1513函数的连续性

1、 设)(xfy 在),(xn内有定义，x),(xn，称xxx为自变x 量在x 点的增量(或改变量)， )()()()(xfxxfxfxfy为函数)(xf在x 点的增量(或改变量)。1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性1.5.1.5.1 1 连续函数的概念连续函数的概念1 1. .函函数数的的增增量量注注意意：增量可正、可负、也可为零。xyxyoxxx)(xfy 2 2. .函数函数)(xfy在点在点x处的连续性处的连续性xyxyoxxx)(xfy)(xy xyoxxxxymn. 0 0yx时. 0 0yx时定义定义 1 1 设函数)(xfy在),(xn有定义，若0lim0yx则称函数xxf

2、 ) (在点处连续连续，并称x 点是函数)(xf的连续点连续点。xxx， 当0 x时，有xx；0)()(limlim0 xfxfyxxx，)()(limxfxfxx。定义定义 2 2 设函数)(xfy在),(xn有定义，若)()(limxfxfxx则称函数xxf ) (在点处连续。 函数)(xfy在),(xn有定义； )(limxfxx存在； )()(limxfxfxx。 若条件之一不满足，则称)( xfx 为点的一个间间断断点点(或不不连连续续点点)。函数xxf ) (在点处连续必须满足以下三个条件：定义定义 3 3 若o，0， xx时，恒有)()(xfxf，则称函数xxf ) (在点处连续

3、。 若)()(limxfxfxx，则称函数xxfy ) (在点处左连续左连续。若)()(limxfxfxx，则称函数xxfy ) (在点处右连续右连续。 函数函数)(xfy在点在点x处连续的充要条件处连续的充要条件: :)(lim)()(lim)()(limxfxfxfxfxfxxxxxx3 3. .函数函数)(xfy在某区间内的连续性在某区间内的连续性 若函数)(xfy在) ,(ba内每一点都连续，则称函数)(xfy在) ,(ba内连续。 若函数)(xfy在) ,(ba内连续，且在左端点ax右连续，在右端点bx左连续，则称函数)(xfy在 ,ba上连续。函数xxfy ) (在点处连续的几何意

4、义是曲线)(xfy在点) )( ,(xfx处不断开；函数)(xfy在) ,(ba内连续的几何意义是曲线)(xfy在) ,(ba内连续不断。区区间间i i上上连连续续函函数数的的全全体体简简记记为为c c( (i i) )。例 1证明0 , 0 0 ,11)(xxxxxf在点0 x处连续。证明证明：00lim)00(0 xf，, 0lim2121lim11lim)00(000 xxxxxfxxx )0(0)(lim0fxfx， 0 ) (xxf在点处连续。区间i上的连续函数)(xfy ，简记为)(icf 。例 2证明 函数xysin在) ,(内连续。 , 2sin2)2cos(2sin20 xx

5、xxxy证明证明：),(x，则),2cos(2sin2sin)sin(xxxxxxy故xysin在处 x连续，再由的 x任意性知，xysin在) ,(内连续。0lim0yx0lim0yx，例 3证明函数 ) 10(aayx在) ,(内连续。 证明证明：),(x，有xxxxaalim， xay 在处 x连续，再由的 x任意性知，xay 在) ,(内连续。类似地可证 xy cos在) ,(内连续。1.5.1.5.2 2 连续函数的运算连续函数的运算定理定理 1 1 若函数)(xf，)(xg在区间 i 上连续，则函数)()(xgxf，)()(xgxf，)()(xgxf)0)(xg在区间 i 上连续。

6、 由定理 1 及xsin，xcos的连续性可知xxxcossintan ，xxxsincoscot ，xxcos1sec ，xxsin1csc 在其定义域内连续。定理定理2 2 （反函数的连续性）（反函数的连续性） 若)(xfy 是区间 ,ba上的严格单调增加(或减少)的连续函数，则其反函数)(1xfy在区间 )( ),(bfaf(或 )( ),(afbf)上也是严格单调增加(或减少)的连续函数。) 10(aayx在) ,(内严格单调且连续，) 10(logaxya在) , 0(内也严格单调且连续。例如： xysin在 2 ,2上严格单调增加且连续， xyarcsin在 1 , 1上严格单调增

7、加且连续。 同样，应用定理 2 可证：xyarccos在 1 , 1上严格单调减少且连续，xyarctan在) ,(内严格单调减少且连续，xarcycot在) ,(上严格单调减少且连续。 若)(xgu 在x 点处连续，)(ufy 在点)(xgu 处连续，则复合函数)(xgfy 在x 点处也连续。（证明从略）定理定理 3（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）定理 3 是说连续函数的复合函数仍是连续函数连续函数的复合函数仍是连续函数。其结论为)(lim)()(limxgfxgfxgfxxxx极限符号 与函数符号 在函数连续时可以交换次序。limf例如： uy sin，2xu均为连续函数，复合函数

8、2sinxy在点2x处连续，. 12sin)2sin()limsin(sinlim22222xxxx定理定理3 若uxgxx)(lim，)(ufy在处点u 连续，则 )(lim)(limufxgfxgfxxxx. 定理 3 与定理3的区别区别在于：定理3不要求内层函数)(xgu在处点x 连续，只要求在处点x 极限存在，而极限值未必 u是函数)(xgu在x 点的函数值。 例如：xaaxxxy1)1 (log)1 (log，可看作由uyalog，xxu1)1 ( 复合而成。xaxaxxxx100)1 (loglim)1 (loglim.log)1 (limlog10exaxxa特别地1)1ln(l

9、im0 xxxexxx10)1 (lim，且uyalog在点eu连续，则由3定理得例 4证明函数xy)(r在) , 0(内是连续的。证明证明：xxeexyln)ln(可看成由uey， xuln复合而成，而xuln在) , 0(内连续，uey在) ,(内连续，由定理 3 知xeyln在) , 0(内连续，即xy在) , 0(内连续。 1.5.3 1.5.3 初等函数的连续性初等函数的连续性1.1.基本初等函数在其定义域内都是连续的；基本初等函数在其定义域内都是连续的；注注意意：初等函数在其定义域内不一定是连续的。 例如：kxkxxf)()0( k，)(xf的定义域为0 xx，它在0 x附近没有定

10、义， 因此，)(xf在0 x谈不上是连续的。重要结论重要结论：2. 2. 一切初等函数一切初等函数在其在其定义区间定义区间内是连续的内是连续的。例 5求函数xyarcsinln的连续区间，并求xxarcsinlnlim21。解：xyarcsinln是初等函数，其定义区间为1 , 0(，xyarcsinln的连续区间为1 , 0(。又1 , 0(21，6ln21arcsinlnxarcsinlnlim21x。 若x是初等函数)(xf定义区间内的点，则)()(limxfxfxx。例 6证明： （1）axaxxln1lim0) 10(a； （2）xxx1)1 (lim0)(r。证明证明： （1）令1

11、xat，则)1 (logtxa， 当0 x时，0t，aettxaaatxxlnlog1)1 (loglim1lim00。特别有 11lim0 xexx（2）当0时，结论显然成立。当0时，xxxexxx)1ln()1ln(11)1 ()1ln(xxxexxxxxx)1ln(lim)1ln(1lim1)1 (lim0)1ln(00.11重要结论重要结论：)1ln(x, x)1 (logxa, ln1xa1xe, x 1xa,lnax 1)1 (x. x, 0 时当x证明证明：)(ln)()()(xuxvxvexu，由指数函数和对数函数的连续性与极限的复合运算法则得)(ln)(lim)(ln)()(

12、lim)(limxuxvxuxvxxxvxxxxeexu)(lnlim)(limxuxvxxxxe.ln)(limln)(limbabxuxvaeexxxx例 7证明：若0)(limaxuxx，bxvxx)(lim，则bxvxxaxu)()(lim（x其中可以是有限数也可以是） 。例 8求下列极限：（1）xxxxxln1lim1解：1lnlnlimln1limln1lim1ln11xxxxxxexxxxxxxxx。（2）)0(2lim20ahaaaxhxhxh；解：aahaahaaaxhhxhxhxhxh22020ln)1(lim2lim。（3）)(lim12nnnxxn；解： )(lim)(lim111212nnnnnnxxnxxnxnnxnxxnnnnnnnln) 1(1lim ) 1(lim112) 1(1112等价无穷小量等价无穷小量.ln) 1(limlimln211xnnnxxnnn（4）xxxtan2)(sinlim；解：令tx2，当2x时，0t，ttxxtxcot0tan2)(coslim)(sinlim. 102210limtan1cos0limeeettttttttttttan1cos1cos10)1(cos1lim（5）2210) 1cos(limxxxxe。解：2210) 1cos(l