C8s12二重积分及其性质计算

1、1柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz d曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出 第一节、二重积分及其性质第一节、二重积分及其性质2步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyod),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifv 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割分割、求和、取极限、求和、取极限”

2、的方法的方法3 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniim xyo4定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域d上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域d任意分成任

3、意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积 ， 在每 个也表 示它 的 面积 ， 在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，二、二重积分的概念5如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 d d 上的上的二重积分二重积分，记为记为 ddyxf ),(，即即 ddyx

4、f ),(iiniif ),(lim10. .6(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值7 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于

5、坐标轴的直线网来划分区域分区域d， dddxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为8性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( dddyxfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质9性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为d的面积，的面积，.1 dddd 性质性质 若在若在d上上),(),(yxgyxf .),()

6、,( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( dddyxfdyxf )(21ddd 则有则有10 设设m、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 d 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 d 的的面面积积，则则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域d上上连连续续， 为为d的的面面积积，则则在在 d 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） dmdyxfm),( ),(),(fdyxfd（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）11例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deidyx )(22的的值值， 其

7、其中中d是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(adyxede 解解 dedyx)(22 ab.2aeab 区区域域 d的的面面积积 , ab12例例 2 2 估估计计 dxyyxdi16222 的的值值，其其中中 d： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解13例例 3 3 判断判

8、断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解14例例 4 4 比较积分比较积分 ddyx )ln(与与 ddyx 2)ln(的大小的大小, 其中其中 d 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 d 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 ddyx )ln( ddyx 2

9、)ln(.oxy121d15二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.16 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分

10、的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答17一、一、 填空题填空题: :1 1、 当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域d上上_时时, ,则其在则其在d上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . .2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域d上 可 积上 可 积 , , 且且21ddd , ,当当0),( yxf时时, , 则

11、则 1),(ddyxf _ 2),(ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1),(ddyxf _ 2),(ddyxf . .练练 习习 题题184 4、 ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二、二、 利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明: : dddyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数) )三、三、 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : 1 1、 dddyxdyx 322)()(与与, ,其中其中d是由圆是由圆 2)1()2(22 yx所围成所围成 . . 2 2、 dy

12、xdyxd2)ln()ln(与与, ,其中其中d是矩形是矩形 闭区域闭区域: :10 , 53 yx . .19四四、估估计计积积分分 ddyxi )94(22的的值值, ,其其中中d是是圆圆 形形区区域域: :422 yx . .20一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶, ,以以d为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 dddyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxd2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案21如果积分区域为：如果积

13、分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、直角坐标系中计算二重积分x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 第二节、二重积分的计算第二节、二重积分的计算22为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xa),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 得得23

14、.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d24 x型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3d2d1d在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 dddd

15、则必须分割则必须分割.25xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图26xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图27例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(

16、.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a28例例 4 4 求求 ddxdyyx)(2，其中，其中d是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 29例例5 5 求求 dydxdyex22，其其中中 d 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用

17、初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 30例例 6 6 计计算算积积分分 yxydxedyi212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxi2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 31例例 7 7 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图

18、.32, 10 yx,xyyx 所求体积所求体积 ddxyyxv )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是33aodiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( ddrdrdrrfdxdyyxf 二、极坐标系中计算二重积分34.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ado)(1 r)(2 r drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）

19、区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r35区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd drdrdrrf )sin,cos(aod)(2r)(1r36aod)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r drdrdrrf )sin,cos(37 drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式

20、（）区域特征如图区域特征如图).(0 rdoa)(r,2 038例例1 1 写写出出积积分分 ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxd 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd39例例 2 2 计算计算dxdyedyx 22，其中，其中 d 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区

21、域.解解在极坐标系下在极坐标系下d：ar 0， 20.dxdyedyx 22 arrdred0202).1(2ae 40例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221ryxyxd 2| ),(2222ryxyxd 0, 0 yx0 ,0| ),(ryrxyxs 显显然然有有 21dsd , 022 yxe 122dyxdxdye syxdxdye22.222 dyxdxdye1d2dss1d2drr241又又 syxdxdyei22 ryrxdyedxe0022;)(202 rxdxe 1i 122dyxdxdye rrrdred0022);1(42re 同理同理 2i

22、 222dyxdxdye);1(422re 42当当 r时时,41 i,42 i故故当当 r时时,4 i即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21iii );1(4)()1(4222220rrxredxee 43例例 4 4 计算计算dxdyyxd)(22 ，其，其 d为由圆为由圆yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxd)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy44例例 5

23、 5 计算二重积分计算二重积分 ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxd.解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14dd 1d45例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14dd 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxay

24、x ,2cos2 ar ,222arayx 1d46由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aa, 所求面积所求面积 ddxdy 14ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a47二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序） 小结.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf y型型x型型48二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性） drdrdrrf )s

25、in,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 49 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxi,解答解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxfxyo设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题50故故 110)()(2xdyyfdxxfi xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyf

26、dxxfxx .)()(21010adyyfdxxf 51,cos022: ardoxy解答解答 cosar daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdri 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdia思考题思考题52一、一、 填空题填空题: : 1 1、 ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxd 2 2、 ddyxx )cos(_._.其中其中d是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 d

27、dyxf ),(, ,其中其中d是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题53 4 4、将二重积分、将二重积分 ddyxf ),(, ,其中其中d是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

28、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .54 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重

29、积分并计算下列二重积分: : 1 1、 dyxde , ,其中其中d是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 ddxyx )(22其中其中d是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xddyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。554 4、,2 ddxdyxy其中其中d: : 20 , 11 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域d由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲

30、面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .56一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211210),(yydxyxfdy；6 6、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),( ； 7 7、 21120),(xexdyyxfdx. .练习题答案练习题答案57二、二、1 1、1 ee； 2 2、613； 3 3、 ； 4 4、235 . .三、三、34. .四、四、 6. .

31、58一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 ddxdyyxf),(, ,d为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 ddxdyyxf),(, ,d为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题595 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210

32、化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 ddyx )1ln(22, ,其中其中d是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 ddyx )(22其中其中d是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 ddyxr 222, ,其中其中d是由圆周是由圆周 rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 ddyx 222, ,其中其中d: :322 yx. .60三、试将

33、对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdi交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域d是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .61一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(；

34、 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；练习题答案练习题答案62 3 3、)34(33 r； 4 4、 25. .三、三、 4420)sin,cos(drrfrdria araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(. .四、四、405 . .五、五、4323a . .63三、二重积分的换元法 .sin,cosry

35、rx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxmxoyrmro 64.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( dddudvvujvuyvuxfdxdyyxfddtvuyxvujddvuyvuxdxoyduovvuyyvuxxtdxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在