数学分析傅里叶级数及系数

1、第第12章章 多变量函数多变量函数极限与连续极限与连续12.1 n维维 euclid 空间空间12(,):,1,2, nnirxxxxr in引进记号：引进记号：nr定定 定义中定义中义1义1加法和数乘加法和数乘1122121212(,),(,),(,)(,), ,.nnnnnnabab ababaaaaa aabb bbr a br 这里a，这里a， , , ,1231,.na b crrabbaabcabcababaaaaa 则有则有）交换律：；）交换律：；）结合律：；）结合律：；）分配率：）分配率：性质性质2nnrr在在中中定定义义了了向向量量的的加加法法和和数数乘乘运运算算定定义义，

2、称称为为n n维维向向量量空空间间. . 12121 1221,(,),( ,).,nnnnnniiia br aa aabb bba ba ba ba ba ba b ，定定义义内内积积运运算算：通通常常记记为为定定义义3 3 121212,1,0,=0=0,4,2,na b crra aa aaa bb aabca ba ca bca ba c ，）正正定定性性：2 2）对对称称性性：3 3）线线性性性性性性质质（内内积积的的运运算算性性质质：）：）分分配配率率nr在n维向量空间定义内积运算，在n维向量空间定义内积运算，称为欧几里得（euclid称为欧几里得（euclid定义3： 定义3：

3、 ）空间.）空间.1222212,( , , , ),( , )4nnna r aa aaaaaaaa 定定 义义 向向 量量 的的 长长 度度 （ 或或 者者 范范 数数 ）定定 义义：,3()1023na brraaaabab 则则）；性性质质范范）；）（三三角角数数性性质质 ：不不等等式式）12121 12 222222212122222( ,),( ,),2,2nnn nnnaa aabb bba ba ba ba baaabbba ba b a ba aa bb baa bbab 证证明明3 3） 设设则则根根据据柯柯西西不不等等式式因因此此由由内内积积运运算算性性质质，因因此此结结

4、论论得得证证。12121 1222222221212,(,),(,)cos( , )nnnnnnna braa aabb bba ba ba ba ba baaabbbab 任任意意不不为为零零向向量量，定定义义两两个个向向量量的的夹夹定定义义5 5( (向向量量内内积积为为运运算算) )：角角。12.2 中点集合的基本概念nr ;,;,;0,.nnonb a rxxar x arb a rxxar x arba rxxar x ar ；引引记记号号：；入入几几个个 ,0,;nerreb o re 设设集集合合如如果果存存在在使使得得，则则定定义义1 1（集集合合有有界界）称称集集合合 有有界

5、界. . ,0,;=nooererb o reeeee 设设集集合合如如果果存存在在使使得得，则则称称 为为集集合合 的的内内点点. .e e的的所所有有内内点点的的集集合合记记为为定定义义2 2，如如果果，则则（开开集集合合）称称 为为开开集集合合. .,noere 定定理理1 1 对对任任 意意集集合合为为开开集集. .11),;2),1,2,2(,)niniiireieeine 为为开开集集定定理理开开集集运运算算性性合合设设为为开开集集合合族族, ,则则为为开开集集; ;3 3) )设设为为开开集集, ,则则质质为为开开集集. . 111:,;iiixeeexeb x reex 证证明

6、明则则因因此此存存在在r r 0 0, ,使使得得 ，因因此此 为为内内点点，结结论论得得证证。 131;ibooi 注注：结结论论 ）只只能能有有限限个个开开集集的的交交为为开开集集合合, ,例例如如： ,ncnereree定义定义定义3（定义3（ 为集合为集合集合的补集）集合的补集）的集.的集. 2222,.cex yxyaex yxya例例集合集合补集为补集为(de morgan);2 1)cccciiiiieeee设 为指标设 为指标定理3定理定理3定理集合,则 集合,则 ,nceree 定义 为开集,则称定义 为开集,则称定义4（闭集）定义4（闭集）为闭集.为闭集.1),(),2)i

7、iiieieee n ni=1i=1设 为指标集合,则 设 为指标集合,则 如果集合族为闭集,则为闭集;如果集合族为闭集,则为闭集;如果为闭如果为闭定理4 闭集合的运算性质定理4 闭集合的运算性质集合，则为闭集.集合，则为闭集. ,0,(;)nnoerarrba reae设如果对任意设如果对任意中总有 中得点，则称 为集合中总有 中得点，则称 为集合定义5 聚点定义5 聚点的聚点.的聚点.,(,).nereeeeeee 设集合 所有聚点的集合设集合 所有聚点的集合称为 的导集,记为集合为集合 的闭包称为 的导集,记为集合为集合 的闭包定定, ,义6 导集闭义6 导集闭记为记为和包和包 2222

8、,ex yxyaeex yxya例设则例设则 2222,0,0,.ex yxya xx yxya x 例例不是开集合 也不是闭集合不是开集合 也不是闭集合neree为闭集的充分必要条件为为闭集的充分必要条件为定理5 定理5 . . nocereeee 设设为集合 的外点，外点的全体称为集合 的外部；为集合 的外点，外点的全体称为集合 的外部；既不是内点也不既不是内点也不定义7 （集合的外点和定义7 （集合的外点和是外点的集合称为的是外点的集合称为的边界） 边界） 边界.边界. onocreee成立:成立:定义定义6 (6 (区域区域) ) 集合e中任意两点之间可以有一条完全含于e的不间断曲线连接,则e是连通的. 进一步连通的开集称为(开)区域. 区域的闭包称为闭区域. 区域包括开区域、闭区域以及开区域和一