湖南省长沙市2026届初中学业水平考试模拟试卷（一）数学试卷（含解析）

2026年湖南长沙市初中学业水平考试模拟试卷数学（一）一、单选题1．下列实数为无理数的是（

）A． B． C． D．2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．4．某校抽取8名同学参加“体质健康”测试，数据如下：，，，，，，，，则该组数据的众数和中位数分别是（

）A．， B．， C．， D．，5．如图，直线，直线a截直线l，m形成，已知，则的度数为（

）A． B． C． D．不能确定6．一个均匀的正方体六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是这个正方体的表面展开图．随机抛掷这个正方体，落定后顶面的数恰好等于底面的数的的概率是（

）A． B． C． D．7．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．任意实数8．某商品原价400元，连续两次降价后售价为256元，若每次降价率相同，则每次降价率为（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，以点C为圆心、为半径作圆，交于点D，则的长为（

）A． B． C． D．10．已知二次函数与轴交于，两点，顶点为，若是等腰直角三角形，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．分解因式：____________．12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_______．13．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______________．（填一般式）14．的弦的长为，弦的弦心距为，则的半径是______．15．如图，在中，点M，N分别在上，且．已知，则_______．16．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元．三、解答题17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号）20．某校为了解“双减”后学生每日完成作业时间，随机抽取部分学生进行调查，绘制如下两幅不完整的统计图表．组别ABCD时间t（分钟）人数（人）1015根据图表信息，解答下列问题：(1)求被调查学生总数；(2)求完成作业时间在分钟的学生对应的扇形圆心角度数；(3)估计该校800名学生中，每日作业时间不少于90分钟的人数．21．如图，在中，．点在边上．将沿翻折，点的对应点恰好落在上．(1)求的长度；(2)求的值．22．为保障“长沙银行·2025湘江马拉松”选手参赛体验，赛事组委会计划在赛道沿线投放两种补给包．A种补给包（含矿泉水、香蕉等），成本为10元/份；B种补给包（增加能量胶、盐丸等），成本为20元/份．两种补给包共准备15000份．(1)若本次补给包总采购费用为20万元，则A，B两种补给包各采购多少份？(2)为满足不同阶段选手需求，购进B种补给包的数量不少于A种补给包的倍．请问最少需购进B种补给包多少份？23．如图，在中，对角线，交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．(1)求证：；(2)若，求四边形的最大面积．24．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫“垂美四边形”．请解答以下问题：(1)下列四边形一定是“垂美四边形”的是_______（填序号）①平行四边形

②矩形

③菱形

④正方形(2)如图1，若“垂美四边形”内接于．求证：．(3)在（2）条件下，以O为原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立直角坐标系，如图2．①若，过点E作，垂足为点H，求EH的长：②若，记为，且，，若，求的值．25．如图，抛物线与轴相交于两点（点在轴的正半轴上），直线与抛物线相交于两点．(1)求点和点的坐标（用含的式子表示）：(2)点为抛物线上的一个点，连接，，交轴于点．的内心在轴上，且为的中点，连接．求证：；(3)在（2）条件下，设为抛物线上的一个动点，且在直线的下方．以点为圆心的与直线相切，记的最大半径为．试判断是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．参考答案1．B解：A、不是无理数，故本选项不符合题意；B、是无理数，故本选项符合题意；C、不是无理数，故本选项不符合题意；D、不是无理数，故本选项不符合题意；2．D解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意；3．A解：对于选项A：∵，∴正确；对于选项B：∵，∴错误；对于选项C：∵，∴错误；对于选项D：∵，∴错误．故选：．4．D解：对该组数据排序：，，，，，，，；∴中位数为：；众数为：．故选：D．5．B解：如图，∵，，∴，∴．6．C解：由正方体展开图的特点可知1与6相对，2与4相对，3与5相对，抛掷这个立方体，朝上一面上的数字一共有6种情况，其中落定后顶面的数恰好等于底面的数的的情况有1种，即朝上一面上的数为2，∴落定后顶面的数恰好等于底面的数的的概率是．7．C解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴，解得．故选：C．8．C解：设每次降价率为x，根据题意得：，解得：（舍去），答：每次降价率为．9．A解：过点作于点，连接，∵，，，∴．∵，∴，∴．在中，由勾股定理，得．∵，，∴．10．D解：化为顶点式为：，∴顶点的坐标为：，∴点到轴的距离为；∵二次函数与轴交于，两点，∴，，解得：，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴．11．解：．故答案为：．12．9解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴且，解得：．13．解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．14．解：过作于，则，连接，∵，∴，，∴()，即的半径为，故答案为：．15．12解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得：．16．解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得：，解得：，答：永州款的单价为元．17．2030解：原式．18．，1．解：原式，，将代入得：原式．19．解：已知，，无人机在处观测的俯角分别为和，在中：，，∴在中：，，∴，即，解得：，∴．答：观测点之间的距离为．20．(1)50人(2)(3)估计该校800名学生中，每日作业时间不少于90分钟的人数为320人（1）解：（人），所以，调查总人数为50人；（2）解：完成作业时间在分钟的学生对应的扇形圆心角度数为；（3）解：B组的人数为（人），D组的人数为（人），（人）答：估计该校800名学生中，每日作业时间不少于90分钟的人数为320人．21．(1)的长度为(2)的值为（1）解：在中，，∵沿翻折，∴，则．（2）解：设，则，∵沿翻折，∴，，∴，∵在中，，∴，解得，∴，∵在中，，∴．22．(1)A种补给包采购10000份，B种补给包采购5000份(2)9000份（1）解：设A种补给包采购a份，B种补给包采购b份，根据题意得：，解得：，答：A种补给包采购10000份，B种补给包采购5000份；（2）解：设购进B种补给包x份，根据题意得：，解得：，答：最少需购进B种补给包9000份．23．(1)证明见解析(2)（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵分别为的中点，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵在平行四边形中，对角线，∴四边形是菱形，设，则，在中，，∴，由得，则，即，∴，当且仅当时，四边形的面积取得最大值．答：四边形的最大面积为．24．(1)③④(2)见解析(3)（1）解：①平行四边形：对角线互相平分，不一定垂直，不是垂美四边形；②矩形：对角线相等且平分，不一定垂直，不是垂美四边形；③菱形：对角线互相垂直，是垂美四边形；④正方形：对角线互相垂直且相等，是垂美四边形．综上，是“垂美四边形”的是③④；（2）证明：如图，连接，，∵四边形是垂美四边形，∴，设垂足为O，在中，；在中，；∴；同理，在中，；在中，；∴；∴；（3）解：∵，如图，∴，∵，∴；；；；∵∴，∴，在和中，，，∴，∴，即，∴，∴，∴，代入得∴，∵，∴，在和中，，，∵∴，∴，∴，∴，把，代入，得，∴，又，∴，∴；∴．25．(1)，(2)见解析(3)为定值（1）解：∵抛物线∴当时，解得或∴；联立和得，解得或将代入得