2一元微分学的概念、性质与盘算压缩打印版(高基上午)

1、一元微分学的概念、性质与计算、考试内容(-)导数与微分的概念与性质“心八0)=0f(mx),f+ mh) - f (x0 -nh)/ (0) = a <=> lim-= ma, f (x0) = => lim- :=(m + n)a,xto xh广 g) = a< f_ x0) = f+ xq) = a, lim ff(x) = fxq) o fx) = fx) = fxq),xf0ay(x) = a(x)ax + o(ax) o a(x) = yx),dy(u(x) = yu)du(x) = yu)u x)dx = y x)dx. 函数/(x)在点x0处可导，则其所示

2、曲线在点x0处有切线，反之不然.(-)基本函数的导数及高阶导数表1咻 + 厶2±/)=1(亠£±£)，=十.y/x2 ±a2 2a a-x,(x-a)w x - a|' = (n 4- l)(x - ci)n 1x-a i k. 1 ,i k. ft xa-l,x< a0 n> m(卄)=n n =atn"d,ln(x土a)*。=(!)(”)=(一件人“心x±a(x±a)n+amx n <m(sin a兀)5)= an sin(ax + n/2), (cos ax)(n) = an cos

3、(ax + n/2).(三)导数与微分的运算法则du(x)v(x) = u(x)v(x) dv(x) in u(x) = u(x)v(x)-u '(x) + v x) in u(x)dx, 对泵指函数也可用对数求导法，其适用于星指函数、连乘、连除、开方、乘方等;如+ 心”(兀)=ku(n)(x) + k2v(,l)(x),u(xmx)(n) = y c" u(x)(n_a)心(无)；jt=o设)，=/(兀)二阶可导，jly'ho,则兀0，) = 1/卩，疋(刃=一)严/严；设 x(f), y(f)二阶可导，若 y = y(x)由 x = x(t y = y(t)所确定

4、，则 y g) = y v)/xv) y ”=clyt)/xt)/clx(t) = yn(t)xt) - >(r)%7r)/x3(r).二、典型例题题型一可导性的判定1、设函数/(兀)在 x = x()处连续，贝ijlim(x-x0)_l/(x) = 6f 是广(a*0) = 6f 的(a)xf0(a)充分非必要条件(b)必要非充分条件(c)充要条件(d)既不充分也非必要条件2、设/(0) = 0,贝ij limr2/(2-!) = « 是厂(0) = a 的(b)xto(a)充分非必要条件(b)必要非充分条件(c)充要条件(d)既不充分也非必要条件 注 1： hmx'

5、2f(ex2-l) = a 是厂(0) = a 的(c)，但hmnf(n) = a 是/(0) = a 的(b)a->0t8f 0, x g (9i提示：取f(x) = =则f() = 0,但f(x)在兀=0处非右连续.1*0 n注2：若设函数/(兀)在x = 0处连续，贝ij lim点2/(/_ 1)=。是厂(0)=。的)，但xtolimx_2/(ev -1) = a 是 f *(0) = a 的(a).tto3、设/1uxau)存在但不相等，则下列命题正确的是(b)(a) /(x)在兀=兀。处不连续(b) /(兀)在x = x°处连续但不可导(c) x = x0为/(%)的

6、跳跃间断点(d) x = x0为广(兀)的跳跃间断点 注1： x = x0为厂的跳跃间断点o 厂(心,厂(妨)存在但不相等;x = 为厂(兀)的可去间断点o 厂(怎)，.厂(对)存在且相等;注2：设于在x = x0处连续，且.厂(菇)，.厂(对)存在且相等d广(兀)在x = x0处连续.4、设/(x)= 6。在兀°处连续，贝ij下列命题正确的个数为(d)(1) 若g在x。处可导，则/(x0) = g,(x0) (2)若gg)在兀。处连续,则fw = gt(x()若gg) = gg) =方,jjij f '(x0) = b (4)若gxq)= g+ '(xq) = b,

7、 m f vo) = b (a) 1(b) 2(c) 3(d) 45、函数/(x) = (x2 + x) x2-%-2不可导点的个数为丄.6、设f(兀)= g(x)©(兀),0(兀)在x = a连续，但不可导,又g'(d)存在，求证:g(a) = 0是尸(兀) 在x = a可导的充要条件.题型二 求导(微)的计算例 1、设/(%) =求广(x -1)(% - 2) (x - h)(兀+ 1)(兀+ 2)(兀+川)例2、设y = / ,求y '(兀)例 3、设/ln(x + vl + x2) = vl + x2，求 /"ln(x + 71+ x2)例4、函数/

8、(w) nj'导,y =当口变量兀在x = -l处取得增量ar = -0.1时，相应的函数增量的线性主部为01,则广(1) = 05 (提示：dy = f(x2)yx = 2xfx2)x)例5、设)，=/(%)是方程r -厂+ xy =()所确定的函数，求yf(0)及)/(0)arctan /例 6、e y = yjx2 + y2 求 dy 例7、设严格单调函数y = /(x)具有二阶导数，其反函数为x = /()，),且满足 /(i) = 1,广=一2 j"(l) = 3,则 ©"(i) = 3/8 例8、设/(f)二阶可导，且/"(f) h0

9、,求2广求心y =" dx2 例9、设y = /(x)是由方程组x = 3r2+2r + 3所确定的隐函数，求与山. "sin f - y + 1 = 0d对例 10、已知y = /(x)是由方程cos(xy)-lny + x = 1 确定，juolimn(/(2/n)-l)= 2 ."too 、'77例 11、求函数 y = (x -l)(|x -1| + |x +1|)的导数 y'f(ix 4- /jr 4- / v < f)，问选取怎样的系数abc才能使得/(x)处 ln(l + 兀) x > 0处具有一阶连续导数，但在x = 0

10、处却不存在二阶导数.题型三高阶导数的计算例 1、设 y = (4x2+5)50,则 y(,(x) =45°-100!.例 2、设 y = 3兀(兀？一兀一2尸，求)m).例 3、设 y = sin4 x + cos4 x ,求 y(n) = 4(,_1) cos(4x + n/2).例 4、设)，=(/+兀一2)"(cos4t7rq”，求/(/,)(x),厂")(1)三.课后练习1(a)、设广(兀o)存在,贝0limxf(x0 + x)-/(x0-2x) =xt02(a)、设/(x)在 x = 2 处连续,且lim(x2-4r7(x) = 3,则 /z(2) =x

11、t23(b)、若/(0) = 0,且广(0)=。，则limx'3x2f(x)-2f(x3)=x->()4(a)、设函数.f(x)在兀=0处连续，下列命题错误的是()(a)若limx-7(x)存在，则/(0) = 0 (b)若lim(%) + /(-兀)存在，则 f(0) = 0 a->()xto(c)若存在，则厂(0)存在(d)若limlvcv) /(-q存在，则厂(0)存在 a->0x-»05(a)、设/(0) = 0,则/(兀)在点x = 0可导的充要条件是()(a) lim/厂2/(1 _cosh)存在(b)lim/)存在(c) lim/?"

12、2/(tan/2-sin/?)存在(d)limhx/(tan h) - f (sin /?)t0刃 t06(b)、设/(无)可导，f(x) = /(x)(l + |sinx|),则于(0) = 0 是 f(x)在 x = 0 处可导的()(a)充耍条件(b)充分非必要条件(c)必耍非充分条件(d)即非充分也非必要条件7(a)、函数/(x) = (x2 - x- 2)|x3 -x不可导点的个数是 8(a)、设/(x) = 3x3+x2|x|,则使/(,)(0)存在的授高阶数为()(a)0(b)l (c)2(d)39(b)> 设 f(x) = limijl + |x3n ,则/(兀)在(-o

13、o,+oo)内()n->co v(a)处处可导(b)恰有一个不可导点(c)恰有两个不可导点(d)至少有三个不可导点10(a)、设/(x) = pye)"兀>°,其中g是冇界函数，则/在 = 0处()fgd) x<0(a)极限不存在(b)极限存在，但不连续(c)连续但不可导(d)j导点g(x) x<x011(b)>设/(兀)=< a x = x()在心处连续，则下列命题正确的个数为()/?(x) x > x0(1)若 ggo)go)",则 fxq) = b (2)若 ggo)"+go)",则 fxq) =

14、 b若gx-) = h+xq) = bf 则fxq) = b (4)若gx-) = hx = bf 贝uxq) = b(a) 1(b) 2(c) 3(d) 412(a)、设为不恒等于零的奇函数，口广()存在，则兀=()为g(x) = f(x)/x的() (a)连续点(b)跳跃间断点(c)可去间断点 (d)第二类间断点13(a)、若/(兀)为偶函数,且广(0)存在,求证：广(0) = 0.14(a)、设函数y = /(x)的图形如图所示，则在兀。处的心及ay-dy的正负号为()(a) dy < 0, ay - dy > 0(b) dy < 0, ay -dy < 0(c)

15、 dy > 0,ay-dy >0 (d) dy0,ay -dy v 0 15(a)、设g(x)可微，/?(x) = e,+hx),/?r(l) = l,gf(l) = 2, 则 g(l)=16(a)、设/(兀)在x = 2的某邻域内可导，且广(兀)= “(» /(2)二1 ,则厂(2)二0 兀()x()+arx17(a)、设函数蚀 =0一1)(0一2)(严-q,其中为正整数，则厂(0)=().18、计算下列导数(微分)：(1) (a)设 y = in 7(l-x)/(l + x2),则 y"(0) =.(2) (a)设 y =寻(x + l)(兀+ 7)/班1

16、+兀2),求 丫=(3) (a)若 y = f(x)由 ey + 6xy + x2 -1 = 0 确定，则 y"(0)=.(4) (b)设y = f(x+y),其中/具有二阶导数,且广工1,求yx)=(5) (a)设x = t>>7c，其中f可导，且厂(0)h0,则仝=y = f(e- -1)dxt=0 x = t - ln(l + 7)d2y(6) (a)设y = y(x)由32所确定，则一=i y = r +rdx (7)(b)设函数/(x)=皿心,尸心劝,则字2x-l,x < 1dxx=225(b)、设/(%) =x3/ x026(b)、设<兀=2/ +

17、1/|y = 5t2 + 4r|r|m. dx则一dtz=()r=()dy_ dx r=0(8) (b)设/(x) = max|x,x2,x3|,xg(0,2),则fr(x)=(9) (a)/(x) = (l-x)/(l + x),则/(w)(x)=.(10) (a)y = ln(l-2x),则严)(0) =(11) (b)设函数/(x) = x2ln(l + x),则当n>3, /(/,)(0) = 19(a)、设于(兀)= limx(l + 3f)/,则 f x) =/->0 20(a)、设函数y二/(x)由方程)，一兀=?讣门确定，则limh(/(l/n)-l)=21(a)、定义于7?上的于 w(兀+ 2), r为常数，且在0,2±, /(x) = x(x2-4),(1)在-2,0上，/(%)=；(2)若/(兀)在兀=0处可导，则r二sin(x-1) + 2， x <