2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

1、因此数列册为“M数列”（2）解：因为,所以2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）1. （2019江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列&（£"）满足：。必=外吗-4生+4% = 0,求证:数列1为“M数列”；122（2）已知数列/满足：=1，不=万一二，其中S为数列值的前项和.Vn 4+1求数列5J的通项公式；设勿为正整数，若存在“M数列” &（£“）,对任意正整数4 ,当kWm时，都有G <4*1成立，求力的最大值.【答案】（1）解：设等比数列仿）的公比为0 ，所以&W0, qWO.

2、a2ax = a5 '得a2q2 4 q + 4 叼=05 4az + 4% = 0则 b2=2 -,得 一$ _九之2时，由bn = Sn-Sn_i，得匕二 丫 九-也71 2（frre+1-M整理得匕案7+ b?iT = 2b所以数列九是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列2的通项公式为友二,ug .（n e N*）由知，b正k ，.因为数列匕为“M-数列”，设公比为q ,所以限1, q0.因为从We-，所以k.改，其中A=l, 2, 3,，m.当Fl时，有q2l;当仁2, 3,，加时，有into " . 一 Into设 f （x）=，贝ijv（x>1） r，（劫

3、=芍令f，得小e.列表如下：f 二oX（晓）e(e, +8)f '+0f（X）极大值因为I I I I ,所以1"=詈 <野=祟 f(k)x =*3)=攀当心1, 2, 3, 4, 5 时,即 “Ink .k < qKRlnq 一"经检验知产士也成立因此所求力的最大值不小于5.若力26,分别取心3, 6,得3W/ ,且q$W6,从而染2243,且/W216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求必的最大值为5.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关 系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式

4、，用“M数列”的定义证出数列仿）为“M数列"。（2）利用,与k的关系式结合已知5n bn条件得出数列g 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列6 的通项 也也）公式。由知，妒4 ， 八必.因为数列匕为“m 数列”，设公比为。， rC t JV所以。尸L q0,因为以WAWc-，所以fea f及，其中hl, 2, 3,，m，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的极值,进而求出函数的最值,从而求出m的最大惯。2. （2019上海）已知等差数列为的公差dqO,句，数列也满足d=sm（%）,集合S = x|x = ",£N".（1

5、）若q = o,d =杏，求集合S；（2）若4 = £,求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：*=”，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.【答案】解：等差数列-的公差s，数列出满足册）5 = xx = bntn E N*)集合集合s=T.。争（2）解：，数列Q】满足人. /、，集合q 一 卜C恰好 卫brJ bn = sin（an）S = xx=01 - 2有两个元素，如图:根据三角函数线，等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合q恰 册y5好有两个元素，此时,a = it终边落在力上，要使得集合，恰好有两个元素，可以使 ， 的终OASa2 a3边关于轴对

6、称，如图而，w， yu d UC综上， 或者d _ %a = tt 3解：当牙，时，入 卜，集合q 6-,符合题意.T = 31+3=%5 =加,外力打Zq /1乙qJ- T = 4'%+4=遍'sin(an + 4d) = sinan ' an + 4d = an + 2krr 'an + 4d = 2kjr - anan + 4d = an + 2krr2等差数列&的公差一问当一时满足条件，此时s二s#&i+5 = b牝sin(an + 5d) = sinanan + 5d = an + 2Jctt或者an + Sd = 2kn- ari &

7、#39;因为 dE(O,n'故 k = 1,2当1 1时，满足题意.I 5 =伊啧1,-疝力当T K时，1=6sin(an + 6d) = sinan所以arL + 6d = an + 2kn或者a虱 + 6d = 2/ctt- an故 k = £2,3 当"1时,，满足题意.当r-7时，b -bI - /%i+7 ,灰(0sin(an + 7d) = sinan ,所以"7d=(1rt + 2/cjt ' 或者an + 7d = 2kjr - an口 故 k = 1,23当I时，因为“,对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点,必然有4 =

8、 2汗4变,'不符合条件. th-n 7当*2时,因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点,必然有d,不是整数，不符合条件.2n =把nt - nth-n 7当*3时,因为7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点,必然有,或者4，或者，此时， 均am an = 2tt4jt 日=知=至d = 一 一=变m nthn 7mn7不是整数，不符合题意.综上,T = 34,5,6【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列, 等差数列的通项公式【解析】【分析】(1) 等差数列，1的公差 一口】，数列小满足-册dW(O,TT也1.，集合q h ，利用元素

9、和集合间的关系求出结合等差数。乳=sin(a)5 = xx = bntn e N 列，l的通项公式和正弦值的求解方法求出数列6 的通项公式，从而求出当册也时的集合S.、2冗(2)当等差数列首项 时，利用数列行满足h .、，用等差数列0i a1=-仍" b=$in(aQan2的通项公式和正弦值的求解方法求出数列6 的通项公式，再利用数列好的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合5恰好有两个元素的d的值。（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合5恰好有三个元素，用分类 讨论的方法结合已知条件力产总用等差数列,i的通项公式和正弦值的求解方 法求出数列6的通项公式，再

10、利用了是不超过7的正整数，从而求出满足要求 的丁的所有可能的值.3. （2019浙江）设等差数列瓜的前n项和为S- asM.aFSs ,数列bj满足:对每个n£N* ， Sn+bn , Sn+l+bn、Sn壮+bn成等比数列（1）求数列aj, bj的通项公式；（2）记 C二, n£N* ,证明：C1+C+CV2后，n£N* .【答案】（1）设数列,i的公差为d ，由题意得5+ 2d = 4, % + 3d = 3 + 3d解得从而an = 2n - 2,n E N*Sn + bni + brrSn+z + bn成等比数列得国3+以尸二6+ %）（$4+“）解得所以

11、bn = n2 + n,n 6 iV*时,那么，当. + 0 + + （ + c计 1/24 +< 2e+忌< 2瓜 +h1=2Vfc + 2（、%率T -= 2魂41即当 ”一时不等式也成立. n = k + 1根据（1）和（2）,不等式，）分厂对任意uM,成立.c工 + q + + cn < 2nneNf【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即 可求出相应的表达式；（2）采用数学归纳法，现在n3时式子成立，假设"k时式子成立，再证"k+l 时式子也成立即可.4. （

12、2019天津）设也是等差数列，也是等比数列，公比大于0,已知ci=b= 3, A = 4。，+ 3.XXJ .（I）求血和或的通项公式;（II）设数列%满足求+生Q + +%”% （ £ N）_ Lri为奇教% = 闻,先为侬2【答案】解：（I）解：设等差数列f I的公差为d,等比数列的公比为q依题意，得3门神，解得”，故3q = 3 + 2da = 3（3 铲 15 + 4d0 = 3册=3 + 3（几一1） =3几3X371-1 =3"'所以，1的通项公式为 宝，小的通项公式为卜 aja二3九 也bn= 3n（II）解： ,.Q3+ QzS+ + /Qn（Qi

13、+ as + a5 HF a2n-l） + （a2+ a42 + 06匕2+ + a2nn）=n X 3 + 誓 X 6 + (6 X 31 + 12 X 32 + 18 X 33 + - + 6w X 3n)=3M + 6(1 X 3+ 2 X 32 + x 3")7；=1X31 + 2X32 +-+71X 371 ,37； = lx 32 +2 x 33 +-+nx32+1 '一得，n e= 2Tr =-3-323n+nX3n+1 =-2(")= .7" +?1 32所以，fa±q 4- a2c2 4- - + a2nc2n = 3n2 +

14、6心=3n2+ 3 X "”一个= (2.-l)3+6n9(nejVt)【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设,I的 5公差为，小】的公比为，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方 d也1q程求得，和，进而可得i】的通项公式； dq回也（II）数列,I的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前项和。.九5n5. （2019天津）设包是等差数列，也是等比数列.已知ci. 4, b. 6, b, 2a, 2, b, 2a% + 4.XJJ（I）求%和也的通项公式；1 2k <n&l

15、t; 24"（ID设数列匕满足生=16=：0,'其中kwN*.也, =2 ,（i）求数列%（%）的通项公式；2ff（ii ）求££（£%）/=1.【答案】解：（I）设等差数列&的公差为d ,等比数列出）的公比为q.依题意得 6 + 2%解得”工故 12 + 4d,0 = 2,品=4 + 5- 1) x 3 = 3九 + L %=6 X 271T = 3x2" '所以，1的通项公式为 1.I公i的通项公式为卜一5品=3苑+ L M3=3 X 2解(")(i) a2c2n - 1) = a.2r(bn - 1) =

16、 (3 X 2n + 1)(3 X 2n - 1) = 9 X 4" - 1 '所以，数列f r 皿的通项公式为,妨一 a27i(c2n - 1)a2iz(c2n - 1) = 9 x 4n - 1(ii )r£言 q = E；=i& + %(g - D = £2 % + E?=1 ”(引 一 D=(2 X 4 + 支 X3)+ 式9 X 4i -1) 2-= （3x22n- 7一废小得出数列, 巾的通项公式；_ 1 _ J， 2 < 九 < 2 +，也”«* 1）Ci-LQT 昵九=2匕（ii）将f0f的、代值并化简即可求值

17、。6. （2019卷II）已知为是各项均为正数的等比数列，q=2吗=23+ 16.（1）求4的通项公式；（2）设仇=1幅凡,求数列也的前n项和。 + 5x27I-2） + 9 X-n= 27X 2"t + 5X 2“t-n-12 （ne N，）【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和 公式。（I）由 工k,根据等差数列、等比数列的通项q3 二 4也= 6 , o2 = Za2 2, o3 = 2a3 + 4公式列出方程组，即可求I和f,1的通项公式；也抵也J（II）由（i）,1的通项公式为 I.建i

18、的通项公式为卜，【答案】（1）解：设为的公比为q,由题设得,即2q2 = 4q + 16q2-2q-8 = 0解得 7 （舍去）或q=4.q = 2因此小的通项公式为/ =29（2）由（1）得人0 尸）7 1，因此数列出的前n项和为= （2n - 1） log 2 2 = 2n - 11 + 3 H1- 2ti 1 = n 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方 程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列也 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。7. （2019北京）设区是等

19、差数列，a-10,且MIO, a3+8, a1+6成等比数列.（I）求aj的通项公式；(II)记的前n项和为权 ,求和的最小值.【答案】解：(I)根据三者成等比数列，可知，(a3 + 8)2 = (a2 + 10)(a4 + 6)联 (-10 + 2d + 8)2 = (-10 + d + 10)(-10 + 3d + 6)'解得d=2,故；人 a =-10+2(n-l) =2n- 12 '(II )由(I)知，该二次函数开口向上，对称轴为"5. 5,故"5或6时，取最小值-30.【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【分析】（I）根据等比中

20、项，结合等差数列的通项公式，求出d,即 可求出 ；（II）由（1）,求出c ,结合二次函数的性质，即可求出相应 的最小值.8. （2019卷 II）已知数列aj 和bj 满足 akl, bi=0,布什1= 3q + 4,4b+i = 3b“一a”一4.（1）证明：区+bJ是等比数列，abj是等差数歹lj；（2）求aj和bj的通项公式.【答案】（1）解：由题设得“ 一、，即4（* + ）=23+ =a + 21 g +又因为a田1,所以+ M是首项为1，公比为£的等比数列.由题设得4（%样一及3=4a-瓦）+ 8即71+1 -匕n+1 =+ 2又因为 V &=1,所以匕.,是首

21、项为1,公差为2的等差数列. a -（2）由（1）知,所以an = 1(fln + bn) +-M = .+ n-% =+ bn) (册 - %) =-n+|【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出,则厮+1 + g+l =;5+%）是首项为】，公比为2的等比数列，再结合已知条件可推出+ 2 即可得出是首项为】，公差为2的等差数列.结合的结论把两个数列5+小Si的通项公式相减，即可得出两 个数列aj和b的通项公式。9. （201。北京）已知数列aj,从中选取第9项、第京项第L项（iKiK01 若ail<ai2<-<ain.则称新数列纵,a,2,，为aj的长度为m的递增子 歹IJ.规定：数列4的任意一项都是&的长度为1的递增子列.（I）写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列aj的长度为P的递增子列的末项的最小值为曲,长度为q的递增子列的末项的最小值为40 ,若pq,求证：am0<an0;（HI）设无穷数列aj的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若aj的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-l,且长度为s末项为2s-l的递增子列恰 有2门个（s=1.2.），求数列aj的通项公式。【答案】解：(I) 1, 3, 5, 6 或 1, 3, 5, 9