定积分换元法和分部积分法ppt课件

1、二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五章 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 设函数设函数, ,)(baCxf 函数)(tx满足:1)2) 在,上;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证: 所证等式两边被积函数都延续所证等式两边被积函数都延续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数 , 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(

2、t那么( ),atb( ) t延续，且阐明阐明: :1) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必需留意换元必换限 , 原函数中的变量不用代回 .3) 换元公式也可反过来运用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt元不变元不变 限不变限不变tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 第五章 例例2 2 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf

3、53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 第五章 例例3 3 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 第五章 例例4 4 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x,

4、 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt201cossin12sincosttdttt 20cossinln21221 tt.4 第五章 0( ) ( )()aaaf x dxf xfx dx例例5 5：证明：证明证明：证明：,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf000( )()()aaaf x dxxtft dtfx dx 又代入即可。代入即可。 第五章 由此可知由此可知,0( )2( )aaaf x dxf x dx有； ( )f x当为偶函数时， ( )f x当为奇函数时，有( )0.aaf

5、x dx偶倍奇零偶倍奇零奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 第五章 1021dxx,costx 设设tdtdxsin 则则xt012 0 1021dxx 02)sin(sindttt 022sin tdt 0222cos1dtt 02)2cos1(21dtt022sin2121 tt4 第五章 例例7 设函数设函数21,0,( ).1,0.1 cos

6、xxexf xxx4计算f(x-2)dx解解12(2)(2),2,(2)1,2.1 cos(2)xxexf xxx1122424-(x-2)1f(x-2)dxdx(x-2)edx1+cos(x-2)所以所以11tan.22-41e2 第五章 解解2 令令x-2=t，有，有14f(x-2)dx12f(t)dt10202-t1dttedt1+cost21011sec (22202-t2t)dtedt202101tan22-tte211tan.22-41e2 第五章 例例8 计算积分计算积分 10.(x xa dx a为常数)解解 1当当 时时0a 110011().32x xa dxx xa dx

7、a 2当当 时时01a10 x xa dx103()()111.323aax xa dxx xa dxaa3当当1a 时，10 x xa dx1011().32x xa dxa 证证1设设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 第五章 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf2设设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 d

8、xxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 第五章 例例10 10 证明以下等式：证明以下等式：1122111(1).11xxdtdttt22221111(2)()().aaaaf xdxf xdxxxxx证明证明: :1 1等式两边被积函数一样，应从积分区间入手，设等式两边被积函数一样，应从积分区间入手，设211,tdtduuu 则于是111222111()111xxdtdutuu11221111.11xxdudtut 第五章 1(2),2xtdxdtt

9、设则于是222221111()()2aaaaf xdxf tdtxxtt2221111()()2aaaaaf tdtf tdttttt对等式右端第二个积分设对等式右端第二个积分设2atu22122()()aauaf uduuau 221()aaaf tdttt211()aaf xdxxx所以原式成立所以原式成立. . 第五章 例例11 11 是延续函数且为奇函数，证明是延续函数且为奇函数，证明 是偶函数；是偶函数； ( )f t若0( )xf t dt 是延续函数且为偶函数，证明是延续函数且为偶函数，证明 是奇函数。是奇函数。 ( )f t若0( )xf t dt证明：令证明：令 对对 00(

10、 )( ),( )xxF xf t dtFxf t dt则（）0( ),xFxf t dt（）设设t=-ut=-u有有00()()()xxFxfudufu du （）0( ),()( )()( ),()( )xF xfuf uFxfu duF xfuf u 若（）若即即证毕证毕. .课堂练习1._d)(sindd0100ttxxx2. 设设( )(1)0,f tf一阶连续可导，,lnd)(31xttfx).(ef求3. 证明证明 2dsin)(xxxxxf是以 为周期的函数.课堂练习提示课堂练习提示1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx那么ttxxd)(sin010

11、0ud0 xu100sinx100sin2. 设设( )(1)0,f tf一阶连续可导，,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 对知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思索思索: 假设改题为xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 两边求导两边求导, 得得331)(xxfexxfef1d)()(得3. 证明证明 证：2dsin)(xxxxxf是以 为周期的函数.2dsin)(xxu

12、uxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 为周期的周期函数. 设函数设函数)(xu、)(xv在区间在区间 ba,上具有连续上具有连续导数，则有导数，则有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210a

13、rcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 8 .42ln8 dxxxcossin2140 8 40cosln21 x例例3 3 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)

14、2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因为为ttsin没没有有初初等等形形式式的的原原函函数数，无无法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部积积分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21

15、x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例5 设设fx在积分区间上延续，证明：在积分区间上延续，证明：000() ( )( ).xxuxu f u duf t dt du 证明证明1： 用分部积分法用分部积分法000( )( )uxxuf t dtuf u du右端00( )( )xxxf t dtuf u du00( )( )xxxf u duuf u du0() ( )xxu f u du证明证明2 左端左端= 00000000() ( )()( )( ) ()( )xuuxuu xuxuxu df t dtxuf t dtf t dt d xuf t dt du 证

16、明证明3 设设000( )() ( )( ).xxuF xxu f u duf t dt du 0000000( )() ( )( ) ( )( )( ) 0,xxuxxxuF xx u f u duf t dt duxf u duuf u duf t dt du 那么( )F xC所以所以 又因又因(0)0,)0,FF x所以，（原等式成立。例例6 6 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1

17、(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmI

18、m于是于是例例7 设设111,xyxye dx求解解 1111()()yxxxyxye dxyx e dxxy e dx122().yeeyee例例8 设设fx延续，计算延续，计算(1)()(2)()bbxtaaddf xt dtxt e dtdxdx解解 1令令x+t=u，那么，那么dt=du()( )bb xaa xddf xt dtf u dudxdx()()f bxf ax2 1,xtudtdux令则1001()()xxtudduxt e dtx edudxdxxx2001()xxuudue due dudxx小 结内容小结内容小结 根本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边

19、积边代限作业作业P253 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 7 (4), (9), (10) 一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题题134 225 3nnnn133 124 2 2nnnn11 2e2114()e 1

20、42 3 3、 01)1cos(sinxdxnxn. . 三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf . edxx1)sin(ln. 1解解 eedxxxxxx111)cos(ln)sin(ln edxxe1)cos(ln1sin eedxxxxxxe111)sin(ln()cos(ln1sin edxxee1)sin(ln11cos1sin edxx1)sin(ln edxx1)sin(ln)11cos1sin(21 ee eedxx1ln.2 ee

21、dxx1ln解解 11lnexdx exdx1ln 11lnexx 111edxxx exx1ln edxxx11)1()0()11()10( eeee1111 eeeee22 3 3、 01)1cos(sinxdxnxn. . 解解 原式原式dxxnxxnxxn)sinsincos(cossin01 dxxnxxnxdxnn 001sinsin)(sincossindxxnxxnxdnnn 00sinsin)(sincos1)(cossin1cossin00nxdxnnnxxnn dxxnxn 0sinsin0 三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .解解xxxf2sectan2)( 4)4( f0)0( fdxxfxf)()( 40 )()(40 xdfxf 2401( )2fx22)0(21)4(21ff 8 四、若四、若 ,0)(在在xf 连续，连续，,1)(,2)0( ff 证明：证明：3sin )()(0 xdxxf