151153定积分的概念

1、数学史上的三次危机数学史上的三次危机第二次数学危机第二次数学危机无穷小是零吗？无穷小是零吗？第一次数学危机第一次数学危机无理数的发现无理数的发现第二章数系的扩充与复数数系的扩充与复数第三次数学危机第三次数学危机悖论的产生悖论的产生第一章导数及其应用导数及其应用第三章推理与证明推理与证明微积分(数学分析）微分导数极限理论等 微分学积分学定积分不定积分等问题2:圆面积公式是如何推导的?问题1最基本、最奇妙的曲边图形是什么？将圆分成将圆分成16等份等份长长(a)(b)宽宽平分平分16等份等份平分平分32等份等份rc2 2r r因为因为: 长方形面积长方形面积 = 长长 宽宽所以所以: 圆圆 的的 面

2、面 积积 = r r 22r2 2=r r三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线，直线x=a

3、、x=b及及x x轴所围成的图形叫做曲边轴所围成的图形叫做曲边梯形。梯形。ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线l来代替点来代替点p附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点p附近，曲线可以看附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）作直线（即在很小范围内以直代曲）p放大放大再放大再放大pp y = f(x)bax yo a1a a1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积a a1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积a a，得得a a1+ a2用两个矩形的面积 近似代替曲边

4、梯形的面积a，得 y = f(x)bax yoa1a2a a1+ a2+ a3+ a4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积a， 得 y = f(x)bax yoa1a2a3a4 y = f(x)bax yoa a1+ a2 + + an 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积a a近似为近似为a1aian 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 （1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i

5、,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.s,s,s,sni21 n1n2nknnxoy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo 轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i

6、,xxf,ni,n1i,x,n,35.1.xxf222 35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo.n, 2 , 1in1n1ixn1ifss, ,ss,ni,n1i,.45.12iiii 则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲 n1n1ixn1ifsss45.1,232n1in1in1iinn 为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131sssn的近似值从而可得 .61n2n1n1n21222 可以证明可以证明 .

7、31n211n1131limn1ifn1limslims,sn211n1131s,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn 从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限 55.1图图oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1 , 0的等分数的等分数区间区间nss的近似值的近似值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.

8、012500000.0 ?,fni,n1i?31,?s,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情情况况又又怎怎样样作作为为近近似似值值的的函函数数值值处处取取任任意意吗吗这这个个值值也也是是若若能能求求出出的的值值吗吗用用这这种种方方法法能能求求出出处处的的函函数数值值点点上上的的值值近近似似地地等等于于右右端端区区间间在在如如果果认认为为函函数数中中近近似似代代替替在在探探究究 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311ssf()( )n nnn1 12(n1)niin(过剩近似值) n1n2nknnxy2xy 2222331s12(n1)n1(1

9、)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(过剩近似值) .31fn1limxflims,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,15.1,值的方法求出其面积值的方法求出其面积似代替、求和、取极似代替、求和、取极也可以采用分割、近也可以采用分割、近我们我们所示的曲边梯形所示的曲边梯形对如图对如图一般地一般地abxy xfy o af bf15.1 图图1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 a. b.c. d.2)(xxfnini,1c)1(nf)2(nf)(nif

10、0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）a.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值b.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 c.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值d.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfc1,iixx练 习（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个

11、小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.s,s,s,sni21 n1n2nknnxoy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。（2 2） 近似代替近似代替n1)n1i(x)n1i(fs2i（3 3）求和）求和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( sssss22223n1i2n1in1iin21 (不足近似值)（4 4）取极限）取极限1111(1)(2)6nn31s.3s 所所以以2222(1)(21)1236n nnn31 1111(n1)n(2n1)(1)(2)n 66nn

12、s 当分割的份数无限多,即n ,x 0时区间区间00，11的等分数的等分数n ns s的近似值的近似值20.125 000 0040.218 750 0080.273 437 50160.302 734 50320.317 871 09640.325 561 52 1280.329 437 262560.331 382 755120.332 357 4110240.332 845 21 20480.333 089 23 ns我们还可以我们还可以从数值上可从数值上可以看出这一以看出这一变化趋势变化趋势（请见表）（请见表）3131sn）（4 4、逼、逼近近x0snsn 61211) 1(21132

13、223 nnnnnnsn或nnnnnnnn1211611216122231211nnsn1()3n31 s探究思考探究思考2( )2v tt= -+o ov t t12探究思考 :,11 , 01个小区间将它分成点个分上等间隔地插入在时间区间分割nn.11, 2 , 1,1,1 ,1,1,2,1,1, 0nninitnininiinnnininnn 其长度为个区间为记第.n1n1init,n, 2 , 1ini,n1ii,1 ,n1n,n2,n1,n1, 0 其长度为个区间为记第,s,s,s:1 ,n1n,n2,n1,n1, 0n21 的路程分别记作上行驶把汽车在时间段.ssn1ii则显然有

14、.2n1in1ivn1i,2ttv,ni,n1i,t,n222 处函数值左端点不妨认为它近似地等于数近似地等到于常的值变化很小函数上在区间很小时即很大当近似代替就是汽车在时从物理意义看,于是以匀速代变速即在局部范围内作匀速行驶处的速度认为它近似地以时刻不妨上时间速度变化很小间段, ,2n1in1ivn1i,)n, 2 , 1i (ni,n1i2 tn1ivss2ii n12n1i2 n1i2n2n1n1i2n1n1in1n1n1022 .n, 2 , 1in2n1n1i2 tn1ivss3n1in1iin 得由求和21n21n12223 261n2n1nn13.2n211n1131的近似值从而

15、得到s.2n211n1131ssn .vn1limtvlims,vni,n1ini,n1i,n1iinn1ii0tii 并且我们有并且我们有作匀速行驶作匀速行驶处的速度处的速度以任意时刻以任意时刻上近似地上近似地小时时间间隔小时时间间隔认为汽车在每个认为汽车在每个我们可以我们可以事实上事实上 n1innnnn1ivn1limslims,s2n211n1131s,0t,n4从而有趋向于时趋向于即大趋向于无穷当取极限.352n211n1131limn求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取 i xi 1, xi，第，

16、第i个小曲边梯形的面积用高为个小曲边梯形的面积用高为f( i)而宽为而宽为 x的的小矩形面积小矩形面积f( i) x近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积s为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积个小矩形面积的和作为曲边梯形面积s的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yobaxi+1ix1lim( )ninisfx1( )niisfx (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb一、定积分的定义一、定

17、积分的定义 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面积和s=如果当n时，s 无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 baf (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积s的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnba即定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式，

18、x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即oabxy)(xfy sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为 sbav(t)dt。 oab( )vv ttv定积分的定义：1( )lim( )ninibaf x dxfnba即112001( )3sf x dxx dx根据定积分

19、的定义右边图形的面积为1x yof(x)=x213s 1sd2sd2( )2v tt= -+o ov t t12gggggg3sdjsdnsd1n2n3njn1nn-4sd112005( )(2)3sv t dttdt 根据定积分的定义左边图形的面积为1.dxxf)(与badxxf)(的差别3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4规定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数 是函数badxxf)(是一个和式的极限 是一个确定的常数注：2 .当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数

20、及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)a,b(2)定积分的几何意义：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s上述曲边梯形面积的负值。

21、定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 sab yf (x)ox y1()basfx dx yg(x)探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中如何用定积分表示图中阴影部分的面积阴影部分的面积?12( )( )bbaas s sf xdxg xdx 2( )basg x dx三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x( g)x(fba babadx)x( gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf )()(为常数kdxxfkba三三: : 定积分的基本性质

22、定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性)()()()( bcadxxfdxxfdxxfbccaba其中性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fox yab yf (x)性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cox ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值. 130 x d x例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxaa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxa2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x