菲涅耳公式折反射定律

1、Chapter 1 理论基础1.1介质中的 Maxwell sequations及物质方程vrBE=t rrrD微分形式H =J+rtgD =rB=0g（ 1-1）传导电流密度 J 的单位为安培 / 米 2(A/m 2)，自由电荷密度的单位为库仑 / 米 2(C/m2 )。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）rvvrD = E0 EPrrrrB=H0 ( HM )r v J= E（1-2）麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此， 所有关于电磁波的产生及传播问题， 均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的

2、问题， 这也正是用以解决光波在各种介质、 各种边界条件下传播问题的关键及核心。1.2积分形式及边界条件v vv v由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、 D、 B、 H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell sequations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。vgrdvg ur?L E dldtSB d Svrrdvur积分形式 ?L H gdlIdtS D gd SvurQDgdSSuròuròS Bgd S0（ 1-3）vvv0n(E2E1 )vvvurn(H 2H1)得边界条件为vvvn (D2D1

3、 )vrvn (B2B1) 0（ 1-4）式（ 1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见光学电磁理论P20）：（1）电场强度矢量vvE 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。ururv（2）为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，=0，此时 H 的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。（3）为界面上的自由电荷面密度。r（4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播2.1反射定律和折射定律光由一种介质入射到另一种介质时， 在界面上将产生反射和折射。 现假设二介质为均匀、 透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射

4、和折射光均为平面光波，其电场表达式为vrexpi(tr入射波 EEik grr )i0iirrexp i(trr反射波EEkr )r0rrr grrexp i (trrr )折射波 EtE0ttktg界面两侧的总电场为：rrrrrri trrexpi (r trE1EiErE0i exp i (kir )E0 rkrr )rrrttrrE2EtE0t expi (ktr )由电场的边界条件rrr0 ，有n(E2E )1rrr rrrexpi (r trrrrr rnE0i expi( itkir )nE0rkrr )nE0t expi ( t tkt r )欲使上式对任意的时间rt 和界面上

5、r 均成立，则必然有：irt（ 1-5）rrrrrrkirkrrktr（ 1-6）可见，时间频率 是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。rrr0(krki )rrrr0（ 1-7）(ktki )rrrrrr由于 r可以在界面内选取不同方向，上式实际上意味着矢量( krki) 和 ( ktki ) 均与界rrrrr面的法线 n 平行，由此可以推知，ki、 kr、 kt与 n 共面，该平面称为 入射面 。由此可得出结论： 反射波和折射波均在入射面内。上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得ki cos(i )kr cos(2r )

6、ktcos(2t )（ 1-8）2又由于 kin/ c ， krn/ c ， kn/ c ，得11t2i r (反射角等于入射角 )（ 1-9）n1 sin in2 sin （t折射定律）2.2菲涅耳公式折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波 传播方向 之间的关系。 而反射波、 折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。r电场 E 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为s分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为p分量。首先 研究入射波仅含 s分量和仅含 p分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分

7、量成分的折射、反射电场； 然后 根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。（1）单独存在 s 分量的情形首先规定 ：电场和磁场的 s 分量垂直于纸面，向外为正，向内为负。在界面上电场切向分量连续：rrr0n (E2E1 )另外由式（1-5）、（ 1-6），可得E0isE0 rsE0ts（ 2-1）在界面上磁场的切向分量连续：rrr0n(H 2H 1)r1rr注意 HkE ，如图所示。所以同理有H 0ip cos iH0 rp cos rH 0tp cos t（ 2-2）rr非磁性各向同性介质中E 、 H 的数值之间的关系：HBn E00 cr rE H那么式（ 2-1）整理为n1 E0is c

8、os in1E0 rscos rn2 E0ts cos t（ 2-3）联立式（ 2-1）（ 2-3）可得rsE0 rsn1 cos in2 cos tE0 isn1 cos in2 cos ttsE0 ts2n1 cos iE0 isn1 cos in2 cos t（2）单独存在 p 分量的情形首先 规定 ： p 分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。r r根据 E 、 H 的边界条件得：H 0isH 0rsH 0tsE0 ipcos iE0rp cos rE0tp cos trr再利用 E 、 H 的数值关系以及正交性，得到E0 rpn cosin costrp21E0ipn2

9、cos in1 cos tt pE0 tp2n1 cos iE0 ipn2cos in1 cos t综上所述， S 波及 P 波的反射系数和透射系数的表达式为：E0rsn1 cosin2 cos trssin(it )rsn1 cosn2 cos tsin(t )E0isiiE0rpn2 cosin1 costr ptan(it )r ptan(t )E0ipn2 cosin1 costiE0ts2n1cos its2cosisinttsn1 cos in2 cos tsin(t )E0isiE0tp2n1 cos it p2cosi sintt pn cosn cossin( i)cos(t

10、 )E0ipitti21上面左边的式子就是著名的 Fresnel 公式。 利用折射定律， Fresnel 公式还可以写成右边的形式。2.3反射波和透射波的性质n1<n2 的情况（1）反射系数和透射系数两个透射系数t s 和 t p 都随着入射角i 增大而 单调降低 ，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，ts和 tp 都大于零，即折射光不发生相位突变。 rs 始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的 s 分量振动方向始终与入射波s 分量相反，既存在相位突变（又称半波损失）。对于 rp ，它的代数值随着入射角i 单调减小，但是经历了一个由正到

11、负的变化。由公式rptan(tan(it )0 时有 it 90o，即 sin icos t ，又由折射定律，当 rpit )n1 sin in2 sin t ，联立可得此时入射角为布儒斯特角Btg 1 n2 。布儒斯特定律内容：n1如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p 分量， 只有 s 分量；反射角与折射角互为余角。（2）反射率和透射率上图中 Ai ArAt 为波的横截面面积，A0 为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为I is ，则每秒入射到界面上A0 面积的能量为 WisIis AiI is A0 cos i又由光强表达式 I2n|E0|2，上式可

12、写成0cWn1 | E|2 A cosiis20c0is0类似地，反射光和折射光的能量表达式为Wn1| E|2A cosirs2 0c0rs0Wn2| E|2 A costts2 0c0ts0于是反射率和折射率分别为RWrsI rs| rs|2sWisI isTWtscos tI tsn2 cos t | t|2sWiscos iI isn1 cossi类似地，当入射波只含有p 分量的时，可以求出p 分量的反射率 Rpp：和透射率 TRpWrpI rp| rp |2WipI ipTpWtpcosI tpn cos2WiptI ip2t| tp |cos in1cos iRs 与 Ts 之间、

13、Rp 与 Tp 之间均存在互补关系，即：RsTs1RpTp1这表明，在界面处， 入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失） 。当入射波同时含有s 分量和p 分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有：r| Ei|2| Eis|2| Eip|2从而有：I iI isI ipWiWisWip类似还有WrWrsWrp， WtWtsWtp可以定义反射率R 和透射率 T 为：R Wr ， TWtWiWi注意： 入射光波的 s 分量 (p 分量 )只对折射率、反射率的s 分量 (p 分量 )有贡献。如果入射波中s 和 p 分量的强度比为， WW

14、W ，则有：iisipR1R R和T1 T T1sp1spppR T 1即 R和 T 分别是 Rs 、 R 和 Ts 、T的加权平均。但是仍然有：正入射时， s 分量和 p 分量的差异消失。若用R0 和 T0 表示此时的反射率和透射率，则有：R r2(n n 2以及 T0n224n12 n22012 )t00nnn(n n )212112利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小(i30o )的反射率和透射率。n1>n2 的情况这种情形即由 光密媒质 入射到 光疏媒质 的情形。由折射定律可知，it把 t90o 所对应的入射角称为 全反射临界角 ，用c 表示。即 sin cn2。n1因此

15、分ic 和 ic 两种情况来讨论。（1）当ic 时此时 t90o ，可以直接用 Fresnel 公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n1<n2的情形完全相同。对于 s 分量来说，当 ic 时， rs0，说明无半波损失，正如上图中的蓝线所示；对于p 分量来说，在 iB 范围内， rp0 ，说明有半波损失，而在Bic 范围内，rp0 ，说明无半波损失。注意 sinctanBn2Bc ，说明布儒斯特定律依然有效，n1，所以必然是同时也说明无论是 n1>n2还是 n1<n2 的情形，布儒斯特定律都成立。t s 和 t p 均大于 1，且随着i 的增大而增大， 但是这不意味着透射

16、率T 大于 1 以及 T 必然随 i的增大而增大。Tsn2 cost| ts|2n1 cosiTpn2 cost| tp|2n1 cosi（2）当ic 时sincn2。由该式可见， 当 ic 时，会出现 sin in2因为全反射临界角满足n1n1的现象，这显然是不合理的。此时折射定律n1 sin in2 sin t不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式sintn1sin i 。n2由于t 在实数范围内不存在，可以将有关参量扩展到复数领域。而i 始终是实参量， 为此应将 cost 写成如下的虚数形式：cost1sin 2ti sin 2t1i( n1 sin

17、i ) 21n2有关 cos 2 取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数r%scoscosiisin 2in2rs )sin 2| r%s| exp(iiiin2%n2 cosiisin 2in2%rp )rsn2 cosisin 2n2| rp | exp(iii并且有%1| rs | | r p |tanrsn2 tanr psin 2in222cosi式中，nn2/ n1 ，是二介质的相对折射率；%、| r% |为反射光与入射光的 s 分量、 p 分| rs |p量光场振幅大小之比。rs 、 rp 为全反射时，反射光中的s 分量、 p 分量光

18、场相对入射光的相位变化。 由上式可见， 发生全反射时， 反射光强等于入射光强，而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决定：cos i sin 2i n2rsrp2arctansin 2i因此，在 n 一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。 这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光场呢？当把 ts、t p 的 Fresnel 公式推广到复数域进行计算，将会发现 t s、t p 都不等于零，亦即光疏媒质内有折射光波。 在发生全反射时， 光波场将透入到第二个介质很薄的一层 （约为光波波长）范围内，这个波叫倏逝波。现假设介质界面为xOy 平面，入射面为xOz 平面，则在一般情况下可将透射波场表示为rrexpi (t tr grri( ttkt xsint kt zcos t )EtE0 tkt r )E0t exp上式可改写为rrexpi(tk xsinikz( n1 sin)2 1)EEttit0 tttn2rr( n1 sini )2kt x n1EtE0 t expkt z1exp i ( ttsini )n2n2这是一个沿着 z 方向振