2022年一轮复习配套讲义：第2篇第5讲指数与指数函数

1、第 5 讲指数与指数函数最新考纲 1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象4体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根n1 且 nn*当 n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数na 零的 n次方根是零当 n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数na 负数没有偶次方根(2)两个重要公式nana，n

2、为奇数，|a|a，a0，a，a0，n 为偶数(na)na. 2有理数指数幂(1)幂的有关概念零指数幂： a01(a0)负整数指数幂： ap1ap(a0，pn*)；正分数指数幂：anmnam(a0，m，n n*，且 n1)；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -负分数指数幂：anmanm11nam(a0，m，nn*，且 n1)；0 的正分数指

3、数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sq)；(ar)sars(a0，r，sq)；(ab)rarbr(a0，b0，rq)3指数函数的图象与性质yaxa10a1 图象定义域r值域(0， ) 性质过定点 (0,1) 当 x0 时，y1；x0 时，0y1 当 x0 时，0y1；x0 时，y1 在(， )上是增函数在(， )上是减函数辨 析 感 悟1指数幂的应用辨析(1)(42)42.() (2)(教材探究改编 )(nan)a.() 2对指数函数的理解(3)函数 y3 2x是指数函数 () (4)y1ax是 r 上的减函数 () (5)指数函数在同一直角

4、坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在 y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小() (6)(2013 金华调研改编 )已知函数f(x)4ax1(a0 且 a1)的图象恒过定点p，则点p 的坐标是(1,5)() 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -感悟 提升 1“nan”与“nan”的区别当 n 为奇数时，或当 n

5、 为偶数且 a0 时，nana，当 n 为偶数，且 a0 时，nana，而(na)na 恒成立如 (1)中42不成立， (2)中6223232. 2两点注意一是指数函数的单调性是底数a 的大小决定的， 因此解题时通常对底数a 按 0a1 和 a1 进行分类讨论，如 (4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在 y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大如(5). 学生用书第 22 页考点一指数幂的运算【例 1】 (1)计算：20.5321132234350.0080.020.3289 0.062 50.25；(2)若12x12x3

6、，求33222223xxxx的值解(1) 原 式 3282712499231000850 4 210146251000049732515 24 21012 1792 229. (2)由12x12x3，得 xx129，xx17，x2x2249，x2x247.3322xx1122xx331122xx27918，原式18247325. 规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

7、- - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -apap1(a0)简化运算答案c 考点二指数函数的图象及其应用【例 2】 (1)(2014 郑州模拟 )已知函数 f(x)2x2，则函数 y|f(x)|的图象可能是 ()(2)下列各式比较大小正确的是()a1.72.51.73b0.610.62c0.80.11.250.2d1.70.30.93.1解析(1)y2x向下平移2个单位y2x2 把x轴下方的部分翻折

8、上去y|f(x)|. (2)a 中，函数 y1.7x是增函数， 2.53，1.72.51.73. b 中， y0.6x是减函数， 10.62. c 中， (0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与 1.250.2的大小y1.25x是增函数， 0.10.2，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -1.250.11.250.2，即 0.

9、80.11,0.93.10.93.1. 答案(1)b(2)b 规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等 )的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解【训练 2】 已知实数 a，b 满足等式 2 011a2 012b，下列五个关系式： 0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()a1 个b2 个c3 个d4 个解析设 2 011a2 012bt，如图所示，由函数图象，可得(1)若 t1，则有 ab0；(2)若 t1，则有 a

10、b0；(3)若 0t1，则有 ab0. 故可能成立，而不可能成立答案b 考点三指数函数的性质及其应用【例 3】 已知函数 f(x)12x112x3. (1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)求证： f(x)0. 审题路线由 2x10 可求 f(x)的定义域 ? 分别求 g(x)12x112与 h(x)x3的奇偶性 ? 可利用 g(x) g(x)0 判断 g(x)的奇偶性 ? 利用“奇奇偶，奇 偶奇 ”判断 f(x)的奇偶性 ? 先证 x0 时，f(x)0? 再证 x0 时，f(x)0. 解(1)由 2x10 可解得 x0，定义域为 x|x0(2)令 g(x)12x1

11、12，h(x)x3. 则 h(x)为奇函数， g(x)g(x)12x11212x1122x12x12x110. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -g(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数(3)证明当 x0 时，2x10，12x112x30，即 f(x)0.又f(x)是偶函数，当 x0 时，f(x)f(x)0，f(x)在(， 0)(0， )

12、上恒大于零 f(x)0. 规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可. 学生用书第 23 页【训练 3】 已知定义域为 r 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数(1)求 a，b 的值；(2)解关于 t 的不等式 f(t22t)f(2t21)0. 解(1)因为 f(x)是定义在 r 上的奇函数，所以f(0)0，即1b2a0，解得 b1，所以 f(x)2x12x1a.又由 f(1)f(1)知214a1211a.解得 a2. (2)由(1)知

13、 f(x)2x12x121212x1. 由上式易知 f(x)在(， )上为减函数 (此外可用定义或导数法证明函数f(x)在 r 上是减函数 )又因为 f(x)是奇函数， 所以不等式 f(t22t)f(2t21)0 等价于 f(t22t)2t21，即 3t22t10，解不等式可得t t1或t13. 1判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x1 得到底数的值再进行比较2对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成3画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， 1，1a. 4熟记指数函数y10 x，y2x，y110 x，y12x在

14、同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -数图象的位置与底数大小的关系易错辨析 2忽略讨论及验证致误【典例】 (2012 山东卷 )若函数 f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m) x在0， )上是增函数，则 a_. 解析若 a1，有 a24，a1m，

15、此时 a2，m12，此时 g(x)x为减函数，不合题意若0a1，有 a14，a2m，故 a14，m116，检验知符合题意答案14易错警示 (1)误以为 a1，未进行分类讨论从而求得错误答案(2)对条件 “g(x)在0，)上是增函数 ”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案防范错施 (1)指数函数的底数不确定时， 单调性不明确， 从而无法确定其最值， 故应分 a1 和 0a1两种情况讨论(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础【自主体验】当 x2,2时，ax0，且 a1)，则实数 a 的范围是 ()a(1，2) b.22，1c.22，1 (1，2) d(0,1)(1，2) 解析x2,2时，ax0，且 a1)，若 a1，yax是一个增函数，则有a22，可得 a2，故有 1a2；若 0a1，yax是一个减函数，则有a222，故有22a7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是()a.13，12b.13，611c.12，23d.12，611解析函数 f(x)13a x10a，x7，