用样本的数字特征估计总体的数字特征2

1、 第二章第二章 统计统计2.2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计用样本的数字特征估计 总体的数字特征总体的数字特征众数、中位数和平均数众数、中位数和平均数 思考：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图思考：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？是什么？ 月 均 用 水月 均 用 水量量/t频率频率组距组距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

2、 O取最高矩形下端取最高矩形下端中点的横坐标中点的横坐标2.252.25作为众数作为众数. . 标准差标准差 平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，难平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，难以概括样本数据的实际状态，而数据的离散程度可以概括样本数据的实际状态，而数据的离散程度可以用以用极差、方差或标准差极差、方差或标准差来描述。来描述。为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出出样本方差样本方差或者它的或者它的算术平方根算术平方根. .思考思考1

3、1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击1010次，每次命中的环数如下：次，每次命中的环数如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 47 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 79 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？77xx乙甲， 思考思考2 2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？的频率分布条形图，你能说明其水平

4、差异在那里吗？环数环数频率频率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（甲）（甲）环数环数频率频率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（乙）（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定比较稳定. .环数环数思考思考3 3：对于样本数据：对于样本数据x x1 1，x x2 2，x xn n，设想通过各数，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，据到其平均数的平均距离

5、来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？那么这个平均距离如何计算？ nxxxxxxn.21标准差标准差：我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数：我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。小的重要的量。222121()()() nsxxxxxxn计算标准差的算法：计算标准差的算法： 标准差标准差方差方差（1 1）方差方差：设在一组数据，：设在一组数据，x x1 1，x x2 2，x xn n中，各数中，各数据与它们的平均数据与它们的平均数x x的差的平方分别是的差的平方分别是2221

6、2() ,() ,()nxxxxxx那么我们用它们的平均数，即那么我们用它们的平均数，即2222121()()() nsxxxxxxn 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的数据的方差方差，一组数据方差越大，则这组数据波动，一组数据方差越大，则这组数据波动越大。越大。 思考思考4 4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用计量是标准差，一般用s s表示表示. .假设样本数据假设样本数据x x1 1，x x2 2，x xn n的平均数为的平均数为 ，则标准差的计算公式是：，则标准差的计

7、算公式是： 那么标准差的取值范围是什么？标准差为那么标准差的取值范围是什么？标准差为0 0的样本数据的样本数据有何特点？有何特点？ s0s0，标准差为，标准差为0 0的样本数据都相等的样本数据都相等. . xnxxxxxxsn22221)()(）（思考思考5 5：对于一个容量为：对于一个容量为2 2的样本：的样本：x x1 1，x x2 2(x(x1 1x x2 2) )，则则 , , 在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？准差的大小对数据的离散程度有何影响？ 122xxx+=212xxs-=标准

8、差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围散程度越小，数据较集中在平均数周围. . 知识补充知识补充1.1.标准差的平方标准差的平方 称为方差，有时用方差代替标准差测称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度量样本数据的离散度. .方差与标准差的测量效果是一致方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差的，在实际应用中一般多采用标准差. .2s2.2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标

9、准数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性代表性. .例例1 1 画出下列四组样本数据的条形图，画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点说明他们的异同点. .(1) (1) ，；，；(2) (2) ，；，；O O频率频率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （1）50 xs=O O频率频率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （2）50. 82xs=(3) (3) ，；，；

10、(4) (4) ，. .频率频率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 O O（3 3）频率频率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 O O（4 4）51. 49xs=52. 83xs=例例2 2 甲、乙两人同时生产内径为甲、乙两人同时生产内径为25.40mm25.40mm的一种零件，的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取各随机抽取2020件，量得其内

11、径尺寸如下（单位：件，量得其内径尺寸如下（单位：mmmm）：）：甲甲 ：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.3925.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙：乙：25.40 25.43 25.44 25.4

12、8 25.48 25.47 25.49 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.4825.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？ 甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，甲生产的零件内径更接近内

13、径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高故甲生产的零件质量较高. . 说明：说明：. .生产质量可以从总体的平均数与标准差两个生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差体的平均数与标准差. . 068.0037.0406.25401.25乙甲乙甲ssxx例例2. 2. 计算数据计算数据5 5，7 7，7 7，8 8，1010，1111的标准差的标准差. .解：解：S1 x= =85+7+7+8

14、+10+116数据数据 xiS1 xS2 xixS3 (xix)258397811781188001082411839S4 s2= =4；9+1+1+0+4+96S5 .24 s所以这组数据的标准差是所以这组数据的标准差是2.2.例例3 3 以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在分的中位数基本稳定在550550分，若某同学今年高考得了分，若某同学今年高考得了520520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？要点：（要点：（1 1）查往年录取的新生的平均分数）查往年录取的新生的平均分数. .若

15、平均数小于中位数若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考；很多，说明最低录取线较低，可以报考；（2 2）查往年录取的新生高考总分的标准差）查往年录取的新生高考总分的标准差. .若标准差较大，说明若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考. .例例4 4 在去年的足球甲在去年的足球甲A A联赛中，甲队每场比赛平均失球数联赛中，甲队每场比赛平均失球数是是1.51.5，全年比赛失球个数的标准差为，全年比赛失球个数的标准差为1.11.1；乙队每场比赛；乙队每场比赛平均失球数是平均失球数是2.12.1，全年比

16、赛失球个数的标准差为，全年比赛失球个数的标准差为0.4.0.4.你你认为下列说法是否正确，为什么？认为下列说法是否正确，为什么？ （1 1）平均来说甲队比乙队防守技术好；（）平均来说甲队比乙队防守技术好；（2 2）乙队比甲队）乙队比甲队技术水平更稳定；（技术水平更稳定；（3 3）甲队有时表现很差，有时表现又）甲队有时表现很差，有时表现又非常好；（非常好；（4 4）乙队很少不失球）乙队很少不失球. .小结作业小结作业1.1.对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变与标准差都会发生改变. .如果样本的代表性差，则对总如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见