高一三角函数《4.8正弦函数余弦函数的图像和性质》教案

1、4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质教学目标1. 会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；2. 明白周期函数与最小正周期的意义，会求y=asin x+ 的周期，明白奇偶函数的意义，能判定函数的奇偶性；3. 通过正弦、余弦函数图像懂得正弦函数、余弦函数的性质，培育同学的数形结合的才能；4. 简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=asin x+ 的简图；5. 通过本节的学习培育同学的化归才能、转化思想.教学建议学问结构：重点与难点分析：本节重点是正弦函数、余弦函数的图像外形及其主要性质（定义域、值域、最值、周期性

2、、奇偶性、单调性）正弦、余弦函数在实际生活中应用非常广泛，函数的图像和性质是应用的重要基础，也是解决三角函数的综合问题的基础，它能较好的综合三角变换的全部内容，可进一步深化争论其它函数的相关性质函数图像可以直观的反映函数的性质，因此第一要把握好函数图像外形特点，使同学将数、形结合对比把握这两个函数本节难点是利用正弦线画出函数的图像，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期意义的懂得利用几何法画函数图像同学第一次接触，要先复习正弦线的做法，另外留意讲清正弦线平移后在x 轴上对应的角通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系，利用诱导公式时先将为了只需要平移就可得到余弦函数周期函数

3、包含的内容较多，可以先让同学通过正弦、余弦函数图像直观上明白，再通过定义严格说明，定义中x 的任意性可与奇偶性的定义对比讲解，周期、最小正周期的概念很抽象，同学懂得有些困难，最好将定义分解讲解教法建议：1讲三角函数图象时，由于描点法同学比较熟识，可以先让同学自己作图，然后介绍几何法，这样既可以让同学对正弦函数图像大致外形有所明白，为后面“五点法”作图奠定基础，又可将两种方法加以对比2用几何法作函数的图像前，第一复习函数线的作法，说明单位圆上的角与 x 轴上数值的对应关系，作图过程要力求精确，以便同学正确熟识曲线的建立过程此处最好借助多媒体课件演示，表现的既精确又节约时间得到函数的图像，利用诱导

4、公式或利用 三角函数线，把图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2 即一个最小正周期 ，即可得到函数y=sinx ，x r 的图像余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系，但要将x前面的系数保证为正，这样只需要平移即可得到余弦函数的图像余弦函数的图像的几何作法可让同学课后自己去探究3“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛，让同学观看函数的图像，有五个点在确定图象外形时起着关键的作用，即最高点，最低点以及与x 轴的交点，由于只要这五个点描出后，图象的外形就基本确定了因此在精确度要求不太高时，常采纳先描出这五个点来作函数简图的方法适当增加些练习使同学娴熟把握这种方法4对

5、于函数的周期性，先通过正弦、余弦函数图像的重复显现的特点，让同学对周期有直观的熟识，周期函数的定义也可表达为：当函数对于自变量的一切值每增加或削减一个定值 定值可以有很多个 、函数值就重复显现时，这个函数就叫做周期函数然后再给出严格定义将定义的分解讲解，使同学懂得定义包含的要素，关键词语，如“假如存在”说明不是全部函数都有周期，“t”要满意“非零”和“常数”两个条件， 当 x 取定义域内的每一个值时”这一提法， 这里要特殊留意 “每一个值” 四个字 假如函数fx 不是当 x 取定义域内的“每一个值”时，都有fx+t=fx，那么 t 就不是 fx的周期例如，但是，就是说不能对于 x 在定义域内的

6、每一个值都有，因此不是的周期最小正周期可让同学按上述分析方法进行分析另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解，对同学懂得和把握周期函数概念将是有益的：假如函数 fx对于定义域里的每一个值，都有1f-x=fx，那么 fx叫做偶函数；2f-x=-fx，那么fx叫做奇函数；3fx+t=fx，其中t 是不为零的常数，那么fx叫做周期函数对函数的周期，要让同学从周期定义上懂得：周期是指能使函数值重复显现的自变量 x 要加上的那个数，这个数是针对x 而言的，假如对2x 而言，而每增加2， sin2x 的值就重复显现；但对自变量x 而言，每增加 ， sin2x 的值就能重复显现，因此sin2

7、x 的周期是 假如不设帮助未知数，本例的解答可写为：fx=sin2x=sin2x+2=sin2x+ =fx+ ，即 fx中的 x 以 x+代替，函数值不变，所以sin2x的周期为 由此可知，三角函数的周期与自变量 x 的系数有关5让同学通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出，使同学在函数图像和性质建立对应关系，这对同学进一步把握函数y=sinx ，y=cosx 的性质有很大帮忙因此应要求同学第一要熟识正弦曲线和余弦曲线6要留意数学语言和数学方法的训练，如“必需并且只需”，正弦函数在每一个闭区间上都是增函数

8、，其值从-1 增大到 1 等教学设计示例4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）（一）教学具预备直尺、圆规、投影仪（二）教学目标1明白作正、余弦函数图像的四种常见方法2把握五点作图法，并会用此方法作出上的正弦曲线、余弦曲线3会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像（三）教学过程（可用课件帮助教学）1设置情境引进弧度制以后，就可以看做是定义域为的实变量函数作为函数，我们第一要关注其图像特点本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法2探究争论（1）复习正弦线、余弦线的概念前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图 1）设任意角的终边与单

9、位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，就有向线段叫做角的正弦线，有向线段叫做角的余弦线（2）在直角坐标系中如何作点由单位圆中的正弦线学问，我们只要已知一个角的大小， 就能用几何方法作出对应的正弦值的大小来，请同学们摸索一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点？老师引导同学用图2 的方法画出点我们能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数，的图像呢？用几何方法作，的图像我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；假如我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点的几何方法来描点，从而使图像

10、的精确度有了提高（边画图边讲解），我们先作在上的图像，详细分为如下五个步骤：a作直角坐标系，并在直角坐标系中轴左侧画单位圆b把单位圆分成12 等份（等份越多，画出的图像越精确）过单位圆上的各分点作轴的垂线，可以得到对应于0，角的正弦线c找横坐标：把轴上从 0 到（）这一段分成12 等分d找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12 个点e连线：用平滑的曲线将12 个点依次从左到右连接起来，即得，的图像作正弦曲线，的图像图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数，且的图像与函数，的图像的外形完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数，的图像向左、右平移（每次个单位长度），就可以得到正弦函数数，的

11、图像，如图1正弦函数，的图像叫做正弦曲线五点法作，的简图师：在作正弦函数，的图像时，我们描述了12 个点，但其中起关键作用的是函数，与轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？生：（ 0，0），师：事实上，只要指出这五个点，的图像的外形就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图， 这种作图的方法称为“五点法”作图用变换法作余弦函数，的图像由于，所以，与是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数，的图像上，起关键作用的五个点的坐标生：（ 0，1）

12、，3例题分析【例 1】画出以下函数的简图：（1），；（2）， 解：（ 1）按五个关键点列表00101012101利用五点法作出简图3师：请说出函数与的图像之间有何联系？生：函数，的图像可由，的图像向上平移1个单位得到（2）按五个关键点列表010 1011010 1利用五点法作出简图4师：，与，的图像有何联系？生：它们的图像关于轴对称练习：（1）说出，的单调区间；（2）说出，的奇偶性参考答案：（ 1）由，图像知、，为其单调递增区间，为其单调递减区间（2）由，图像知是偶函数4总结提炼（ 1）本课介绍了四种作，图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点（ 2）用平移诱变法，由这不是

13、新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过， 请同学们作比较 应当说明的是由平移量是不惟一的，方向也可左可右5演练反馈，（投影）（1）在同始终角坐标系下，用五点法分别作出以下函数的图像，（2）观看正弦曲线和余弦曲线，写出满意以下条件的的区间，（3）画出以下函数的简图，参考答案：（1）（2），、，（3）（五）板书设计课题1正、余弦函数线5变换法作的图像2作点3作，的图像4五点法作正弦函数图像6五点法作余弦函数图像7例题（ 1）（ 2） 演练反馈总结提炼教学设计示例4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质（其次课时）（一）教学具预备 直尺，投影仪（二）教学目标1把握，的定义域、值域、最值、单调区间2会

14、求含有、的三角式的定义域（三）教学过程1设置情境争论函数就是要争论一些性质，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性本节课，我们就来争论正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质2探究争论师：同学们回想一下，争论一个函数常要争论它的哪些性质？生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等师：很好，今日我们就来探究，两条最基本的性质定义域、值域（板书课题正、余弦函数的定义域、值域）师：请同学看投影，大家认真观看一下正弦、余弦曲线的图像师：请同学摸索以下几个问题：（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？（2）正弦、余弦函数的值域是什么？（3）他们最值情形如何？（4）他们的正负值区间如何分？（5）的解集如何？师生一起归纳

15、得出：（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是（ 2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，称为正弦函数、余弦函数的有界性（3）取最大值、最小值情形：正弦函数，当时，（）函数值取最大值 1，当时，（）函数值取最小值 1余弦函数，当，（）时，函数值取最大值 1，当，（）时，函数值取最小值 1（4）正负值区间：（）（5）零点：（）（）3例题分析【例 1】求以下函数的定义域、值域：（1）；（ 2）；（ 3）解：（ 1），（2）由（）又，定义域为（），值域为（3）由（），又由定义域为（），值域为指出：求值域应留意用到或有界性的条件【例 2】求以下函数的最大值，并求出最大值时的集合：（1），；（2），；（3）（

16、4）解：（ 1）当，即（）时，取得最大值函数的最大值为2，取最大值时的集合为（2）当时，即（）时，取得最大值函数的最大值为1，取最大值时的集合为（3）如，此时函数为常数函数如时，时，即（）时，函数取最大值，时函数的最大值为，取最大值时的集合为（4）如，就当时，函数取得最大值如，就，此时函数为常数函数如，当时，函数取得最大值当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行争论摸索：此例如改为求最小值，结果如何？【例 3】要使以下各式有意义应满意什么条件？（1）；（2）解：（ 1）由，当

17、时，式子有意义（2）由，即当时，式子有意义4演练反馈（投影）（1）函数，的简图是（）（2）函数的最大值和最小值分别为（）a 2， 2b 4， 0c 2，0d 4， 4（3）函数的最小值是（）ab 2c d （4）假如与同时有意义，就的取值范畴应为（）a或（5）与b c 都是增函数的区间是（）da，b ，c，d ，（6） 函 数 参考答案 ：1 b2 b的定义域 ，值域 ，3 a4 c5 d时的集合为 65总结提炼；（1），的定义域均为（2）、的值域都是（3）有界性：（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集（5）正负敬意及零点，从图上一目了然（6）单调区间也可以从图上看出（五）板书设

18、计1定义域2值域3最值4正负区间5零点例 1例 2例 3课堂练习课后摸索题：求函数的最大值和最小值及取最值时的集合提示：教学设计示例4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）（一）教学具预备 直尺、投影仪（二）教学目标1懂得，的周期性概念，会求周期2初步把握用定义证明的周期为的一般格式（三）教学过程1设置情境自然界里存在着很多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周 运动等数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原先的位置重合，故，的值也具有周而复始的变化规律为定量描述这种周而复始的变化规律，今日，我们来学习一个新的数学概念函数的周期性（

19、板书课题）2探究争论（1）周期函数的定义引导同学观看以下图表及正弦曲线0010101010正弦函数值当自变量增加或削减肯定的值时，函数值就重复显现联想诱导公式，如令就，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数，假如存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期如，及，都是正弦函数的周期留意：周期函数定义中有两点须重视，一是是常数且不为零；二是等式必需对定义域中的每一个值时都成立师：请同学们摸索以下问题：对于函数，有能否说是正弦函数的周期生：不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周

20、期函数的定义是周期函数吗？为什么生：如是周期函数，就有非零常数，使，即，化简得，（不非零），或（不是常数），故满意非零常数不存在，因而不是周期函数摸索题：如为的周期，就对于非零整数，也是的周期（课外摸索）（2）最小正周期的定义师：我们知道，都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期一般地，对于一个周期函数，假如在它全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期今后如涉及的周期，假如不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期依据定义，和的最小正周期为（3）例题分析【例 1】求以下函数的周期：（1），；（2），；（3），分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使

21、解：（ 1）由于余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得， 函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是即，（ 2）令，那么必需并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而从而函数所以自变量，的周期是只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，即（3）令，那么必需并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是而师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，为常数，且，）的周期？生：

22、同理可求得的周期【例 2】求证：（1） 的周期为；（2） 的周期为；（3） 的周期为分析：依据周期函数定义证明证明：（ 1）的周期为（2）的周期为（3）的周期为3演练反馈（投影）（1）函数的最小正周期为（）abcd（2）的周期是 （3）求的最小正周期参考答案：（1）c；（ 2）（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式， 然后用公式求最小正周期， 而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数由4总结提炼（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，争论三角函数的周期时，如未特殊声明，一般是指它的最小正周期（2）设，；如为的周期，就必

23、有：为无限集，在上恒成立（3）只有或型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用如，就不能说它的周期为（四）板书设计课题例 21周期函数定义两点留意：的周期摸索问题的周期练习反馈2最小正周期定义总结提炼例 1摸索题：设是定义在上的以 2 为周期的周期函数， 且是偶函数， 当时，求上的表达式参考答案：典型例题例 1求函数的定义域分析：要求，即，由于正弦函数具有周期性，所以只需先依据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间，然后两边加解：由题意，即在一周期上符合条件的角为，定义域为小结：解题时留意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需先在一个周期上求范畴，这个周期的长度为，并非肯定取，而应当

24、是否得到一个完整区间为标准，如此题如在上求范畴就分为两段和，不如在上是完整的一段例 2求函数的定义域；分析：上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数，它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成；求定义域时，应分清脉络，逐一分析，综合得出结论；解：欲求函数定义域，就由即也即解得取、0、1，可分别得到或或；即所求的定义域为；小结：在解此题时，简单显现的失误是，由，得或；或在解不等式组时显现错误，如得出函数的定义域为或等；解类似本例的问题，其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解；而求公共解，如能借助于图形， 由数形结合，往往可以事半功倍；详细方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成；如

25、图甲、乙所示；例 3求以下函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）分析：（1）先利用降幂公式， 将其化为一个角的一个三角函数式，再依据三角函数性质求其值域；（2） 可利用降幂公式，倍角公式，差角公式，化为一个角的一个三角函数其值域；（3）利用配方法，并结合二 次函数、正弦函数的性质求解；（4）从反函数观点动身，借助于余弦函数的有界性求解解：（ 1），将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用三角函数的性质求值域（2），利用了降幂公式和倍角公式，将其化为一个角的一个三角函数的形式（3）将其看做关于的二次函数，留意到，当时，当时，此题结合了二次函数求极值，但应留意的取值范畴（4）由原

26、式得，或值域为小结：配方法、化一法、逆求法、有界性法等，是求三角函数值域常用的几种方法信任你会从今题的求解过程中，领会到这一点例 4求函数的单调减区间分析：简单想到将函数转化为，换元令，进而转化为解：令，就 由正弦函数的单调性，知当（）时，函数递减，即（），（）函数的单调减区间是（）小结：此题通过换元，将函数化为，充分表达了转化的数学思想例 5作函数的图像；分析：第一将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图像；解：当，即时，有，即；其图像如图，小结：函数的图像即是的图像， 因此作出的图像后，要把的这些点去掉；例 6已知，（ a、b 为常数），且，求；分析：要求函数值， 需知函数解析式，

27、 因含 a、b 两个参数，一个条件难确定；深化分析与的内在联系，应向函数奇偶性联想；留意到为奇函数，问题自可获解；解：由于，所以为奇函数，所以，所以；小结：（1）判定函数奇偶性时应留意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用；（2）函数奇偶性的确定，可使争论问题的条件增加，从而使问题难度变小，特殊是自变量互为相反数时的函数值关系问题，可考虑奇偶性的应用；扩展资料一剪刀剪出一条正弦曲线把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸绽开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！下面就来证明这一事实如图 1，设纸筒底面半径

28、为1 单位长，截面（椭圆面）与底面所成的二面角为（定值），截口的中心为过作圆柱的直截面，交截口曲线于两点取其中一点为，在过点且与圆柱侧面相切的平面内，以点为坐标原点建立直角坐标系，使得轴是圆柱的一条母线设点是截口曲线上任意一点，点是点在所在平面内的射影，过 作，垂足为，连接，就是截面与底面所成二面角的平面角，所以，又设（变量）在图 2 中，设点坐标为，以下分别运算点的横坐标和纵坐标，而在中，所以nbsp;将代入，且令（定值），就有这就证明白截口曲线是一条正弦曲线（原载数学通讯2000 年第 10 期 王方汉文）探究活动试问方程是否有实数解？如有，恳求出实数解的个数；如没有，请说明理由分析：可借助函数和的图像，通过判定图像是否有交点来判定方程是否有实数解如有交点，可通过争论交点数来获得实数解的个数解：设，由于，且的定义域为r，所以是奇函数，且，所以是=0 的一个解， 于是=0 的实数解存在且除外是成对显现的在上争论和图像交点的情形（参考图）由于，且是增函数，而，所以当x100 时，方程=0 无解又，从图像中可得知直线与曲线在中从 0 开头每相隔会有两个交点，所以，当x0时共有 32 个交点，就当x>0 时有 31 个交点故原方程有 31×2+1=63 个解习题精选一、挑选题1函数的大致图像是（）2以下表达中正确的个数为（）作正