（浙江专用）2019年中考数学总复习 第六章 空间与图形 6.3 图形的相似（试卷部分）优质课件

1、1第六章第六章 空间与图形空间与图形6.36.3图形的相似图形的相似中考数学中考数学 (浙江专用浙江专用)21.(2017杭州,3,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,则()A.=B.=C.=D.=ADAB12AEEC12ADEC12DEBC12考点一考点一 相似的有关概念及性质相似的有关概念及性质A A组组 2014-2018 2014-2018年浙江中考题组年浙江中考题组五年中考答案答案B利用平行线分线段成比例可得=,此题选B.AEECADBD1232.(2016杭州,2,3分)如图,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线

2、n分别交直线a,b,c于点D,E,F.若=,则=()A.B.C.D.1ABBC12DEEF131223答案答案Babc,=,又=,=,故选B.ABBCDEEFABBC12DEEF12关键提示关键提示本题考查平行线分线段成比例,关键是找准对应线段.43.(2015嘉兴、舟山,5,3分)如图,直线l1l2l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点G,且AG=2,GB=1,BC=5,则的值为()A.B.2C.D.DEEF122535答案答案D=,故选D.DEEFABBC3554.(2014宁波,8,4分)如图,梯形ABCD中,

3、ADBC,B=ACD=90,AB=2,DC=3,则ABC与DCA的面积比为()A.2 3B.2 5C.4 9D.23答案答案CADBC,ACB=DAC.又B=ACD=90,CBAACD,=.又AB=2,DC=3,=.故选C.BCACACADABDCABCDCASS2ABDC49评析评析本题主要考查了三角形相似的判定及性质.65.(2015金华,14,4分)如图,直线l1,l2,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.答案答案5解析解析直线l1,l2,l6是一组等距离的平行线,=,即=.又l3l6,ABCAEF

4、.=.BC=2,=EF=5.ABBE23ABAE25BCEFABAE252EF2576.(2015杭州,22,12分)如图,在ABC中(BCAC),ACB=90,点D在AB边上,DEAC于点E.(1)若=,AE=2,求EC的长;(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是CFG的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由.ADDB138解析解析(1)因为ACB=90,DEAC,所以DEBC,所以=.因为=,AE=2,所以=,解得EC=6.(2)如图,若CFG1=ECD,则线段CP1为RtCFG1的FG1边上的中线

5、.证明:因为CFG1=ECD,所以CFG1=FCP1,又因为CFG1+CG1F=90,FCP1+P1CG1=90,所以CG1F=P1CG1.所以CP1=G1P1.又因为CFG1=FCP1,所以CP1=FP1,ADDBAEECADDB132EC139所以CP1=FP1=G1P1,所以线段CP1为RtCFG1的FG1边上的中线.若CFG2=EDC,则线段CP2为RtCFG2的FG2边上的高.证明:因为DEAC,所以DEC=90,所以EDC+ECD=90,因为CFG2=EDC,10所以ECD+CFG2=ECD+EDC=90,所以CP2FG2,即CP2为RtCFG2的FG2边上的高.当CD为ACB的平

6、分线时,CP既是CFG的FG边上的高又是中线.评析评析本题主要考查了平行线分线段成比例的性质、直角三角形两锐角的关系、等腰三角形的判定、分类讨论思想的应用,有一定的难度.分类讨论时比较容易遗漏某种情况.111.(2017杭州,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DEBC于点E,连接AE,则ABE的面积等于.考点二考点二 相似图形的判定相似图形的判定答案答案7812解析解析DEBC,BAC=DEC,又C=C,ABCEDC,=,在RtBAC中,AC=20,AB=15,BC=25,又AD=5,CD=15,EC=12,BE=13,SABE=

7、SABC=1520=78.ACECBCCD22ACABAC CDBCBEBC132512思路分析思路分析ABC的面积是很容易求出来的,只要知道BE与BC的比值即可解决问题,又BC容易求得,故将问题转化为求BE的长度,由ABCEDC可得=,从而求出EC,由此即可得出BE.ACECBCCD132.(2016嘉兴,15,5分)如图,已知ABC和DEC的面积相等,点E在BC边上,DEAB交AC于点F,AB=12,EF=9,则DF的长是.答案答案714解析解析作AGBC于点G,DHBC于点H,DEAB,ABCFEC,=,即=,又SABC=SDEC,即BCAG=ECDH,=,=,ABDE,B=DEH,AG

8、BC,DHBC,AGB=DHE=90,ABGDEH,=,=,即DE=16,FD=DE-FE=16-9=7.BCECABFE129BCEC431212BCECDHAGDHAG43DEABDHAG4312DE43思路分析思路分析作两三角形的高,利用面积相等及平行的条件列式求出DE长,进而可得DF的长.153.(2018杭州,19,8分)如图,在ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E.(1)求证:BDECAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.16解析解析(1)证明:AB=AC,B=C,又AD为BC边上的中线,ADBC,DEAB,DEB=ADC=90,BDECAD.

9、(2)易知BD=BC=5,在RtADB中,AD=12,由(1)易得=,=,DE=.1222ABBD22135BDCADEAD51312DE6013思路分析思路分析(1)由等腰三角形的性质,得B=C,ADBC,因为DEAB,所以DEB=ADC,根据相似三角形的判定定理,即可解决问题.(2)利用勾股定理求出AD,再利用(1)的结论列式求解.解题关键解题关键本题考查相似三角形的判定定理和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识并灵活应用.174.(2017杭州,19,8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于点G,AFDE于点F,EAF=GAC.(1

10、)求证:ADEABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.AFAG18解析解析(1)证明:因为AFDE,AGBC,所以AFE=90,AGC=90,所以AEF=90-EAF,C=90-GAC,又因为EAF=GAC,所以AEF=C,又因为DAE=BAC,所以ADEABC.(2)因为ADEABC,所以ADE=B,又因为AFD=AGB=90,所以AFDAGB,所以=,又因为AD=3,AB=5,所以=.AFAGADABAFAG35195.(2015丽水,23,10分)如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连接CF并延长交AB于点M,MNCM交射线AD于点N.(1)当F为BE中点时,求

11、证:AM=CE;(2)若=2,求的值;(3)若=n,当n为何值时,MNBE?ABBCEFBFANNDABBCEFBF20解析解析(1)证明:F为BE中点,BF=EF.ABCD,MBF=CEF,BMF=ECF.BMF ECF(AAS).MB=CE.AB=CD,CE=DE,MB=AM.AM=CE.(2)设MB=a,ABCD,BMFECF.=2,=2.CE=2a.AB=CD=2CE=4a,AM=AB-MB=3a.=2,BC=AD=2a.MNMC,A=ABC=90,AMNBCM.=,即=.AN=a,ND=2a-a=a.=aa=3.(3)解法一:=n,设MB=a,与(2)同理可得CE=na,AM=(2n

12、-1)a,BC=2a,由AMNBCM,得AN=(2n-1)a,DN=,EFBFCEMBABBCANMBAMBCANa32aa323212ANND3212ABBCEFFB12(25)2na21DHAM,=,DH=(2n-5)a,HE=(5-n)a.当MNBE时,四边形MBEH是平行四边形,(5-n)a=a,n=4.当n=4时,MNBE.解法二:=n,设MB=a,与(2)同理可得CE=na,BC=2a,当MNBE时,CMBE,可证MBCBCE,=.=,n=4.当n=4时,MNBE.DNANDHAMABBCEFFBMBBCBCCE2aa2ana思路分析思路分析(1)所证结论是相等关系,考虑证三角形全

13、等.(2)设MB=a,利用相似三角形将AN,ND用含a的式子表示出来,进而得比值.(3)类比(2)求解.22评析评析本题是探究型问题,考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质.6.(2014丽水、衢州,23,10分)提出问题:(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AEDH于点O,求证:AE=DH;类比探究:(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EFHG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;综合运用:(3)在第(2)问条件下,HFGE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影

14、部分的面积.23解析解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=DA,ABE=DAH=90.HAO+OAD=90.AEDH,ADO+OAD=90.HAO=ADO.ABE DAH(ASA),AE=DH.(2)EF=GH.理由如下:将FE平移到AM处,则AMEF,AM=EF.将GH平移到DN处,则DNGH,DN=GH.24EFGH,AMDN,根据(1)的结论得AM=DN,所以EF=GH.(3)四边形ABCD是正方形,ABCD,AHO=CGO,FHEG,FHO=EGO,AHF=CGE,又HAF=GCE=90,AHFCGE,又FHEG,=,EC=2,AF=1,过F作FPBC于点P,AFCEFHEGF

15、OOE1225BP=AF=1,PF=BC=4,PE=BE-BP=1,则有EF=,FHEG,=,=,根据(2)知EF=GH,FO=HO.SFOH=FO2=,22PFPE17FOOEHOOGFOFEHOHG1212213EF171826SEOG=EO2=,阴影部分面积为SFOH+SEOG=.1212223EF3498518评析评析本题考查了三角形的综合知识.用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等,综合性较强,难度较大.271.(2018杭州,10,3分)如图,在ABC中,点D在AB边上,DEBC,与边AC交于点E,连接BE.记ADE,BCE的面积分别为S1,S2()A.若2

16、ADAB,则3S12S2B.若2ADAB,则3S12S2C.若2AD2S2D.若2ADAB,则3S13S1.当2ADAB时,AE3S1;当2ADAB时,AECE,S1变大,S2变小,不能确定2S2与3S1的大小关系,故选D.AEECADDBADEBDECSS四边形13292.(2016湖州,10,3分)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连接AD,使得DAC=ACD.如图3,将ACD沿着AD折叠,使得点C落在点E处,连接BE,得到四边形ABED.则BE的长是()A.4B.C.3D.21742530答案答案B如图,设AE与BC交于点O,C=.AB

17、=AC,ABC=C=,由已知条件及折叠的性质得1=2=3=C=,AE=AC=AB=4,CDACAB,AC2=CDCB,CD=,BD=.ADO=ADB,2=ABD,ADOBDA,AD2=DODB,又AD=CD,DO=.CO=DO+CD=,BO=BC-CO=.BAE=180-4,由AE=AB得ABE=AEB,AEB=2,EAC=2,AEB=EAC,ACBE,ACOEBO,=,BE=,故选B.1673372562311123311933ACBEOCOBAC OBOC174313.(2015衢州,9,3分)如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条

18、60cm长的绑绳EF,tan=,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是()A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm52关键提示关键提示本题考查了等腰三角形的性质,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质.解题的关键是多次运用相似求出相关线段的长.32答案答案B如图:根据题意可知:AFOACD,OF=EF=30cm,=,=,CD=72cm.tan=,=,AD=72=180(cm).故选B.12OFDCAFAC30DC2.5652ADDC5252思路分析思路分析在RtADC中已知tan=,根据正切函数的定义,要求AD,只需求出DC,这可由相似三角形获得.52334.(2018宁波,25,

19、12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD平分ABC,BAC=ADC.求证:ABC是比例三角形;(3)如图2,在(2)的条件下,当ADC=90时,求的值.BDAC34解析解析(1)或或.(2)证明:ADBC,ACB=CAD,又BAC=ADC,ABCDCA,=,即CA2=BCAD.ADBC,ADB=CBD,BD平分ABC,ABD=CBD,ADB=ABD,AB=AD,43926BCCACAAD35CA2=BCAB,ABC

20、是比例三角形.(3)如图,过点A作AHBD于点H.AB=AD,BH=BD.ADBC,ADC=90,BCD=90,BHA=BCD=90.又ABH=DBC,1236ABHDBC,=,ABBC=DBBH,ABBC=BD2.又ABBC=AC2,BD2=AC2,=.ABDBBHBC1212BDAC2375.(2018湖州,23,10分)已知在RtABC中,BAC=90,ABAC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且=m,连接AE,过点D作DMAE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.(1)如图1,过点E作EHAB于点H,连接DH.求证:四边形DHEC是平行四边形;若m=,求证:AE=DF;(2

21、)如图2,若m=,求的值.DCBEACBC2235DFAE38解析解析(1)证明:EHAB,BAC=90,EHCA,BHEBAC,=,=,=,=,HE=DC,四边形DHEC是平行四边形.=,BAC=90,AC=AB,=,HE=DC,=,又BHE=90,BH=HE.BEBCHEACDCBEACBCBEBCDCACHEACDCACACBC22DCBE22HEBE2239HE=DC,BH=CD,AH=AD.DMAE,EHAB,EHA=AMF=90,HAE+HEA=HAE+AFM=90,HEA=AFD,EHA=FAD=90,HEA AFD,AE=DF.(2)过点E作EGAB于G,CAAB,EGCA,4

22、0EGA=AMF=90,GEA+EAG=EAG+AFM,AFM=AEG,FAD=EGA=90,FADEGA,=.DFAEADAG3344yxyx34EGBCAB,=,=,=,EG=CD.设EG=CD=3x,AC=3y,由题意得BE=5x,BC=5y,BG=4x,AB=4y,EGCABEBCEGBECABC35CDBE3541小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题:(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两邻边长又分别为多少mm?请你计算;6.(2014绍兴,20,8分)课本中有一道作业题:42图1图

23、2(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条邻边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两邻边长.43解析解析(1)设PQ=xmm,APNABC,=,=,解得x=,PN=2x=.这个矩形零件的两邻边长分别为mm,mm.(2)设PQ=xmm,APNABC,=,=,解得PN=120-x,S矩形=x=-x2+120 x=-(x-40)2+2400,当x=40,即PQ=40mm,PN=60mm时,矩形面积最大.PNBCAEAD2120 x8080 x2407480724074807PNBCAEAD120PN8080 x3231202x32324

24、41.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=2 3,则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为()A.4 9B.2 5C.2 3D.23B B组组 2014-2018 2014-2018年全国中考题组年全国中考题组考点一考点一 相似的有关概念及性质相似的有关概念及性质答案答案A由位似图形的性质知=,所以=.故选A.ABA BOAOA23ABCDA B C DSS四边形四边形2ABA B49452.(2015山东聊城,7,3分)下列命题中的真命题是()A.两边和一角分别相等的两个三角形全等B.相似三角形的面积比等于相似比C.正方形不

25、是中心对称图形D.圆内接四边形的对角互补答案答案DA项,在两边和一角中,当角为两边中一边的对角时,这两个三角形不一定全等,故本选项错误;B项,相似三角形面积比等于相似比的平方,故本选项错误;C项,正方形是中心对称图形,故本选项错误;D项,圆内接四边形对角互补,故本选项正确.故选D.463.(2015甘肃兰州,17,4分)如果=k(b+d+f0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=.abcdef答案答案3解析解析由题意可得=k,则a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.acebdf474.(2014湖北武汉,24,8分)如图,RtABC中,ACB=90,AC=6cm,BC

26、=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ.(1)若BPQ与ABC相似,求t的值;(2)连接AQ、CP,若AQCP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在ABC的一条中位线上.48解析解析(1)由题意知,BP=5tcm,CQ=4tcm,BQ=(8-4t)cm.在RtABC中,AB=10cm.当PBQABC时,有=,即=,解得t=1.当QBPABC时,有=,即=,解得t=.PBQ与ABC相似时,t=1或.22ACBCBPABBQBC510t848tBQABBPBC841

27、0t58t32413241(2)如图,过点P作PDBC于D.依题意,得BP=5tcm,CQ=4tcm.则PD=PBsinB=3tcm,BD=4tcm,CD=(8-4t)cm.AQCP,ACB=90,tanCAQ=tanDCP.=.=,t=.CQACPDCD46t384tt7849(3)证明:如图,过点P作PDAC于D,连接DQ、BD,BD交PQ于M,则PD=APcosAPD=APcosABC=(10-5t)=(8-4t)cm.而BQ=(8-4t)cm,PD=BQ,又PDBQ,四边形PDQB是平行四边形.点M是PQ和BD的中点.过点M作EFAC交BC,BA于E,F两点.则=1,即E为BC的中点.

28、同理,F为BA的中点.PQ的中点M在ABC的中位线EF上.810BEECBMMD501.(2015四川绵阳,12,3分)如图,D是等边ABC边AB上的一点,且AD DB=1 2,现将ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE CF=()A.B.C.D.34455667考点二考点二 相似图形的判定相似图形的判定51答案答案B设等边ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知C=EDF=60,EDA+FDB=120,在AED中,A=60,AED+ADE=120,AED=BDF,又A=B,AEDBDF,=,又CE=DE,CF=DF,=,=,可得2CE=3C

29、F-CECF,CF=3CE-CECF,2CE-3CF=CF-3CE,=.故选B.AEBDADBFEDDF32CECECF13CFCECFCECF45522.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,ABC和EPD的顶点均在格点上,要使ABCEPD,则点P所在的格点为()A.P1B.P2C.P3D.P4答案答案C设方格纸中各小正方形的边长为1.由题图可知,E=A=90,要使ABCEPD,则=2,所以EP=2AB=6,点P所在的格点为P3,故选C.EPABDEAC评析评析本题考查相似三角形的判定,设计巧妙,属容易题.533.(2015山东临沂,18,3分)如图,在ABC中,BD,CE分别是边

30、AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则=.OBOD答案答案2解析解析连接DE,BD,CE是AC,AB边上的中线,DE为ABC的中位线,DE=BC,DEBC,OBCODE,=2.12OBODBCDE54(2014北京,10,4分)在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为25m,那么这根旗杆的高度为m.考点三考点三 相似图形的应用相似图形的应用答案答案15解析解析设旗杆的高度为xm,则=,解得x=15.即旗杆的高度为15m.1.8325x551.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将

31、线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6)C C组组 教师专用题组教师专用题组考点一考点一 相似的有关概念及性质相似的有关概念及性质答案答案B设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,=,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.1x2y52562.(2014湖北武汉,6,3分)如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为()A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1)1

32、2答案答案A线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,端点C的坐标为(3,3).故选A.12评析评析本题主要考查位似图形的性质,属容易题.573.(2014辽宁沈阳,8,3分)如图,在ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DEBC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20答案答案C由题意可得ADEABC,相似比为,所以BC=3DE=15,故选C.13评析评析本题考查相似三角形的判定与性质,属容易题.584.(2015辽宁沈阳,14,4分)如图,ABC与DEF位似,位似

33、中心为点O,且ABC的面积等于DEF面积的,则AB DE=.49答案答案2 3解析解析ABC与DEF位似,ABCDEF,=.SABC=SDEF,=.=,=(舍负),即AB DE=2 3.ABCDEFSS2ABDE49ABCDEFSS492ABDE49ABDE23595.(2015天津,16,3分)如图,在ABC中,DEBC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为.答案答案185解析解析DEBC,=,=,=,DE=.ADABDEBCADADBDDEBC3326DE185评析评析本题考查平行线分线段成比例定理.由DEBC可得=,从而可计算出DE的长.ADABDEB

34、C601.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:对于两人的观点,下列说法正确的是()A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对考点二考点二 相似图形的判定相似图形的判定答案答案A由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确;新矩形与原矩形的对应角相等,但对应边的比并不相等,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点也正确,故选A.612.(2016陕西,17,5分)如图,已知ABC,BAC=90.请用尺规过点A作一条直线,使其将ABC分成两个相似的三角形.(保留作图痕迹,不写作法)解析解析如图,直线AD即为所作.(5分)621.

35、(2015江苏连云港,25,10分)如图,在ABC中,ABC=90,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点D作DHAB,交BC的延长线于点H.(1)求BDcosHBD的值;(2)若CBD=A,求AB的长.考点三考点三 相似图形的应用相似图形的应用63解析解析(1)DHAB,BHD=ABC=90,又ACB=DCH,ABCDHC,=.AC=3CD,BC=3,CH=1.BH=BC+CH=4.在RtBHD中,cosHBD=,BDcosHBD=BH=4.(4分)(2)解法一:A=CBD,ABC=BHD,ABCBHD.(6分)=.ABCDHC,=,AB=3DH.=,DH=2,AB=6.(10分

36、)ACDCBCHCBHBDBCHDABBHABDHACDC313DH34DH64解法二:CBD=A,BDC=ADB,CDBBDA.=,BD2=CDAD,BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分)CDBBDA,=,=,AB=6.(10分)CDBDBDADCDBDBCAB2CDCD3AB652.(2015江苏南京,20,8分)如图,ABC中,CD是边AB上的高,且=.(1)求证:ACDCBD;(2)求ACB的大小.ADCDCDBD66解析解析(1)证明:CD是边AB上的高,ADC=CDB=90.又=,ACDCBD.(4分)(2)ACDCBD,A=BCD.在ACD中,ADC=90,A+AC

37、D=90,BCD+ACD=90,即ACB=90.(8分)ADCDCDBD67(2016杭州滨江二模,8)有两个相似三角形,它们的周长分别是36和12,周长较大的三角形的最大边长为15,周长较小的三角形的最小边长为3,则周长较大的三角形的面积是()A.52B.54C.56D.58考点一考点一 相似的有关概念及性质相似的有关概念及性质三年模拟A A组组 20162018 20162018年模拟年模拟基础题组基础题组答案答案B两相似三角形的周长分别是36和12,相似比为3 1.周长较大的三角形的最大边长为15,周长较小的三角形的最小边长为3,周长较大的三角形的最小边长为9,周长较小的三角形的最大边长

38、为5,周长较大的三角形的第三条边长为12,92+122=152,两个三角形均为直角三角形,周长较大的三角形的面积=912=54,故选B.12681.(2016宁波北仑一模,16)在ABC中,D,E分别在边AB、AC上,AB=8cm,AC=6cm,AD=3cm,要使ADE与ABC相似,则线段AE的长为cm.考点二考点二 相似图形的判定相似图形的判定答案答案4或9469解析解析分两种情况讨论:当ADEABC时,如图,有=.AB=8cm,AC=6cm,AD=3cm,AE=cm.当ADEACB时,如图,有=.AB=8cm,AC=6cm,AD=3cm,AE=4cm.综上,AE=4cm或cm.ADABAE

39、AC94ADACAEAB94702.(2018杭州名校二模,19)如图,在ABC中,AD是BAC的平分线,点E在边AC上,且AD2=AEAB,连接DE.(1)求证:ABDADE;(2)若CD=3,CE=,求AC的长.9471解析解析(1)证明:AD平分BAC,BAD=CAD.又AD2=AEAB,=,ABDADE.(2)ABDADE,ADB=AED.EDC=180-(ADB+ADE)=180-(AED+ADE)=DAC,且C=C,CEDCDA,=,CD2=ECCA,AC=4.ADAEABADCDCAECCD2CDEC994721.(2018滨江二模,10)如图,ABCDBE,延长AD交CE于点P

40、.若DEB=45,AC=2,DE=,BE=1.5,则tanDPC=()A.B.2C.D.22232212考点三考点三 相似图形的应用相似图形的应用答案答案BABCDBE,=,ACB=DEB=45.又AC=2,DE=,BE=1.5,BC=3.过点A作AHBC于点H.ACDEBCBE2273ACH=45,AH=CH=ACsinACH=2=2,BH=BC-CH=3-2=1.222ABCDBE,ABC=DBE,=,ABD=CBE.ABDCBE,BAD=BCE.又AOB=COP,DPC=ABC,tanDPC=tanABC=2.故选B.ABBDBCBEAHBH21方法与策略方法与策略1.要想到把DPC放在

41、直角三角形中解决,所以构造直角三角形并将DPC转化到RtABH中.2.由已知的相似推导出另一对三角形相似,从而把所求的角转化到已知的直角三角形中,问题就解决了.742.(2018丽水二模)如图,已知锐角ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高.(1)求证:ABDCBE;(2)若ABC和BDE的面积分别是20和5,DE=2,求点B到直线AC的距离.275解析解析(1)证明:ADBC于点D,CEAB于点E,CEB=ADB=90,B=B,ABDCBE.(2)由(1)知ABDCBE,=.B=B,BEDBCA,=.ABC和BDE的面积分别为20和5,DE=2,AC=4,点B到直线AC的距离为=5.DB

42、EBABCBBDEABCSS2DEAC222ABCSAC2761.(2017杭州西湖一模,8)如图,BD是ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DEAB,DEF=A,EF与BD交于点M,以下结论:BDE是等腰三角形;四边形AFED是菱形;BE=AF;若AF BF=3 4,则DEM的面积 BAD的面积=9 49,其中正确的是()A.B.C.D.B B组组 2016201820162018年模拟年模拟提升题组提升题组( (时间时间:55:55分钟分值分钟分值:80:80分分) )一、选择题（每小题一、选择题（每小题3 3分，共分，共1212分）分）77答案答案BDEAB,BD平分ABC,

43、ABD=BDE=DBE,BDE是等腰三角形,正确.四边形AFED是平行四边形,不一定是菱形,错误.BE=ED=AF,正确.ABDEDM,=,正确.故选B.EDMABDSS2DEBA2379492.(2017温州七校联考,9)如图,ABC中,D、E两点分别在BC、AD上,且AD平分BAC,若ABE=C,AD ED=3 1,则BDE与ADC的面积比为()A.16 45B.2 9C.1 9D.1 378答案答案BAD ED=3 1,AE AD=2 3,ABE=C,BAE=CAD,ABEACD,SABE SACD=4 9,SACD=SABE,AE ED=2 1,SABE SBED=2 1,SABE=2

44、SBED,SACD=SABE=SBED,SBDE与SADC的比为2 9.949492793.(2016宁波慈溪一模,9)如图,在ABC中,DEBC,且=,则S四边形DBCE SABC=()A.1 4B.1 9C.3 4D.8 9AEEC12答案答案DD、E分别是ABC的AB、AC边上的点,DEBC,ADEABC.AE EC=1 2,AE AC=1 3,SADE SABC=1 9,=.故选D.DBCEABCSS四边形89804.(2016杭州萧山一模,1)下列判断不正确的是()A.所有等腰直角三角形都相似B.所有直角三角形都相似C.所有正六边形都相似D.所有等边三角形都相似答案答案B两个直角三角

45、形的锐角不一定对应相等,所以两个直角三角形不一定相似,故选项B不正确,故选B.815.(2018舟山二模,8分)如图,在ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上,DEF=B.(1)求证:BDECEF;(2)若点E是BC的中点,=,EF=6,求CF.DEEC32二、解答题（共二、解答题（共6868分）分）82解析解析(1)证明:AB=AC,B=C.BDE=180-B-DEB,CEF=180-DEF-DEB,DEF=B,BDE=CEF,BDECEF.(2)BDECEF,=,点E是BC的中点,BE=CE,=,DEF=B=C,DEFECF,BECFDEEFCECFDEEF83=,E

46、F=6,CF=4.DEECEFCF326.(2018奉化一模,8)如图,在ABC中,点D为BC上一点,AB=AD=BD,过点D作DEAB交AC于点F,且CAE=60,连接AE交BC于点G.(1)求证:AEDCAD;(2)若AB=2,求DECD的值.384解析解析(1)证明:AB=AD=BD,ABD是等边三角形,BAD=ABD=ADB=60,ADC=BAD+ABD=120,DEAB,FDC=ABC=GDE=60,BAE=AED,BAD=CAE=60,BAE=BAD-EAD=EAF-EAD=DAF,ADE=ADB+BDE=60+60=120=ADC,又DAF=AED,AEDCAD.(2)由(1)得

47、,AEDCAD,则=,即AD2=EDCD,AB=AD=2,DECD=AB2=(2)2=12.ADCDEDAD33857.(2018金华二模)如图,在RtABC中,BAC=90,D,E两点分别在BC,AD上,AD平分BAC,ABE=C.(1)求证:ABEACD;(2)若点E是AD的中点,BC=5,求BDE的面积.86解析解析(1)证明:AD平分BAC,BAE=DAC,ABE=C,ABEACD.(2)由(1)得ABEACD,=,即AC=2AB,BAC=90,AB=,AC=2.ABC中,设BC边上的高为h,则ABAC=BCh,解得h=2,点E是AD的中点,在BDE中,BD边上的高为h=1.如图,过点

48、D作DFAC于点F,设AF=x,BAC=90,AD平分BAC,ABACAEAD125512121287DAC=45,DF=AF=x,CF=2-x,易得DFAB,=,即=,解得x=,=,=,BD=BC=,SBDE=BDh=1=.5DFABCFAC5x2 52 5x2 53DFAB2 53523CDBC2313531212125356888.(2017杭州上城一模,23)从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们就把这条线段叫做这个三角形的优美线.(1)在ABC中,AD为角平分线,

49、B=50,C=30,求证:AD为ABC的优美线;(2)在ABC中,B=46,AD是ABC的优美线,且ABD是以AB为腰的等腰三角形,求BAC的度数;(3)在ABC中,AB=4,AC=2,AD是ABC的优美线,且ABD是等腰三角形,求优美线AD的长.89解析解析(1)证明:如图,B=50,C=30,BAC=180-B-C=100,AD平分BAC,BAD=DAC=50,B=BAD=50,DB=DA,ABD是等腰三角形,C=C,DAC=B=50,90CADCBA,线段AD是ABC的优美线.(2)由题意知CADCBA,且等腰ABD中,AB=AD或AB=BD.若AB=AD,则B=ADB=CAD,则ACB

50、C,不符合题意,AB=BD,又B=46,BAD=BDA=67,CAD=B=46,BAC=67+46=113.(3)由题意知CADCBA.当AD=BD时,CADCBA,=,设BD=AD=x,CD=y,=,ADABCDACACBC4x2y2xy91解得x=,y=,AD=.当AB=BD=4时,设AD=x,CD=y,由=,可得=,解得y=-2+2,x=4-4,AD=4-4.当AB=AD时,显然不可能.综上所述,AD=或4-4.4 332 334 33ADABCDACACBC4x2y24y2224 332929.(2017杭州拱墅二模,22)如图,G,H分别为 ABCD的边AB,AD的延长线上的点,GH分别交BC,CD于E,F,连接AC,交HG于点P.(1)求证:HDFEBG;(2)如果AC AP=4 3,若DF=4,FC=5,求