大学数学：ch6-1 多元数量值函数积分的概念与性质1

1、2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第6 6章章 多元函数积分学及其应用多元函数积分学及其应用（Integrals of Functions of Several Variables and Their Applications)第第1 1节节 多元数量值函数积分的概念与性质多元数量值函数积分的概念与性质第第2 2节节 二重积分的计算二重积分的计算第第3 3节节 三重积分的计算三重积分的计算第第4 4节节 重积分的应用重积分的应用第第5 5节节 含参变量的积分与反常重积分含参变量的积分与反常重积分第第6 6节节 第一型线积分与面积分第一型线积分与面积分第第7 7节节 第二型

2、线积分与面积分第二型线积分与面积分第第8 8节节 各种积分的联系及其在场论中的应用各种积分的联系及其在场论中的应用2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系21.1.问题的提出问题的提出2.2.多元多元( (数量值数量值) )函数的积分概念函数的积分概念3.3.积分存在的条件和性质积分存在的条件和性质4.4.二重积分的几何意义二重积分的几何意义 第第1 1节节 多元数量值函数积分的概念与性质多元数量值函数积分的概念与性质（The Concept and Properties of Integrals of Functions of Several Variables) 2013年4月

3、26日南京航空航天大学 理学院 数学系3实例实例 物质物质非均匀分布的非均匀分布的物体质量物体质量的计算的计算1 1 问题的提出问题的提出设一物质非均匀设一物质非均匀分布的物体，其各点分布的物体，其各点M的密度为的密度为m m (M),试求物体的质量试求物体的质量m.m 12max,ndxxx( )bax dxm m xba(1)求物质非均匀分布的求物质非均匀分布的细棒细棒质量质量m采用采用 “分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法的方法()( )Mxmmmm xnbx 0ax 1ix ix2x()iixm m 1ni 0limdi 2013年4月26日南京航空航天大

4、学 理学院 数学系4(2)求物质非均匀分布的求物质非均匀分布的平面薄版平面薄版质量质量mi (,)iiiM 解解xyo,()max max( ,).iiP Qdd P Q )(1,2)inin 将将( () )任任意意分分成成 个个小小块块( (表示表示 n 小区域的小区域的直径的直径的最大值最大值 1()niiiMmm ()iiimMmm0limdm 薄板总质量薄板总质量2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系5(3)求非均匀求非均匀物体的质量物体的质量质量质量m),()( , , )(),.VMx y zVmmmmmmm设有一物体占有空间区域(体密度为设有一物体占有空间区域(体

5、密度为在(上连续 求在(上连续 求xyzo( )Viv (,)iiiiM 取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀物体，则看作均匀物体，则 ()(,)iiiiiiimMvvm mm m 01lim()niidimMvm m 物体的质量物体的质量,()max max( ,).iiP Qvdd P Q 采用采用“分割分割, ,近似代替近似代替, ,求和求和, , 求极限求极限” 解解将物体分割成若干小块，将物体分割成若干小块，2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系6(4)求非均匀求非均匀物质曲线物质曲线的质量的质量m0AnA假设物质曲线（假设物质曲线（c）在所占）在所占弧段为

6、弧段为A0 0An n , , 其线密度为其线密度为()( , ),Mx ymmmmmm“分割分割, ,近似代替近似代替, , 求和求和, , 求极限求极限” ()iiMsm m 可得可得1ni 0limd为计算此物质曲线的质量为计算此物质曲线的质量, ,is 1iA iAiM采用采用m 12max,ndsss()(), ,x y zMmmmmmm或或2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系7(5)求非均匀求非均匀物质曲面物质曲面的质量的质量m设分片光滑的曲面设分片光滑的曲面(S)具有连续面密度具有连续面密度()( , , ),Mx y zm mm m 求求(S)的质量的质量 m.

7、oxyziM)(1,2)inSin 将将( (S S) )任任意意分分成成 个个小小块块( (解解表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 ( )S,()max max( ,).iiP QSdd P Q 采用采用“分割分割, ,近似代替近似代替, , 求和求和, , 求限求限” 01lim()niidimMSm m ()iiimMSm m2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系8可度量可度量的有界的有界的的“几几何形体何形体”直线段直线段a,b、平面、平面区域区域()、空间区、空间区域域(V)、曲线、曲线(c)或或曲面曲面(S)12(): (), (), , ()

8、, ()nkkM 01lim()nkkdkmMm m 统一表示统一表示：物质：物质非均匀分布的非均匀分布的几何形体几何形体（ ）质量质量m统统一一表表示示可度量：可求长或可求面积或可求体积可度量：可求长或可求面积或可求体积密度函数密度函数 mmmm (M) 2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系9():()f M d函数函数 f 在在（ ）上有定义）上有定义定义定义1.1（多元数量值函数的积分）（多元数量值函数的积分）可度量可度量的有界的有界的的“几几何形体何形体”直线段直线段a,b、平面、平面区域区域()、空间区、空间区域域(V)、曲线、曲线(c)或或曲面曲面(S)12():

9、(), (), , (), ()nkkM 2.2.多元数量值函数的积分概念多元数量值函数的积分概念称称f 在在（ ）上）上可积可积.01lim()nkkdkf M 该极限值称为该极限值称为f 在在()()上的上的的的积分积分，See P.141See P.141无论（无论（ ）怎样）怎样划分，点划分，点Mk 在在（k ）中）中怎样怎样取取2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系1001()()lim()nkkdkf M df M See P.142See P.142定积分定积分(Definite Integrals)、二重积分二重积分(Double Integrals)、三重积分三

10、重积分(Triple Integrals) 、第一型曲线积分第一型曲线积分(Line Integrals with Respect to Arc Length)、第一型曲面积分第一型曲面积分(Surface Integrals with Respect to Area)平面区域平面区域()()空间区域空间区域(V)平面曲线平面曲线(c)空间曲面空间曲面(S)二重积分二重积分三重积分三重积分第一型（对弧长）曲线积分第一型（对弧长）曲线积分第一型（对面积）曲面积分第一型（对面积）曲面积分a,b( )baf x dx 01lim()niidifx 01lim(,)niiidif 01lim(,)ni

11、iiidifV 空间曲线空间曲线(G G)( )( , )cf x y ds ( )( , , ) zfydxsG G ()( , , )Sf x y z dS 01lim(,)niiiidifS 01lim(,)niiiidif x y zs 01lim(,)niiidif x ys ()( , )Vf x y z dV ()( , )f x y d 定积分定积分2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系12(1)求物质非均匀分布的求物质非均匀分布的细棒细棒质量质量( )bamx dxm m (2)求物质非均匀分布的求物质非均匀分布的平面薄版平面薄版质量质量()( , )mx y

12、d mm (3)求非均匀求非均匀物体的质量物体的质量质量质量()( , )Vmx y z dVm m (4)求非均匀求非均匀物质曲线物质曲线的质量的质量平面曲线平面曲线(c)( )( , )cymsxdm m 空间曲线空间曲线(G G)( )( , , )x y zmdsm mG G (5)求非均匀求非均匀物质曲面物质曲面的质量的质量()( , , )Smx y z dSm m 2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系13（与定积分相类似）（与定积分相类似）3.3.积分存在的条件和性质积分存在的条件和性质若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf( , )()f

13、x y 则则在在上上可可(证明略证明略)定理定理1.在在( )上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积积(称为分片光滑称为分片光滑).在有界闭区域在有界闭区域 ()()上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 ( ) 上除去有上除去有 例如例如, 22( , )xyf x yxy 在在()() :01x01y上二重积分存在上二重积分存在 ;1( , )f x yxy 但但在在D 上上 y1xo1( ) 二重积分不存在二重积分不存在 . 2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系14()()()()()1(1)( , )(

14、, )(2)( , )( , )( , )( , )kf x y dkf x y df x yg x y df x y dg x y d 线线性性性性质质1212()()()2()(),()()( , )( , )( , )f x y df x y df x y d 分分为为由由有有限限条条曲曲线线分分成成有有对对区区域域限限的的可可加加性性个个部部分分以下涉及的被积函数是可积的，积分范围是紧的，以下涉及的被积函数是可积的，积分范围是紧的，可度量的可度量的2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系15()3(1)( )( , )0,( , )0f x yf x y d 比比较较性性在

15、在上上则则质质若若()()(3)( , )( , )f x y df x y d ()()(2)( , )( , ),( , )( , )Df x yg x yf x y dg x y d 若在 上若在 上则则( , )( , )( , )f x yf x yf x y4若若 为为()()的面积，的面积，()()1.dd2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系16()5( , )( , )( , )mf x yMx yDmf x y dM 性质性质设设估值估值()1( ,)()( , )( , )mf x y dMf m m 在在上上至至少少存存在在一一点点证证明明()6( , )

16、(),()( , )()( , )( , )f x yf x y df 设设在在有有界界闭闭上上连连续续为为的的面面积积, ,至至少少 一一点点中中值值定定理理( )为的面积为的面积2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系17,12220ayxeee 222()(),xyaede 解解22()()xyed ab.2aeab 2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系18解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121( ) 2013年4月26日南京航空航

17、天大学 理学院 数学系19被积函数被积函数相同相同, 且且非负非负, yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解 321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III11xyo例例3 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系204.二重积分的几何意义曲顶柱体的体积问题曲顶柱体的体积问题),(yxfz ( ) 底底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 （ ）( , )0zf x y 顶顶: 连续曲面连续曲面侧面侧面：以以 ()() 的边界为准线的边界为准线 , 母线母线平行于平行于

18、z 轴的柱面轴的柱面解解柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.曲顶柱体的特点：曲顶柱体的特点：曲顶曲顶.2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系21播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系22xzyoD),(yxfz i),(ii01lim(,).niiidiVf 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)(1,2)inin 将将( () )任任意意分分成成 个个子子域域( (,)iiiiVf x y 二重积分的几何意义二重积分的几何

19、意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值()( , )f x y d 2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系23例例4 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822222Rzx22xRz220( , ):0

20、yRxx yDxR 222Ryx222RzxD2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系24 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域（ ），），()()( , )( , )f x y df x y dxdy dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系251 .1 .多元数量值函数的积分的定义多元数量值函数的积分的定义小结小结（和式的极限）（和式的极限）2.可积函数类和积分性质01lim()nkkdkf M ():()f M d( (与定积分性质相似

21、与定积分性质相似) )3.二重积分的几何意义 曲顶柱体体积曲顶柱体体积2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系26思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系27思考题解答思考题解答二重积分与定积分的异同之处二重积分与定积分的异同之处相同：二者都表示和式的极限，且该值只与相同：二者都表示和式的极限，且该值只与 被积函数和被积函数和 积分区域有关积分区域有关.不同：定积分的积分区域为不同：定积分的积分区域为区间区间，被积函数为，被积函

22、数为 定义在区间上的定义在区间上的一元函数一元函数. 二重积分的积分区域为二重积分的积分区域为平面区域平面区域，被积，被积 函数为定义在平面区域上的函数为定义在平面区域上的二元函数二元函数.2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系28练练 习习 题题2013年4月26日南京航空航天大学 理学院 数学系294 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二、二、 利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数) )三、三、 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(与与, ,其中其中D是由圆是由圆 2)1()2(22 y