二重积分的计算14724

1、1二重积分二重积分（承上启下）二重积分（承上启下）一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学三重积分三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分不定积分不定积分定积分定积分2【要点【要点】性质：被积函数有界性；可积性；性质：被积函数有界性；可积性； 对区域的对区域的可加性可加性；估值与中值定理等。；估值与中值定理等。快捷算法：快捷算法：对称性对称性，轮称性轮称性，质心法质心法，几何几何 意义法意义法，分项法，分块法，分项法，分块法方法与技巧：方法与技巧：(1) 坐标系的选择；坐标系的选择；(2) 积分次序的确定；积分次序的确定；(3) 区域和函数的区域和函数的对称性对称性的利用；的利

2、用；(4) 对区域可加性的利用；对区域可加性的利用；(5) 几何、物理意义的利用几何、物理意义的利用.3区域的对称性简化计算(1)0,),(),(1xdyxyxdddyxfyxfdyxfyxfyxfdyxf1),(),(),(2),(),(0),(时当时当1. 左右对称左右对称： 区域区域 d 关于关于y轴轴对称，对称，f (x,y)关于关于x 奇或偶奇或偶则则 “你你对称，我对称，我奇偶奇偶”例：例：0)cos(1222 dxexxyxy4 2. 上下对称上下对称： 区域区域 d 关于关于x轴轴对称，对称，f (x,y)关于关于y奇或偶奇或偶0,),(),(1ydyxyxdddyxfyxfd

3、yxfyxfyxfdyxf1),(),(),(2),(),(0),(时当时当则 例：例：0sin)cos(12 ydxyyx5dddxyfdyxf),(),(3. 轮换对称轮换对称：区域：区域d关于直线关于直线yx对称，则对称，则代数特征：代数特征：d的边界方程不因的边界方程不因x，y的互换而改变的互换而改变常用方式：常用方式： dyfxfdyfdxfddd )()(21)()(rdrrddyxdxyxyx 201021221221)(2222例：例：6（1）直角坐标）直角坐标积分次序的选取积分次序的选取 被积函数与哪一个变量的关系简单，应先考虑被积函数与哪一个变量的关系简单，应先考虑对哪一变

4、量积分。特别地，若被积函数是某一变量对哪一变量积分。特别地，若被积函数是某一变量的函数，则先对另一变量积分。的函数，则先对另一变量积分。题型归类：题型归类：1. 常规方法常规方法计算二重积分计算二重积分（2）若被积函数若被积函数 f 含含 ，或区域，或区域d的边界与的边界与“圆、环、扇圆、环、扇”形等相关，应考虑用形等相关，应考虑用极坐标极坐标。22yx 7常规方法计算二重积分常规方法计算二重积分“怪怪”区域区域)30(.0, 01, 0,2abydyxbyaxdbad 围成，求围成，求与与由曲线由曲线设设例例1.【点拨【点拨】画示意图形画示意图形，定次序（先，定次序（先y后后x），定），定积

5、分限。积分限。82. 利用利用轮换对称性轮换对称性简化计算（简化计算（2）例例2. 222)11(4( .)(2242222ryxbardbyaxi 轮换对称轮换对称：区域：区域d关于直线关于直线 yx 对称，则对称，则特征：特征：x，y互换而互换而d不变不变 ddddxdyxyfyxfdxdyxyfdxdyyxf.),(),(21),(),(90, 0, 4),(22 yxyxyxd dyfxfyfbxfad)()()()( ab 2ab )(ba 2ba f(x)为为d上的正值连续函数，上的正值连续函数，a, b为常数，则为常数，则(a) (b) (c) (d) d 例例3 (05.2)设

6、区域设区域【点拨】【点拨】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对对称性称性分析分析. 特别：特别：轮换对称性轮换对称性（x,y互换，互换，d保持不保持不变）变）10例例4 计算计算 ddyxyfx )(1 221, 1,:3 xyxydd2d1解解 dddyxxyfxdi )(22 ddddyxxyf0)(2122 ddxdxd1 52 i 0133xxdyxdx52 3. 利用（轴）利用（轴）对称性对称性简化计算（简化计算（3）11例例5.d1, 1 xyxy dyxdxey)32(.1222 （01.301.3）设）设由直线由直线及及围成，求围成，求【点拨

7、】被积函数【点拨】被积函数分项分项，区域，区域d分块分块，对称性对称性例例6.22,1,0 x y xyx2211dxyidxdyxy （06.1）设区域设区域 d =计算二重积分计算二重积分)2ln2( 12例例7.4. 分段被积函数分段被积函数的二重积分的二重积分【点拨】将区域【点拨】将区域d分块，以确定被积函数，用可加性分块，以确定被积函数，用可加性. . dyxid 12210 , 10),( yxyxd（05.2）13例例8. （05.1）设）设0, 0,2| ),(22 yxyxyxd的最大整数，的最大整数，表示不超过表示不超过222211yxyx .122dxdyyxxyid 计

8、算二重积分计算二重积分)(83 例例9.【点拨】将区域【点拨】将区域d分块，以确定被积函数，用可加性分块，以确定被积函数，用可加性. . dyxdxdyei,max2210 , 10| ),( yxyxd(02.1)1( e14（07_2.3.4）例例10.222,1,1( , ),12,xxyf x yxyxy( , )df x y d( , )2.dx yxy设二元函数设二元函数 计算二重积分计算二重积分其中其中155. 交换积分次序：交换积分次序： 还原、定域、换序（系）、重定限还原、定域、换序（系）、重定限例例11. （换次序计算）求（换次序计算）求 10.sinxxdyyydxi例例

9、12. .（换次序计算）求（换次序计算）求 )2.(sin00 dyyydxx 212022022102.xxxdyyxdxdyyxdxi)9210( 例例13（换极坐标计算）求（换极坐标计算）求 【点拨】先将逐次积分【点拨】先将逐次积分“还原还原”为重积分，确定积分为重积分，确定积分区域，再重定限，换序区域，再重定限，换序 16 1040)sin,cos(rdrrrfd dyyxfdxxx 21220),(dyyxfdxx 210220),(dxyxfdyyy 21220),(dxyxfdyy 210220),(例例1414（极坐标换次序）（极坐标换次序）（06010601） 累次积分累次积

10、分可以写成可以写成（b b）（c c）（d d）【c c】（a a）176. 积分方程积分方程,0,| ),(22dcfxyyxyxd 已知已知 例例15. ,),(81),(22 ddudvvufyxyxf 且且).,(yxf求求)322(341),(22 yxyxf答：答：187. 抽象函数的定积分（求值、等式、不等式）抽象函数的定积分（求值、等式、不等式）dydxxftftty 1)()()2(f 例例16. （04.1）设f(x)为连续函数，为连续函数，则等于等于 ( b )(a) 2f(2) (b) f(2) (c) -f(2) (d) 0【点拨】交换次序，化为变上限积分，再求导【点拨】交换次序，化为变上限积分，再求导 例例17. 证明：证明：上连续，且上连续，且在在设设, 0)(,)( xfbax