微分与求导的法则

1、1函数的和、差、积、商的微分函数的和、差、积、商的微分小结小结 思考题思考题 作业作业3.2 函数的求导法则函数的求导法则第第3 3章章 导数与微分导数与微分反函数的微分与求导法则反函数的微分与求导法则基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式复合函数的微分与求导法则复合函数的微分与求导法则与求导法则与求导法则2定理定理3.3 )()(d)1(xvxu并且并且则则它们的和、差、积、商它们的和、差、积、商 在点在点 x处也可微处也可微,一、函数的和、差、积、商的一、函数的和、差、积、商的如果函数如果函数u(x), v(x)都在点都在点x处可微处可微, 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则微

2、分与求导法则微分与求导法则 )()(xvxu),()(xvxu );(d)(dxvxu )()(d)2(xvxu);(d)()(d)(xvxuxuxv )()(xvxu),()()()(xvxuxvxu 证证 (1),(dxouu 由由),(dxovv 可得可得 )(vu vu )(dxou)(dxov ),(ddxovu 可微的定义可微的定义证毕证毕.自己证自己证3证证hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxuhxuh)()(lim0 hxvhxvh)()(lim0 ),()(xvxu )()()1(xvxu);()(xvxu 0lim hh ),()()(xvxuxf 设设hxvxuh

3、xvhxuh)()()()(lim0 )()(xuhxu )()(xvhxv 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则导数的定义导数的定义 证毕证毕.4 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则)0)( xv)0)( xv )()(d)3(xvxu;)()(d)()(d)(2xvxvxuxuxv )()(xvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu 证证 ,vuy 设设.yvu 则则由由(2)乘积的导数公式乘积的导数公式, u得得故故vvyuy vvvuu )0(2 vvvuvuvy ,vy y 特别特别 )(1xv.)()(2xvxv .2vvuvuvu 即即 )()( xvxu)()

4、()()(xvxuxvxu 5推广推广 )(wvu )(uvw,wvu 则则且且uvw vuwd.wuv ;wvu vwu若若u、 v、w在点在点x处均可微处均可微,在同一点在同一点x处也可微处也可微, )(dwvu,dddwvu )(d uvw uvwd wvu,dwuv )(xcu )(dxcu在法则在法则(2)中中,有有时时为常数为常数当当,)()(ccxv ),(dxuc).(xuc 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则6例例.sin223的导数与微分的导数与微分求求xxxy 解解23xy x4 例例.ln2sin的的导导数数与与微微分分求求xxy 解解xxxylncossin2

5、xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 ,cosx ,2sin1ln2cos2xxxx yd xy d.d)cos43(2xxxx yd xy d.)d2sin1ln2cos2(xxxxx 因为因为函数和、差的函数和、差的求导法则求导法则函数乘积的求函数乘积的求导法则导法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则7例例.tan的导数与微分的导数与微分求求xy 解解 )(tandxx2cos xxxxdcossincos222 ,dsecdcos122xxxx .sec)(tan2xx )(cot x同理可得同理可得 xxcossind所以所以.csc

6、2x )(cosdsinxx)(sindcosxx 函数商的微分法则函数商的微分法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则8例例.sec的导数与微分的导数与微分求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得: )(1xv)()(2xvxv 即即,tansec)(secxxx ,cotcsc)(cscxxx .dtansec)(secdxxxx 函数商的求导法则函数商的求导法则.dcotcsc)(cscdxxxx 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则9例例与两坐标轴的交点与两坐标轴的交点过曲线过曲线证明证明24

7、: xxy, 0 x令令证证, 0 y令令);2 , 0(ay轴的交点为轴的交点为曲线与曲线与),0 , 4(bx轴的交点为轴的交点为曲线与曲线与. 2 y得得. 4 x得得 24xxy,210 xy,214 xy由于斜率相等由于斜率相等, 知二切线平行知二切线平行.(1) 求交点求交点,)2(22 x 221x分别为曲线在分别为曲线在a, b点的切线斜率点的切线斜率.(2) 求导数求导数所作的曲线的切线彼此平行所作的曲线的切线彼此平行. )(1xv)()(2xvxv 注注在进行求导运算中在进行求导运算中,且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单,尽量先化简再求

8、导尽量先化简再求导,确性确性. 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则10)(1yfy 或或.dd1ddyxxy 定理定理3.4内单调、内单调、在某区间在某区间如果函数如果函数yiyfx)( ,0)( yf且且,内也可微内也可微区间区间xi且且二、反函数的微分与求导法则二、反函数的微分与求导法则在对应在对应那末它的反函数那末它的反函数)(1xfy 可微可微,d)(1dxyfy ,ddd1dxyxy 证证),()(yoyyfx 由由得到得到)()()(1yfyoxyfy 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .),()

9、(1xoxyf 所以所以, 定理的结论成立定理的结论成立.11,d112xx 例例.arcsin的导数与微分的导数与微分求函数求函数xy 解解yxsin yycos)(sin 且且内有内有在在)1 , 1( xi )(arcsindx xydcos1xydsin112 .112x , 0 xyd)(sin1单调、可微单调、可微,直接函数直接函数 反函数反函数 内内在在 2,2yi )(arccosdx,d112xx )(arcsin xxyfyd)(1d 同理可得同理可得.112x )(arccosx因为因为所以所以 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则12,d112xx 例例.arcta

10、n的导数与微分的导数与微分求函数求函数xy 解解yxtan yy2sec)(tan 且且内有内有在在),( xi )(arctandx xydsec12xydtan112 .112x , 0 xyd)(tan1单调、可微单调、可微,直接函数直接函数 反函数反函数 内内在在 2,2yi )cot(dxarc,d112xx )(arctanxxyfyd)(1d 同理可得同理可得.112x )cot(xarc因为因为所以所以 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则13注注如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式:,arcsin2arccosxx ,11)(arccos2xx .11)cot(2

11、xx arc,arctan2cotarcxx 也可得公式也可得公式也可得公式也可得公式 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则14定理定理3.5链导法则链导法则 xydd)(xg )(uf 且且或或 uyxydddd.ddxu而而则复合函数则复合函数y = f g(x)如果函数如果函数u =g(x)在点在点 x 可微可微,y =f (u)在点在点u = g(x)可微可微,在点在点x可微可微,三、复合函数的微分与求导法则三、复合函数的微分与求导法则,d)(duufy 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导

12、, 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .证证),()(uouufy 由由)(dxouu ),(d)(xoxxg 得到得到 y)(uf )(d(xou )( uo )(d)(xouuf ),(d)()(xoxxguf 证毕证毕.15推广推广),(ufy 设设:)(的的微微分分为为则则复复合合函函数数xfy xydd),(vu ),(xv uydd vudd.ddxvxxvufyd)()()(d :)(的的导导数数为为复复合合函函数数xfy 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则16 xy 因为因为所以所以 xlne xx d)ln( 求函数求函数.)(1 xx例例.)0(的导

13、数与微分的导数与微分 xxy 解解,eln x yd )e (dln x xlne uufyd)(d ,euy .ln xu d)ln(x uud)(exxd1 x,d1xx xxfyd)(d 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则17例例.sinln的导数与微分的导数与微分求函数求函数xy 解解,lnuy xxxdcossin1 .cot xy .sin xu 因为因为所以所以,dcotxx )sinlnd(dxyuufyd)(d uu d)(lnuud1)(sindsin1xx xxxd)(sinsin1 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则18例例.)1(102的导数的导数求函数求

14、函数 xy解解 92)1(10 xy 92)1(10 x.)1(2092 xx例例.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解 )2(22xaxy2221xa 2221xa )0( ax2)arcsin2(2 axa22112 axa)1(2 x)(22 xa ax22212xax 2222xax .2222xaa 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则19例例.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxyxxy211212 .)2(3112 xxx例例.e1sin的导数的导数求函数求函数xy 解解)1(sin x

15、x1sine.1cose11sin2xxx )2(31 x xy1sine x1cos)1( x 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则20考研数学四考研数学四, 4分分).(dd,1eelnearctan122 xxxxxyy则则设设解解)1eln(21earctan2 xxxy1ee2211e1e222 xxxxy1ee2211e1e2221 xy.1e1e2 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则21.sin)1e (sine)1e (cos22xxxxxx 解解 21esin11xx 1esinxx y.1esinarctan的导数的导数求函数求函数 xxy 3.2 微分和求导的法

16、则微分和求导的法则22xxxxxxxctansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxxx1)(lne)e ( 基本求导、微分法则基本求导、微分法则四、导数、微分公式与四、导数、微分公式与 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则23211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 2. 常数和基本初等函数的微分公式常数和基本初

17、等函数的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则24xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxxaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdde)e (ddln)(d2222 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则253. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法

18、则)(),(xvvxuu 设设都可导都可导, 则则),(r ,)()1(vuvu ,)()2(vuvuvu ).0()3(2 vvvuvuvu则则都可微都可微设设,)(),(xvvxuu 4. 函数的和、差、积、商的微分法则函数的和、差、积、商的微分法则,dd)(d(1)vuvu ,dd)(d(2)vuuvuv ).0(ddd)3(2 vvvuuvvu),(r 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则265. 反函数的求导、微分法则反函数的求导、微分法则)(1yfy 或或,dd1ddyxxy 内单调、内单调、在某区间在某区间如果函数如果函数yiyfx)( ,0)( yf且且,内也可微内也可微间

19、间xi且且在对应区在对应区那末它的反函数那末它的反函数)(1xfy 可微可微xyfyd)(1d .ddd1dxyxy 或或 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则27链导法则链导法则 xydd)(xg )(uf 且且或或 uyxydddd.ddxu而而y =f (u)在点在点则复合函数则复合函数y = f g(x)在点在点x可微可微,如果函数如果函数u =g(x)在点在点 x 可微可微,u = g(x)可微可微,d)(duufy 6. 复合函数的求导与微分法则复合函数的求导与微分法则初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注注利用上述公式及法则初等函数求导问题可利用上述公式及法

20、则初等函数求导问题可完全解决完全解决. 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则28.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解 y xxx21)211(21121xxxxxx .812422xxxxxxxxxx )( xxxxxx 21 1()(21 xxxx 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则29例例).(0, 00,sin)(2xfxxxxxf 求求设设解解,0时时 x,0时时 xxxxx0sinlim20 220sinlimxxx ,sin2sin22xxxx xxxf2sin)(0)0()(lim)0(0 xfxffx, 1 所以所以 0 x,sin2sin22xxxx 0 x,

21、1 )(xf 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则30解解),(ufy 设设 yxxf3cos)3(sin3 注注xu3sin uy )(ufx3cos3则则xu 上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变量求导,?不表示不表示 f 对对x的导数的导数.例例.,)3(sin可导可导其中函数其中函数的导数的导数求求fxfy )3(sin xf )3(sin)3(sin xfxf 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则31.,可导可导其中函数其中函数的导数的导数求求g xgy1e解解 xg1 xg1e 2111exxgxg.e112 xgxxg y xg1e xg1

22、 x1 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则32.e )e (,)(的导数的导数求求是可导函数是可导函数设设xfxfyf 解解 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则.e )e ()( xfxfy )(e )e (xfxf)(exf ).()e (e)e (e)(xfffxxxxf e )e ()( xfxfxxfe)e ( )(e)(xfxf )e (xf 3.2 微分和求导的法则微分和求导的法则33.的导数的导数求函数求函数xaaaxaaaxy 答案答案 1aaaxay axaa