2022年2021高考全国2卷理科数学带答案

1、理科数学试题第1页（共 11页）绝密 启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2b 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

2、一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。112i12ia43i55b43i55c34i55d34i552已知集合22(, ) |3,ax yxyxyzz ，则a中元素的个数为a9 b8 c5 d4 3函数2ee( )xxf xx的图象大致为4已知向量a， b 满足 |1a，1a b，则(2)aaba4 b3 c2 d0 5双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3 ，则其渐近线方程为a2yxb3yxc22yxd32yx6在abc中，5cos25c，1bc，5ac，则aba 4 2b30c29d 2 5精品学习资料 可

3、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第2页（共 11页）7为计算11111123499100sl，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入a1iib2iic3iid4ii8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 30723在不超过30 的素数中，随机选取两

4、个不同的数，其和等于30 的概率是a112b114c115d1189在长方体1111abcda b c d 中，1abbc，13aa，则异面直线1ad 与1db 所成角的余弦值为a15b56c55d2210若( )cossinf xxx 在 , a a 是减函数，则a的最大值是a4b2c34d11已知( )f x 是定义域为(,) 的奇函数，满足(1)(1)fxfx 若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffla50b0 c2 d50 12已知1f ，2f 是椭圆22221(0)xycabab：的左，右焦点，a是 c 的左顶点，点p在过a且斜率为36的直线上，12pf f为等腰三角形，

5、12120f f p，则 c 的离心率为a23b12c13d14二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13曲线2ln(1)yx在点 (0, 0) 处的切线方程为_14若,x y满足约束条件250,230,50,xyxyx则 zxy 的最大值为 _15已知 sincos1， cossin0，则 sin()_开始0,0ntsnts输出1i100i1nni11tti结束是否精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

6、- - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第3页（共 11页）16已知圆锥的顶点为s， 母线 sa，sb所成角的余弦值为78，sa与圆锥底面所成角为45 ，若sab的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为_三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17 （12 分）记ns 为等差数列 na的前n项和，已知17a，315s（1）求 na的通项公式；（2）求ns ，并求ns 的最小值18 （12 分）下

7、图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t 的两个线性回归模型根据2000 年至2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,17l）建立模型：?30.413.5yt ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1, 2,7l）建立模型：?9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）设抛物线24cyx：的焦点为f， 过f且斜率为(0)k k的直线

8、 l 与 c 交于a，b两点，|8ab（1）求 l 的方程；（2）求过点a，b且与 c 的准线相切的圆的方程20 （12 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第4页（共 11页）如图，在三棱锥pabc 中，2 2abbc，4papbpcac， o 为 ac 的中点（1）证明： po平面 abc ；（2）若点m在棱 bc 上

9、，且二面角mpac 为 30 ，求 pc 与平面pam所成角的正弦值21 （12 分）已知函数2( )exf xax （1）若1a，证明：当0 x时，( )1fx ；（2）若( )f x 在 (0,) 只有一个零点，求a（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xoy 中，曲线 c 的参数方程为2cos ,4sin,xy（ 为参数），直线 l 的参数方程为1cos ,2sin ,xtyt（ t 为参数）（1）求 c 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 c 截直线 l 所得线段的中

10、点坐标为(1,2) ，求 l 的斜率23 选修 45：不等式选讲（10 分）设函数( )5|2|f xxax（1）当1a时，求不等式( )0f x 的解集；（2）若( )1f x ，求a的取值范围绝密 启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题paocbm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第

11、5页（共 11页）1d 2a 3b 4b 5 a 6a 7b 8c 9c 10a 11c 12d 二、填空题132yx149 15121640 2三、解答题17解：（1）设na的公差为d，由题意得13315ad由17a得 d=2所以na的通项公式为29nan（2）由（ 1）得228(4)16nsnnn所以当 n=4 时，ns取得最小值，最小值为- 1618解：（1）利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为?30.413.5 19226.1y(亿元 )利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为?9917.59256.5y(亿元 )（2）利用模型得到的预测值更可靠

12、理由如下：（）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下这说明利用2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型?9917.5yt可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于20

13、16 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第6页（共 11页）的预测值2261 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19解：（1）由题意得(1,0)f，l 的方程为(1

14、)(0)yk xk设1221(,),(,)ayxyxb，由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk216160k，故122224kxkx所以122244| |(1)(1)xkabafbfkx由题设知22448kk，解得1k（舍去），1k因此 l 的方程为1yx（2） 由 （1） 得 ab 的中点坐标为(3,2)， 所以 ab 的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则00220005,(1)(1)16.2yxyxx解得003,2xy或0011,6.xy因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy20解：（1）因为4

15、apcpac，o为ac的中点，所以opac，且2 3op连结ob因为22abbcac，所以abc为等腰直角三角形，且obac，122obac精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第7页（共 11页）由222opobpb知poob由,opob opac知po平面abc（2） 如图，以o为坐标原点，obuu u r的方向为x轴正方向

16、， 建立空间直角坐标系oxyz由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0, 2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),obacpapuu u r取平面pac的法向量(2,0,0)obuu u r设( ,2,0)(02)m aaa，则( ,4,0)amaauuur设平面pam的法向量为( , )x y zn由0,0apamuu u ruuu rnn得22 30(4)0yzaxa y，可取( 3(4),3 ,)aaan，所以2222 3(4)cos,2 3(4)3aobaaauu u rn由已知得3| cos,|2obuu u rn所以2222 3 |4|3=22 3(4)3

17、aaaa解得4a（舍去），43a所以8 3 4 34(,)333n又(0,2,2 3)pcuu u r，所以3cos,4pcuu u rn所以pc与平面pam所成角的正弦值为34精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第8页（共 11页）21解：（1）当1a时，( )1f x等价于2(1)e10 xx设函数2( )(1)e1xg

18、xx，则22( )(21)e(1) exxg xxxx当1x时，( )0g x，所以( )g x在(0,)单调递减而(0)0g，故当0 x时，( )0g x，即( )1f x（2）设函数2( )1exh xax( )f x在(0,)只有一个零点当且仅当( )h x在(0,)只有一个零点（i）当0a时，( )0h x，( )h x没有零点；（ii）当0a时，( )(2)exh xax x当(0,2)x时，( )0h x；当(2,)x时，( )0h x所以( )h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增故24(2)1eah是( )h x在0,)的最小值精品学习资料 可选择p d f - - -

19、 - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第9页（共 11页）若(2)0h，即2e4a，( )h x在(0,)没有零点；若(2)0h，即2e4a，( )h x在(0,)只有一个零点；若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以( )h x在(0,2)有一个零点，由（ 1）知，当0 x时，2exx，所以33342241616161(4 )11110e(e)(2 )aaaaa

20、haaa故( )h x在(2,4)a有一个零点，因此( )h x在(0,)有两个零点综上，( )fx在(0,)只有一个零点时，2e4a22 解：（1）曲线c的直角坐标方程为221416xy当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x（2）将l的参数方程代入c的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt因为曲线c截直线l所得线段的中点(1,2)在c内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt又由得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k23解：（1）当1a时，24,1

21、,( )2, 12,26,2.xxf xxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -理科数学试题第10页（共 11页）可得( )0f x的解集为| 23xx（2）( )1f x等价于|2 | 4xax而|2 | |2 |xaxa，且当2x时等号成立故( )1f x等价于|2| 4a由|2 | 4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(, 62,)u21（ 12 分）已知函数2( )exf xax（1）若1a，证明：当0 x时，( )1f x；（2）若( )f x在(0,)只有一个零点，求a解：（1）( )e2xfxx，( )e2xfx当ln2x时，( )0fx，当ln2x时，( )0fx，所以( )fx在(,ln 2)单调递减，在