高三一轮数学复习学案《§83导数的应用之一》

1、一轮复习学案§ 8.3. 导数的应用 1姓名复习目标 ： 1 懂得可导函数的单调性与其导数的关系；2明白可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号；. 基础热身 ：1. f xax33x1 对于 x1,1 总有f x0 成立，就 a=；2. 设函数f x a x 33 x 2 a1 x1 , 其中a 为实数；（）已知函数32f x 在 x1 处取得极值，求a 的值；（）已知不等式f ' xx2xa1对任意 a0, 都成立，求实数x 的取值范畴；. 学问梳理 ：1 单调性与导数 如 f如 f x0 在 x0 在a, b 上恒成立，a, b 上恒成立，f x

2、在函数f x 在函数f x 在区间f x 在区间a, b 上是增函数a, b 上为减函数f xf x0 在a,b 上恒成立 ；0 在a,b 上恒成立 .2 极值与导数10. 设函数f x 在点x0 邻近有定义，假如左右，就f x0 是函数f x 的一个极大值 ;假如左右，就f x0 是函数f x 的一个微小值；假如左右不转变符号，那么f x 在这个根处留意:极值是一个局部概念, 不同与最值 ;函数的极值不是唯独的;极大值与微小值之间大小关系:；数的极值点肯定显现在区间的内部.20.求可导函数极值的步骤：；3 利用导数求函数的最值设函数fx在a, b上连续， 在 a,b 内可导， 就求f x 在

3、a,b 上的最大值与最小值的步骤：； 案例分析 ：例 1.已知函数f xx3ax23bxcb0 ，且g xf x2 是奇函数（）求 a ， c 的值；（）求函数f x 的单调区间例 2.已知函数f xx3ax2x1 ， ar （）争论函数f x 的单调区间；（）设函数f x在区间2 ，1内是减函数，求a的取值范畴33例 3.已知函数f xexax 22x2 ， ar且 a0 . 如曲线 yf x 在点p 1,f 1处的切线垂直于y 轴，求实数 a 的值； 当 a0 时，求函数f cosx 的最大值和最小值.例 4.已知函数f x 1 x 4x 39 x 2cx 有三个极值点；42（ i）证明：

4、27c5 ；（ ii）如存在实数c，使函数f x 在区间a,a2 上单调递减，求a 的取值范畴；参考答案 :. 基础热身 ：1. 【答案】 4【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用, 表达了分类争论的数学思想；要 使 fx0 恒成立，只要f xmin0 在 x1,1上恒成立；f x3ax233ax2110当 a0 时，f x3x1 ，所以f xmin20 ，不符合题意，舍去；20 当 a0 时 f x3ax233ax210 ，即f x 单调递减，f xminf 1a20a2 ，舍去；30 当 a0 时 fx0x1a如11a1时f x 在1,1和1 ,1上单调递增，在1 ,1上aaa

5、aa单调递减；f 1a40所以 f x minminf 1, f 1 0af 1 1210a4当11aa1 时f x 在 x1,1aa上单调递减，f xminf 1a20a2 ，不符合题意，舍去；综上可知a=4.2. 【解析】（ i ）f xax23xa1f x 在 x1 取得极值f 10 即 a3a10a1（）ax 23xa1x2xa1即 x22ax22x0令 g xx22ax22 x即对任意 a0, 都成立就g 00 即 x22 0x22x02x0例 1.【解析】（）由于函数g xf x2 为奇函数，所以，对任意的xr ， g xg x ，即 f x2f x2 又 f xx3ax23bxc

6、 所以x3ax23bxc2x3ax23bxc2 aa，所以解得 a0， c2 c2c2（）由（）得f xx33bx2 所以f x3x23bb0 当 b0 时，由f x0 得 xb x 变化时，f x 的变化情形如下表：x，b bb， bb（b，）fx00所以， 当 b0 时，函数f x 在 ，b 上单调递增，在b， b上单调递减，在 b， 上单调递增当 b0 时，f x0 ，所以函数f x 在 ， 上单调递增例 2.【试题解析】解：f 'x=3x 2 +2ax+1令f 'x=3x 2 +2ax+1>0，再令4a212>0时， a2 >3,a<3,或a&g

7、t;3当a3，,3 时， fx ）0恒成立，在r上单调递增当a, 33,+时，2a4a212a a23a+a23x<=或x>6a3a3aa a23a+a23fx 单调递增区间为，3a3a a a23a+a23单调增减区间为，3a3a只需 3x2 +2ax+10在区间 2 , 1）恒成立刻可；33令gx=3x 2 +2ax+1,只需：g 2 342a2 +107393 a4a2g 1 =31 2a1 +10a2393a的取值范畴为 2,+例 3.解：f ' xex 'ax22 x2ex ax22 x2 '=ex=ax22x2ex2ax2a exx2 x2.a-

8、3分 曲线yf x 在点p 1,f 1 处的切线垂直于y 轴，由导数的几何意义得f ' 10 ， a2 .-6分 设 | cos x |t 0t1) ，只需求函数yf t 0t1 的最大值和最小值.-7分令 f ' x0 ，解得 x22 或 x2 .a a0 ，2 .a当 x 变化时，f ' x 与f x 的变化情形如下表：x,222,2 2aa 2 , +af ' x00f x极大值微小值函数 f x在 ,2 和 2 , +a上单调递增；在2,2 上单调递减； a当 21 ，即0aa2 时，函数-9分f t 在 0,1上为减函数 .yminf 1a4e,yma

9、xf 02 .2当 01，即a a22 时，函数2f x 的微小值为 0,1上的最小值，yminf 2ea .a函数 f t 在 0, 1 上的最大值为f 0 与f 1 中的较大者 . f 02 ，f 1a4e .当 a24时，ef 1f 0，此时ymaxf 1a4e ；当 a42 时， f e1f 0，此时ymaxf 0f 12 ；当 2a42 时，ef 1f 0，此时ymaxf 02 .-12分综上，当 0a2 时，f | cos x | 的最小值为a4e ，最大值为2 ；当 2a24时，ef | cos x | 的最小值为22e a ，最大值为2 ；当 a42时， ef | cos x

10、| 的最小值为22ea ，最大值为a4 e .-13分例 4.【试题解析】（ i ）由于函数f x1 x4x39 x2cx 有三个极值点 ,3242所 以 f xx3x9xc0 有三个互异的实根.设 gxx33x29xc, 就g x3x26x93x3x1,当 x3 时，g x0,g x 在 ,3 上为增函数 ;当3x1 时，g x0,g x 在 3,1 上为减函数 ;当 x1 时，g x0,g x 在 1, 上为增函数 ;所以函数g x 在 x3 时取极大值 , 在 x1时取微小值 .当 g 30 或g10 时,g x0 最多只有两个不同实根.由于 g x0 有三个不同实根,所以g30 且g 10 .即272727c0 , 且139c0 ,解得 c27, 且 c5, 故27c5 .（ii ）由（ i ）的证明可知，当27c5 时,f x 有三个极值点 .不妨设为x1，x2，x3 （ x1x2x3 ），就f xxx1 xx2 xx3 .所以 f x 的单调递减区间是，x1 , x2 , x3 如 f x 在区间a,a2 上单调递减，就 a, a2， x1 ,或a,a2 x2 , x3 ,如 a, a2， x1 , 就 a2x1 . 由（ i ）知，x13 , 于是 a5.如 a, a2 x2 , x3 , 就 ax2 且 a2x3 . 由（ i ）知，3x21.2