82偏导数课件

1、课件82偏导数PPT课件第二节第二节 偏导数偏导数一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 课件82偏导数PPT课件一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法研究二元函数研究二元函数),(yxfz 则则有有函函数数增增量量自自变变量量一一增增量量若若给给,xx ),(),(yxfyxxfzx .的偏增量的偏增量称为函数关于称为函数关于xy函函数数关关于于 的的偏偏增增量量为为( ,)( , )yzf x yyf x y关于一个变量的关于一个变量的变化率问题变化率问题.课件82偏导数PPT课件定义定义( , )zf x y 在点在点000( ,)( ,

2、)limxfyfy 存在存在, ,( , )zf x y 在在点点的偏导数，记为的偏导数，记为00;(,)zxyx 00(,)xy的某的某00;(,)fxyx 0 xx 0 x则称此极限为函数则称此极限为函数邻域内邻域内极限极限设函数设函数x 00(,);xfxy00(,);xxyz100(,).fxy 00(,)xyx对对0limxxzx 课件82偏导数PPT课件同样可定义对同样可定义对y的偏导数：的偏导数：0 limy 00(,)yfxy0(, )f x0(,)f x y 0yy 0y00;(,)zxyy 00;(,)fxyy 00(,);yxyz200(,).fxy 还可记为还可记为课件

3、82偏导数PPT课件( , , )xfx y z例如例如, , 三元函数三元函数u = f (x , y , z)在点在点(x , y , z)处处偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . .0 limx ( , )fy z(, )fy z x xx ( , , )?yfx y z ( , , )?zfx y z x对对x的的偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)课件82偏导数PPT课件若函数若函数z = f ( x , y )在域在域D 内每一点内每一点( x , y )处处,xzfzxx则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数, ,也简称为

4、也简称为偏导数偏导数,记为记为1( , ),( , )xfx yfx y 2( , ),( , )yfx yfx y 对对x或或y偏导数存在偏导数存在, ,yzfzyy( , )zf x y 在在点点的偏导数，的偏导数，00(,)xyx对对因此因此等于偏导函数在点等于偏导函数在点00(,)xy的值的值.课件82偏导数PPT课件0ddyxxx 000()()limxf xxf xx 0()fx 注意注意: :00000(,)(,)limxf xx yf xyx 00d( ,)dxxf x yx 00(,)xfxy00d(, )dyyf xyy 0 limy 00(,)yfxy0(, )f x0(

5、,)f x y 0yy 0y求偏导数实际上是把其余自变量看作常数而对求偏导数实际上是把其余自变量看作常数而对一个变量求导数一个变量求导数,即一元函数求导数即一元函数求导数.课件82偏导数PPT课件例例1 1 求求223zxxyy 解法解法1 1zx (1,2)zx 解法解法2 2(1, 2)zx 在点在点(1 , 2) 处的偏导数处的偏导数. .(1, 2)zy 23 ,xy zy 32xy 2 13 28, (1,2)zy 3 12 27 264xx (26)1xx 8 1xz 213yy 2(32 )yy 7 2yz 课件82偏导数PPT课件例例2 2 设设(0,1 ,yzxxx 且且）1

6、 2lnxzzzyxxy证zx 1 lnxzzyxxyyyxxzy 求证求证1,yyx lnyxx2z 课件82偏导数PPT课件例例3 3 求求222rxyz的偏导数的偏导数 . . 解解rx ry 2222 xyz2xxr rzzr ,yr求求导导：暂暂时时看看作作常常数数，对对把把变变量量xzy,由对称性得由对称性得课件82偏导数PPT课件二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义: :0000d( ,)dxxyyff x yxxxx 0( , )zf x yyy 0 xM T0000d(, )dx xyyff xyyyyy 是曲线是曲线0( , )zf x yxx 0yM T在点在

7、点M0 处处对对x轴的斜率轴的斜率. .在点在点M0 处的切线处的切线对对y轴的斜率轴的斜率. .是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M的切线的切线课件82偏导数PPT课件函数在某点各偏导数都存在函数在某点各偏导数都存在, ,显然显然例如例如, ,222222,0( , )0,0 xyxyxyzf x yxy d(0,0)( ,0)d0 xff xxx d(0,0)(0,)d0yffyyy 0 0 注意：注意：但在该点不一定连续但在该点不一定连续. .课件82偏导数PPT课件二、高阶偏导数二、高阶偏导数若若z = f (x , y)在域在域D 内的偏导（函）数内的偏导（函）数( , ),(

8、 , )xyzzfx yfx yxy 仍存在偏导数，仍存在偏导数，()zx ()zxy()zyx22()( , )y yzzfx yyyy 则称它们是函数则称它们是函数z = f ( x , y )的的二阶偏导数二阶偏导数 .按求导顺序不同按求导顺序不同, , 有下列四个有下列四个二二22zx ( , );x xfx y 2zx y ( , )xyfx y 2( , );y xzfx yy x x 阶偏导阶偏导数数: :课件82偏导数PPT课件类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数. .例如例如 z = f (x , y)关于关于x的三阶偏导数为的三阶偏导数为2323()zzxx

9、x z = f (x , y)关于关于x 的的n 1 阶偏导数阶偏导数 , ,再关于再关于y( )y 1nnzxy 的一阶的一阶偏导数为偏导数为11nnzx 课件82偏导数PPT课件22xye 例4 求函数求函数2xyze 32.zy x 解解 :zx 22zx 322 ( )zzy xxy x zy 2zy x 2 zx y 22 zy 注意注意: :此处此处22,zzx yy x 但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .2xye 22xye 2xye 22xye 22xye 24xye 的二阶偏导数及的二阶偏导数及 课件82偏导数PPT课件00()()(,),x yy xfx,yfx

10、,yxy若若和和都都在在点点连连续续0000(,)(,)x yy xfxyfxy 则则定理定理说明:本定理对本定理对n元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立. .而初等函数在其定义区域内是连续的而初等函数在其定义区域内是连续的 , , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便数可以选择方便的求导顺序的求导顺序. .因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , ,( (证明略证明略) ) 课件82偏导数PPT课件例例5 5 证明函数证明函数2221,urxyzr 2222220uuuxyz证证ux 22ux 利用对称性利用对称性 , , 有有2

11、223513,uyyrr 222222uuuxyzu 满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程方程21rrx 21xrr 31r 43xrrx 23513 xrr 2223513uzzrr 2223533()xyzrr 2r 0 课件82偏导数PPT课件证证: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yf

12、xyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.令课件82偏导数PPT课件),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx ，连续,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y课件82偏导数PPT课件一、偏导数的概念及有关结论一、偏导数的概念及有关结论1.定义定义: :

13、2.2.函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续3.3.混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关小结小结几何意义：几何意义：偏增量比的极限偏增量比的极限课件82偏导数PPT课件二、偏导数的计算方法二、偏导数的计算方法1.1.求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义2.2.求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法( (与求导顺序无关时与求导顺序无关时, , 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序) )对一个变量求导数对一个变量求导数,把其余变量暂时看作常数把其余变量暂时看作常数.课件82

14、偏导数PPT课件若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题课件82偏导数PPT课件思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,课件82偏导数PPT课件作作 业业1.（4）,（6）,（8）；）； 3；4; 5； 6（3）；）； 7； 9（2）P.18 习题习题82 课件82偏导数PPT课件思考与练习思考与练习解答提示: P73 题 5，时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx当0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(