大学物理：16-6 量子力学简介

1、166 量子力学简介量子力学简介16.6.1 不确定关系不确定关系 经典力学中，物体位置、动量可以同时经典力学中，物体位置、动量可以同时确定。但微观粒子，具有显著的波动性，不确定。但微观粒子，具有显著的波动性，不能同时确定坐标和动量。能同时确定坐标和动量。 1电子单缝衍射电子单缝衍射oxyxPxa 一束被加速的电子经过宽度为一束被加速的电子经过宽度为 的单缝射向屏幕的单缝射向屏幕 a入射电子在入射电子在x方向无动量，其坐标的不确定范围为：方向无动量，其坐标的不确定范围为： ax 电子通过单缝后，坐标不能确定，动量具有电子通过单缝后，坐标不能确定，动量具有 x方向分方向分量量 ，使大部分电子落在

2、两个一级暗纹之间，动量，使大部分电子落在两个一级暗纹之间，动量在在x方向不确定范围为方向不确定范围为 。 由暗纹公式（波动光学中单缝衍射公式）由暗纹公式（波动光学中单缝衍射公式） xpxpkasin1ksinaxasin 动量不确定度为动量不确定度为 ppxsinppxxhhppxxhpxxsinppx即即所以有：所以有：2海森伯不确定关系海森伯不确定关系 1927年海森伯提出：对于微观粒子不能同年海森伯提出：对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述。时用确定的位置和确定的动量来描述。 不确定关系是物质的波粒二象性引起的。不确定关系是物质的波粒二象性引起的。由于微观粒子的波动性，位置

3、与动量不能由于微观粒子的波动性，位置与动量不能同时有精确值。同时有精确值。 如果考虑衍射图样的次级条纹，则有如果考虑衍射图样的次级条纹，则有hpxx 同理有同理有hpyyhpzzhtE 不确定关系表明：不确定关系表明：对于微观粒子不能同时用对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述；能量和时确定的位置和确定的动量来描述；能量和时间也不能同时确定。间也不能同时确定。 例例 若电子与质量若电子与质量m=0.01Kg的子弹，都以的子弹，都以200m/s的速度的速度沿沿x方向运动，速率测量相对误差在方向运动，速率测量相对误差在0.01%内。求：在测内。求：在测量二者速率的同时，测量位置所能达到

4、的最小不确定范围。量二者速率的同时，测量位置所能达到的最小不确定范围。 解（解（1）求电子位置的不确定范围）求电子位置的不确定范围 电子动量不确定度为电子动量不确定度为0001. 02001011. 90001. 00001. 031vmPPex321082. 1 kgms-1 m hpxx21064. 3xPhx0001. 020001. 00001. 00001. 0mvPPx41000. 2301031. 3xPhx由由得电子位置的不确得电子位置的不确定范围为定范围为m（2）子弹位置的不确定度）子弹位置的不确定度子弹动量不确定范围为子弹动量不确定范围为子弹位置的不确定度：子弹位置的不确定

5、度： kgms-1 所以经典物理对宏观物体仍然有效所以经典物理对宏观物体仍然有效 1010310 x显然：原子直径显然：原子直径 m，电子，电子 m，是原，是原子大小的几亿倍，无法忽略。子大小的几亿倍，无法忽略。2103010 x子弹的大小在子弹的大小在 m， m，与子弹，与子弹点的大小比较可以忽略，点的大小比较可以忽略，15.6.2 波函数波函数 概率密度概率密度 1波函数波函数 对微观粒子，由于不确定关系施加的限制不可以忽略，对微观粒子，由于不确定关系施加的限制不可以忽略，它的速度和坐标不能同时确定，因此它的速度和坐标不能同时确定，因此微观粒子的运动状微观粒子的运动状态态,不能用坐标、速度

6、、加速度等物理量来描述。不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。 由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述微观粒由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。样两个在经典物理中截然不同的物理图像。波函数就是波函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新的概念。作为量子力学基本假设之一引入的一个新的概念。),(tzyx),(tzyx)(2cosxtAy)(2xtiAey量子力学认为，微观粒子的运动状态可用一个复函数量子力学认为，微观粒子的运动状态可用一个复函数

7、来描述来描述，函数函数称为波函数称为波函数自由粒子的情况下，即平面简谐波的波动方程为自由粒子的情况下，即平面简谐波的波动方程为其指数形式为其指数形式为是波的频率是波的频率是波长，且波沿是波长，且波沿x正方向传播。正方向传播。hEPh),(),(txtxy0A)(0),(PxEtietx2h)(0),(rPEtietr设想具有动量一定的自由粒子，设想具有动量一定的自由粒子，沿轴正向传播，有波动性沿轴正向传播，有波动性, 则则若作代换：若作代换：三维运动时，自由粒子的波函数为三维运动时，自由粒子的波函数为 物质波物质波(德布罗意波德布罗意波)又称为概率波，又称为概率波，概率密度概率密度（几率密度）

8、即为某点处单位体积元内粒子出现（几率密度）即为某点处单位体积元内粒子出现的概率；的概率； 2),(tx),(trwdVdW2dxdydzdV 2dVdWw2波函数的物理意义波函数的物理意义波函数的统计解释：波函数模的平方波函数的统计解释：波函数模的平方与粒子在与粒子在t时刻时刻r处出现的概率密度处出现的概率密度成正比。成正比。在全空间找到某粒子的几率为一，在全空间找到某粒子的几率为一，也就是波函数就有归一化条件也就是波函数就有归一化条件1W12dVV3.波函数的性质（标准条件）波函数的性质（标准条件）由概率函数的物理性质推知，由概率函数的物理性质推知，波函数应满足的标准化条件是波函数应满足的标

9、准化条件是波函数的单值性：某时某处概率唯一；波函数的单值性：某时某处概率唯一；波函数的有限性：波函数的有限性：波函数的连续性：波函数的连续性：W的分布是连续的。的分布是连续的。15.6.3 薛定谔方程薛定谔方程)(0PxEtie)(0rPEtie1. 自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程前面我们知道自由粒子在前面我们知道自由粒子在x方向运动的波函数为方向运动的波函数为 若自由粒子在三维空间运动，其波函数为若自由粒子在三维空间运动，其波函数为zyx,222Ptim222对对求二阶偏导，得求二阶偏导，得对对 t 求一级偏导，得求一级偏导，得这样我们就推得自由粒子含时间的薛定谔方程这样我们就推得

10、自由粒子含时间的薛定谔方程。222mEUmE222tiUm222还得到还得到；2非自由粒子的薛定谔方程非自由粒子的薛定谔方程类比得到：总能量由动能和势能之和类比得到：总能量由动能和势能之和得到得到上式为一般形式的含时薛定谔方程上式为一般形式的含时薛定谔方程)(),(),(tfzyxtzyxiEtezyxtzyx),(),(EUm2223定态薛定谔方程定态薛定谔方程设：设：定态波函数可表示为定态波函数可表示为定态势场中运动粒子的薛定谔方程（不含时间定态势场中运动粒子的薛定谔方程（不含时间t）同样可得UtiE UtitiUm222EUm222一般而言一般而言:上面上面的中的的中的可以被称为能量的算

11、符，可以被称为能量的算符，称式称式是能量算符的本征方程。是能量算符的本征方程。是定态的能量算符的本征方程。是定态的能量算符的本征方程。在解本征方程的过程中由于波在解本征方程的过程中由于波函数函数的标准条件的限制，的标准条件的限制，我们会得到本征方程的解，我们会得到本征方程的解，也就是本征函数和本征值。也就是本征函数和本征值。 15.6.4一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子a0UU=0（0 xa）U = U0（其他）（其他）势阱势阱无限深无限深势能势能量子力学预言：阱里的粒子的量子力学预言：阱里的粒子的能量能量只可能是一系列只可能是一系列分立分立的的本征值本征值,对应对应的波函数只能是

12、能量的波函数只能是能量本征态波函数本征态波函数。（1）U 与与t 无关，写定态定谔方程无关，写定态定谔方程02222 mEdxd)0(ax （2）解方程）解方程 令令222kmE 0222 kdxd)cos()( kxAx 1= 0 3= 0U0 x（3）确定常数）确定常数A、 势阱无限深势阱无限深阱外无粒子阱外无粒子 = 0 （ x 0 x a ）由波函数由波函数连续性，连续性，边界条件边界条件 （0）= 0 （a）= 0 )cos()( kxAxAcos =0 = 2kxAkxAxsin)2cos()( A sinka = 0ank n = 1.2.322222manEn 222kmE k

13、a = n 22222manEn kxAxsin)( xanAxn sin)( 1)(20 dxxa aA2 （ 0 x a ）基态能量基态能量22212maE tEinnne tinexana 2)sin(2 驻波驻波讨论讨论a2 考考 虑虑 时间因子时间因子122 aAa0Xn = 1xaa sin21 a0X22212maE 2nnw 1w2w124EE xaa 2sin22 n = 2n = 3xaa 3sin23 3w139EE n ,22222manE 由由还可以得到势阱中粒子的还可以得到势阱中粒子的动量和波长动量和波长ahnanmEPnn 22 naPhnn2 说明势阱中粒子的每

14、一个说明势阱中粒子的每一个能量本征态能量本征态正好对应于正好对应于德布罗意波的一个特定波长的德布罗意波的一个特定波长的驻波。驻波。n =1,2,3,4,5, 6,1.1.能量只能取分立值能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。是解薛定谔方程自然而然得到的结论。3.3.最低能量不为零（称零点能）最低能量不为零（称零点能） 符合不确定关系。符合不确定关系。0ma2E2221 2.2.当当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续，很大（宏观粒子）时，能量连续， 量子量子 经典。经典。 4.4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。与经典粒子不

15、同。讨论讨论按经典理论按经典理论粒子的粒子的“能量连续能量连续”；但量子力学但量子力学束缚态能量只能取分立值（能级）束缚态能量只能取分立值（能级） 15.6.5势垒贯穿势垒贯穿.隧道效应隧道效应axxxV,0,0)(axVxV0,)(0在经典力学中在经典力学中,若若 ,粒子的动能粒子的动能为正为正,它只能在它只能在 I 区中运动。区中运动。0VE 0VVOaIIIxIII定态薛定谔方程定态薛定谔方程的解又如何呢？的解又如何呢？0),()(212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(2323220, 0)()(12212xxkdx

16、xdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(322322021)(2EVmk222mEk 令：三个区间的薛定谔方程化为：三个区间的薛定谔方程化为：0VVaoxIIIIII0,Re)(1xAexikxikx若考虑粒子是从若考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波反射波；粒子从反射波；粒子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，区，在在III区只有透射波。粒子在处的几率要大区只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。于在处出现的几率。0 xax其解为：其解为：axTexxk0,)(12axCexikx,)(3根据边

17、界条件根据边界条件：)0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：定义粒子穿过势垒的贯穿系数：2123| ) 0(| )(|aP) 02exp()2exp(| ) 0(| )(|112222kTakTaP) )(22exp()2exp(01EVmaak0VVaoxIIIIII隧道效应当当 时，势垒的宽度约时，势垒的宽度约50nm 以上时，以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经

18、典了。实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。eVEV5015.6.6氢原子问题氢原子问题),(),(),()(822222222zyxEzyxUzyxzyxmhrerU024)(1氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程氢原子定态的薛定谔方程是氢原子定态的薛定谔方程是氢原子中电子绕核运动时的势函数为氢原子中电子绕核运动时的势函数为2氢原子的波函数氢原子的波函数 ),(zyx0)4(8sin1)(sinsin1)(102222222222reEhmrrrrrr的具体形式，可由解上述薛定谔方程得出。的具体形式，可由解上述薛定谔方程得出。量子力学中就是用它来描述电子的运动状态。量子力学中就是用它来

19、描述电子的运动状态。先将波函数由直角坐标变换为球坐标，先将波函数由直角坐标变换为球坐标，方程变为方程变为),()(YrR)()()(rR)1()4(8)(1)1()(sinsin1sin0022222222llreEhmrdrdRrdrdRllddddmmddll),(r经过一系列的换算和整理，经过一系列的换算和整理，可以将原来一个方程变成三个方程可以将原来一个方程变成三个方程 )(rlnlm!)!12()!1()!() 1()2()!(2)!1()2(2101230llnlnnelnnlnnazlnln20222)(cos)!2()!( !2)!22() 1()()!(2)!)(12()2(lllmmmllllldxdSinmlmllnllllime21(解此偏微分方程的过程可以参阅曾谨言编著的解此偏微分方程的过程可以参阅曾谨言编著的量子力学量子力学和梁昆淼编著的和梁昆淼编著的数学物理方法数学物理方法)通过解这三个方程，即可得到氢原子波函数的具体形式。通过解这三个方程，即可得到氢原子波函数的具体形式。其一般表达式为其一般表达式为 lmln ,n, 3 , 2 , 1nnl1,2 , 1 , 0nlllm