,把条件转化把条件转化为边的关系或转化为角的关系为边的关系或转化为角的关系变式训练变式训练在在abc 中中,若若(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab),请判断三角形的形状请判断三角形的形状解：解：因为因为(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab), ,所以所以(a2b2)(sin acos bcos asin b)(a2b2)(sin acos bcos asin b), ,所以所以 2

11、b2sin acos b2a2cos asin b0, ,所以所以a2b2sin acos bcos asin b, ,又由正弦定理可得又由正弦定理可得a2b2sin2asin2b, ,所以所以sin acos bcos asin bsin2asin2b, ,所以所以cos bcos asin asin b, ,所以所以 sin 2asin 2b.又因为又因为 a(0, ,), ,b(0, ,), ,所以所以 2a2b 或或 2a2b, ,即即 ab 或或 ab2, ,所以所以abc 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形专题三专题三正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用例例3

12、航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞已知飞机的高度为海机的高度为海拔拔10 000 m,速度速度为为180 km/h,飞机先看到山顶的俯角飞机先看到山顶的俯角为为15,经经过过 420 s 后又看到山顶的俯角后又看到山顶的俯角为为 45,求山顶的海拔高度求山顶的海拔高度(取取 21.4, 31.7)解：解：如图所示如图所示, ,根据题意可得根据题意可得a15, ,dbc45, ,所以所以acb30, ,ab1804203 60021(km)21 000(m)所以在所以在abc 中中, ,bcsin aabsinacb, ,所以所以 bc2

13、1 00012sin 1510 500( 6 2)(m)因为因为 cdad, ,所以所以 cdbcsincbd10 500( 6 2)2210 500( 31)10 500(1.71)7 350(m), ,所以所以, ,山顶的海拔高度山顶的海拔高度10 0007 3502 650(m)归纳升华归纳升华正、余弦定理与三角函数正、余弦定理与三角函数的综合应用的综合应用(1)以三角形为载体以三角形为载体, ,以正、余弦定理为工具以正、余弦定理为工具, ,以三角恒等变换为以三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的一类热点题型在具体解题时手段来考查三角形问题是近年高考的一类热点题型在具体解题时,

14、,除了熟练使用正除了熟练使用正、 余弦定理外余弦定理外, ,也要根据条件合理选用三角函数公式也要根据条件合理选用三角函数公式, ,达到化简问题的目的达到化简问题的目的(2)解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题在高考解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题在高考中中, ,出题者有时会利用平面向量等知识给出问题的某些条件出题者有时会利用平面向量等知识给出问题的某些条件, ,这些知这些知识一般只起到识一般只起到“点缀点缀”作用作用, ,难度较小难度较小变式训练变式训练(1)如图所示如图所示,某住宅小区的平面图呈扇某住宅小区的平面图呈扇形形aoc.小区小区的两个出入口设置在的两个出入口设置

15、在点点a及及点点c处处,小区里有两条笔直的小小区里有两条笔直的小路路ad,dc,且拐弯处的转角为且拐弯处的转角为 120.已知某人从已知某人从 c 沿沿 cd 走到走到 d 用了用了 10 分钟分钟,从从d 沿沿 da 走到走到 a 用了用了 6 分钟分钟若此人步行的速度为每分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米米,求该扇形的半径求该扇形的半径 oa 的长的长(精确到精确到 1 米米)(2)在在acb 中中,内角内角 a,b,c 的对边分别为的对边分别为 a,b,c,且且 ac,已知已知babc2,cos b13,b3,求：求：a 和和 c 的值；的值；cos(bc)的值的值(1)解：解：法一

16、法一：设该扇形的半径为：设该扇形的半径为 r 米米, ,由题意由题意, ,得得 cd500 米米, ,da300 米米, ,cdo60.在在cdo 中中, ,cd2od22cdodcos 60oc2, ,即即 5002(r300)22500(r300)12r2, ,解得解得 r4 90011445 (米米)法二法二：连接：连接 ac, ,作作 ohac, ,交交 ac 于点于点 h, ,由题意由题意, ,得得 cd500 米米, ,ad300 米米, ,cda120.在在acd 中中, ,ac2cd2ad22cdadcos 120500230022500300127002, ,所以所以 ac7

17、00(米米)coscadac2ad2cd22acad1114.在在 rthao 中中, ,ah350(米米), ,coshao1114, ,所以所以 oaahcoshao4 90011445(米米)(2)解：解：由由babc2, ,得得 cacos b2, ,又又 cos b13, ,所以所以 ac6.由余弦定理由余弦定理, ,得得 a2c2b22accos b.又又 b3, ,所以所以 a2c232261313.解解ac6，a2c213，得得a2，c3或或a3，c2.因为因为 ac, ,所以所以 a3, ,c2.在在abc 中中, ,sin b 1cos2b11322 23, ,由正弦定理由

18、正弦定理, ,得得sin ccbsin b232 234 29.因因 abc, ,所以所以 c 为锐角为锐角, ,因此因此 cos c 1sin2c14 29279.于是于是 cos(bc)cos bcos csin bsin c13792 234 292327.专题四专题四三角函数的综合应三角函数的综合应用用例例 4在在abc 中中,已知已知 abc,且且 a2c,b4,ac8,求求 a,c的长的长解：解：由正弦定理得由正弦定理得asin acsin c, ,因为因为 a2c, ,所以所以asin 2ccsin c, ,所以所以 a2ccos c.又因为又因为 ac8, ,所以所以 cos c8c2c, ,由余弦定理及由余弦定理及 ac8, ,得得cos ca2b2c22aba242c28a（8c）242c28（8c）102c8c.由由知知8c2c102c8c, ,整理得整理得 5c236c640.所以所以 c165或或 c4(舍去