数学概念的理解与教学ppt课件

1、数学概念的了解与教学数学概念的了解与教学有效教学的关键有效教学的关键 了解数学，了解学生，了解教学。了解数学，了解学生，了解教学。 “三个了解的内涵：掌握丰富的数学学三个了解的内涵：掌握丰富的数学学科知识；初中数学课程构造体系、教学重科知识；初中数学课程构造体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评价于重点知识的教学解释的知识；关于评价学生的知识了解程度的知识；等。学生的知识了解程度的知识；等。 特别强调特别强调“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法的了解，决议了教学所能到达的程度和效的了解，决议了教学所能

2、到达的程度和效果。果。当前概念教学的问题当前概念教学的问题 不注重章节起始课的教学，没有把本章节不注重章节起始课的教学，没有把本章节要处理的主要问题、根本过程和主要思想要处理的主要问题、根本过程和主要思想方法等纳入教学义务中；方法等纳入教学义务中； 概念教学走过场，经常采用概念教学走过场，经常采用“一个定义，一个定义，三项留意的方式，在概念的背景引入上三项留意的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的时机，以为让学生多做几道标题质特征的时机，以为让学生多做几道标题更实惠更实惠 有些教师不知如何教概念有些教师不知如何教概念教概念的意

3、义教概念的意义 李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧缺乏道也！是玩技巧技巧缺乏道也！ 以解题教学替代概念教学的做法严重偏离以解题教学替代概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必需纠正否那么，学生了数学的正轨，必需纠正否那么，学生在数学上耗费大量时间、精神，结果能够在数学上耗费大量时间、精神，结果能够是对数学的内容、方法和意义知之甚少，是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人终将落空数学育人终将落空概念教学的中心概念教学的中心 概念教学的中心是概括：将凝结在数学概概念教学的中心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思想翻开，以典型丰富的念中的数学

4、家的思想翻开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开察看、分析各实例为载体，引导学生展开察看、分析各事例的属性、笼统概括共同本质属性，归事例的属性、笼统概括共同本质属性，归纳得出数学概念。纳得出数学概念。概念教学的根本环节概念教学的根本环节 典型丰富的详细例证典型丰富的详细例证属性的分析、比属性的分析、比较、综合；较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性；概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义准确的数学言语描画；下定义准确的数学言语描画； 概念的辨析概念的辨析以实例正例、反例为以实例正例、反例为载体分析关键词的含义；载体分析关键词的含义； 用概念作判别的详细事例用概念作判别的详细事例

5、构成用概念构成用概念作判别的详细步骤；作判别的详细步骤； 概念的概念的“精致精致建立与相关概念的联建立与相关概念的联络。络。例例1 1 代数的中心概念、思想方法代数的中心概念、思想方法 代数代数以符号以符号( (不定元不定元) )代表数；代表数； 代数学的根源在于代数运算；代数学的根源在于代数运算； 代数运算有一系列普遍成立的运算律：交代数运算有一系列普遍成立的运算律：交换律、结合律、分配律、指数法那么；换律、结合律、分配律、指数法那么； 方式、关系、函数：方式、关系、函数：“找规律，用代数找规律，用代数符号表征和了解数学构造、数量关系、变符号表征和了解数学构造、数量关系、变化规律。化规律。

6、代数学的根本思想：有系统、有效能地运代数学的根本思想：有系统、有效能地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去用数系的加、乘和指数运算的运算律，去处理各种各样的代数问题：处理各种各样的代数问题： 各种式整式、分式、根式等的运算各种式整式、分式、根式等的运算用运算律进展用运算律进展“等价变换；作为数及等价变换；作为数及其运算的推行。其运算的推行。 方程方程未知数、知数之间的特定代数关未知数、知数之间的特定代数关系；解方程系；解方程由代数方程式确定其中的由代数方程式确定其中的“未知数的值；未知数的值； 解方程的根本原理：运算律对任何数都解方程的根本原理：运算律对任何数都成立通性，所以对成立通性，所以

7、对“未知数也成未知数也成立、可用。有系统地用运算律化简所给立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数的方程，从而确定其中的未知数化化未知为知。未知为知。 一元一次方程是根底，其它都用消元、一元一次方程是根底，其它都用消元、降次转化为一元一次方程。降次转化为一元一次方程。 方程问题，从元的添加、次数的添加两方程问题，从元的添加、次数的添加两个方向，按照由简到繁、由易到难依次个方向，按照由简到繁、由易到难依次展开。展开。 从代数式符号代表数、方程符号从代数式符号代表数、方程符号代表未知数到函数符号代表变数代表未知数到函数符号代表变数是一个飞跃，这是看问题角度的根本变是一个飞跃，

8、这是看问题角度的根本变化化从变化过程中调查规律，函数是从变化过程中调查规律，函数是研讨变化规律的。研讨变化规律的。 一次函数一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映的变化规律由谁反映不仅明确不仅明确x，y的意义，而且明确的意义，而且明确k，b的意义的意义变化规律由变化规律由k，b决议。决议。 其他函数也类似。其他函数也类似。例例2 2 乘法公式的了解及教学设计乘法公式的了解及教学设计 多项式运算就是含有字母符号的算式之间多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算字母代表数，数满足运算律，所的运算字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律；以字母也满足运算律； 两个多项式的乘积就是用分配律把它

9、归于两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法那么是用乘法的交换律、结合律和指数法那么来计算来计算运算法那么；运算法那么； 乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，是一个方式。是一个方式。乘法公式蕴含的思想方法乘法公式蕴含的思想方法 乘法公式是研讨普通多项式乘法根底上对乘法公式是研讨普通多项式乘法根底上对“特例的调查，寻觅一个方式：特例的调查，寻觅一个方式： 在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊方式，即

10、有某些特殊关系时的特殊方式，即 1a=c，b=d时有平方差公式；时有平方差公式； 2a=c，b=d时有完全平方和公式；等。时有完全平方和公式；等。 从普通到特殊，归纳的思想，从普通到特殊，归纳的思想，“调查特例调查特例是数学研讨的是数学研讨的“根本套路。根本套路。教学过程设计教学过程设计 1复习与引入复习与引入 问题问题1 前面我们学习了单项式、多项式的前面我们学习了单项式、多项式的乘法，他能说说运算法那么吗？这些运算乘法，他能说说运算法那么吗？这些运算的根据是什么？的根据是什么？ 设计意图：回想运算法那么，强化设计意图：回想运算法那么，强化“用运算用运算律计算的认识。律计算的认识。 先行组织

11、者：先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。可以是数、式或别的什么。数学中，经常要经过调查特殊情况来获得数学中，经常要经过调查特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研讨了平行、垂直位置关系中，我们特别研讨了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研讨。些特殊情形值得研讨。 2公式的探求公式的探求 问题问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直

12、接写出结可以利用公式直接写出结果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x时的特例。在时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，他以为还有中，他以为还有哪些特殊情形？他能得到什么？哪些特殊情形？他能得到什么？ 设计意图：经过设计意图：经过“先行组织者，浸透从普先行组织者，浸透从普通到特殊，调查特例，深化认识数学对象通到特殊，调查特例，深化认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对，使学生有一个类比对象，明确思索方向。象，明确思索方向。 问题问题3 请他用本人的言语表述平方差

13、公式、请他用本人的言语表述平方差公式、完全平方公式。完全平方公式。 设计意图：协助学生了解公式。设计意图：协助学生了解公式。 3例题例题 本环节主要目的是经过变式字母本环节主要目的是经过变式字母a，b取取数、式等各种变形，让学生领会公式在数、式等各种变形，让学生领会公式在“方式化运算中的作用。另外，经过适方式化运算中的作用。另外，经过适当反例，纠正学生能够的忽略。最终要让当反例，纠正学生能够的忽略。最终要让学生明确：第一，具备方式学生明确：第一，具备方式(a+b)(ab)或或(ab)2，就可以用公式；第二，要留意哪，就可以用公式；第二，要留意哪个代表个代表a，哪个代表，哪个代表b。 4公式的多

14、元联络表示公式的多元联络表示 问题问题4 假设假设a，b表示线段的长，那么表示线段的长，那么a2，b2分别表示正方形的面积。他能根据公式的分别表示正方形的面积。他能根据公式的方式，本人构造一个图形表示上述乘法公方式，本人构造一个图形表示上述乘法公式吗？式吗？ 设计意图：经过构造几何模型表示公式，设计意图：经过构造几何模型表示公式，以开辟学生的思绪。经过数形结合、图形以开辟学生的思绪。经过数形结合、图形直观，以加深了解、加强记忆。直观，以加深了解、加强记忆。 5小结小结 1请他总结一下本节课讨论问题的根本请他总结一下本节课讨论问题的根本过程。过程。 设计意图：引导学生总结设计意图：引导学生总结“

15、根本套路，即根本套路，即“多项式乘法普通多项式乘法普通乘法公式特殊乘法公式特殊公式特征分析公式特征分析与相关知识的联与相关知识的联络。络。 2为什么要讨论为什么要讨论“特殊情形？是如何特殊情形？是如何得到的？得到的？ 设计意图：领会设计意图：领会“如何提出问题。如何提出问题。 3能否循着上述思绪，再提出一些值得能否循着上述思绪，再提出一些值得研讨的问题？研讨的问题？ 设计意图：引导学生自主研讨。必要时可设计意图：引导学生自主研讨。必要时可作提示，如公式作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推中，推行行“次数，可以研讨次数，可以研讨(a+b)3，(a+b)4。虽然这不是。虽然这不是“

16、课标要求的，但对学生课标要求的，但对学生思想开展是有益处的。思想开展是有益处的。例例3 3 函数概念的了解和教学函数概念的了解和教学 被扭曲的函数概念教学举例：被扭曲的函数概念教学举例： 1只在方式化变形上下功夫只在方式化变形上下功夫 如下图是二次函数如下图是二次函数y=ax2+bx+c图图 像的一部分，图像过点像的一部分，图像过点A(3,0)，对，对 程轴为程轴为x=1，给出以下四个结论：，给出以下四个结论： b4ac，bc0，2a+b=0，a+b+c=0，其中正确的结论是，其中正确的结论是 。2 2与平面几何知识的叠加与平面几何知识的叠加(3)(3)将知识点拼凑、叠加，成为一种数学游戏将知

17、识点拼凑、叠加，成为一种数学游戏据称，这是近几年中考常见的压轴题。据称，这是近几年中考常见的压轴题。有评论说：有评论说：“这样的标题的特点是经过采这样的标题的特点是经过采用宽入口、低起点、层层递进、逐渐提高用宽入口、低起点、层层递进、逐渐提高知识的综合程度，利用点和线的图形运动知识的综合程度，利用点和线的图形运动，借助函数知识来研讨图形在运动变化过，借助函数知识来研讨图形在运动变化过程中的数量关系，同时浸透多种数学思想程中的数量关系，同时浸透多种数学思想方法的方式设计标题的问题，为标题的区方法的方式设计标题的问题，为标题的区分度奠定了较好的根底。分度奠定了较好的根底。完全分开了函数的背景，割裂

18、了函数与客观完全分开了函数的背景，割裂了函数与客观世界的天然联络。世界的天然联络。人为制造，矫揉造作！人为制造，矫揉造作！关于函数概念的了解关于函数概念的了解 说文解字：函说文解字：函信函，传送和交流信息信函，传送和交流信息的书面方式。引申为有顺序的对应关的书面方式。引申为有顺序的对应关系。系。 函数的来源：函数来源于运动，是应函数的来源：函数来源于运动，是应“科科学的数学化之所需。学的数学化之所需。“数学从运动的研数学从运动的研讨中引出了一个根本概念。在那以后的二讨中引出了一个根本概念。在那以后的二百年里，这个概念在几乎一切的任务中占百年里，这个概念在几乎一切的任务中占中心位置，这就是函数中

19、心位置，这就是函数或变量间的关或变量间的关系系的概念。的概念。MM克莱因克莱因函数概念的本质函数概念的本质 函数概念的本质：两个变量之间的一种特函数概念的本质：两个变量之间的一种特殊的对应关系。殊的对应关系。“函数不是一个数，而函数不是一个数，而是一个对应关系。是一个对应关系。 函数概念所反映的根本思想：运动变化的函数概念所反映的根本思想：运动变化的思想。思想。 教学的中心义务：让学生体验教学的中心义务：让学生体验“一个量随一个量随着另一个量的变化而变化的过程着另一个量的变化而变化的过程只只需数字、图形游戏是办不到的。需数字、图形游戏是办不到的。标题的比较标题的比较 我们习以为常的标题：我们习

20、以为常的标题： 这样的标题，只需方式化的训练，主要在这样的标题，只需方式化的训练，主要在代数运算上下功夫，函数的味道很淡，代数运算上下功夫，函数的味道很淡，“变量、变量、“运动变化、运动变化、“一个量随另一一个量随另一个量的变化而变化以及变化过程中个量的变化而变化以及变化过程中“确确定的关系或定的关系或“变化规律等，都表达得变化规律等，都表达得不够。不够。 换一种方法出标题：换一种方法出标题： 函数味道很浓，函数味道很浓，“变量、变量、“一个量随另一个量随另一个量的变化而变化以及变化过程中一个量的变化而变化以及变化过程中“确定的关系或确定的关系或“变化规律等，都得到变化规律等，都得到充分表达。

21、一定要了解了概念才干回答，充分表达。一定要了解了概念才干回答，如必需真正了解斜率如必需真正了解斜率k k的实践含义才干回答的实践含义才干回答“是什么缘由导致了他们所画的图像的不是什么缘由导致了他们所画的图像的不同？同？ 两种出题方法的教育功能也是不同的两种出题方法的教育功能也是不同的后一种方法更有助于学生了解函数概念的后一种方法更有助于学生了解函数概念的本质；能让学生感受数学的作用；对学生本质；能让学生感受数学的作用；对学生才干的培育更全面。才干的培育更全面。函数概念的开展简史函数概念的开展简史 背景：背景：1717世纪，科学家们努力于对运动的世纪，科学家们努力于对运动的研讨。如计算天体的位置

22、，长间隔航海中研讨。如计算天体的位置，长间隔航海中对经度和纬度的丈量，炮弹的速度对于高对经度和纬度的丈量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。涉及两个变量之间的度和射程的影响等。涉及两个变量之间的关系，要根据这种关系对事物的变化规律关系，要根据这种关系对事物的变化规律作出判别，如根据炮弹的速度推测它能到作出判别，如根据炮弹的速度推测它能到达的高度和射程。达的高度和射程。 莱布尼兹用莱布尼兹用“函数表示随曲线的变化而函数表示随曲线的变化而改动的几何量，如坐标、切线等。改动的几何量，如坐标、切线等。17181718年年，贝努利强调函数要用公式表示。，贝努利强调函数要用公式表示。17551755年年，

23、欧拉将函数定义为，欧拉将函数定义为“假设某些变量，以假设某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数。的变量称为后面变量的函数。 当时很多数学家对不用公式表示函数很不当时很多数学家对不用公式表示函数很不习惯，甚至抱疑心态度。习惯，甚至抱疑心态度。 1837年，狄利克雷提出：年，狄利克雷提出：“假设对于假设对于x的每的每一个值，一个值，y总有一个完全确定的值与之对应总有一个完全确定的值与之对应，那么，那么y是是x的函数。的函数。 1870年代，随着集合概念的出现，函数概年代，随着集合概念的出现，函数概念用更加严谨的集合与对应言语表述

24、。念用更加严谨的集合与对应言语表述。 映射的言语定义函数那么是更晚的事情了映射的言语定义函数那么是更晚的事情了。函数概念的教学要点函数概念的教学要点 为学生铺设概括函数概念的通道；为学生铺设概括函数概念的通道； 精选实践例子精选实践例子从实例出发，在函数概念的引从实例出发，在函数概念的引入、表示、性质和运用等阶段都要留意运用实践入、表示、性质和运用等阶段都要留意运用实践例子，为学生提供了解函数概念的例子，为学生提供了解函数概念的“参照物。参照物。一个好例子胜过一千次说教。一个好例子胜过一千次说教。 不在字面含义、方式化不在字面含义、方式化“运用等方面纠缠，多运用等方面纠缠，多让学生用函数观念解

25、释详细问题。让学生用函数观念解释详细问题。 围绕运动变化、变量、一个量随另一个量的变化围绕运动变化、变量、一个量随另一个量的变化而变化等，以实例为载体开展教学，加强思想方而变化等，以实例为载体开展教学，加强思想方法、函数建模等。法、函数建模等。例例4 一次函数的例题教学一次函数的例题教学 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式式：方式A以每分以每分0.1元的价钱按上网时间元的价钱按上网时间计费；方式计费；方式B除收月基费除收月基费20元外，再以每分元外，再以每分0.05元的价钱按照上网时间计费。如何选择元的价钱按照上网时间计费。如何选择收费方式能使上网

26、更合算？收费方式能使上网更合算？ 通常的做法：列出函数解析式，画出函数通常的做法：列出函数解析式，画出函数图像看出相交，再解二元一次方程组得交图像看出相交，再解二元一次方程组得交点坐标，结合图像，给出回答；或者引入点坐标，结合图像，给出回答；或者引入“差额函数，借助与差额函数，借助与x轴的交点作答。轴的交点作答。充分发掘此题的教学价值充分发掘此题的教学价值 问题问题1 101 10分两种方式收费各多少？分两种方式收费各多少？2020分呢分呢？5050分呢？分呢？引导学生采用多种表征方引导学生采用多种表征方式，用表格法很方便。式，用表格法很方便。时间时间（分）（分）0 0101020203030

27、404050506060方式方式A A0 01.01.02.02.03.03.04.04.05.05.06.06.0方式方式B B20.020.020.520.521.021.021.521.522.022.022.522.523.023.0 问题问题2 为什么可以用射线表示收费情况？为什么可以用射线表示收费情况？ 问题问题3 为什么方式为什么方式A的图像经过原点，而方的图像经过原点，而方式式B的图像经过点的图像经过点0，20？ 问题问题4 如何找到上网如何找到上网a分时的两种方式各收分时的两种方式各收费多少？费多少？ 问题问题5 计费方式的哪些方面在表格或图像计费方式的哪些方面在表格或图像中

28、表现出来了？两组数的差是常数；每中表现出来了？两组数的差是常数；每多上网多上网1分，就要再付分，就要再付0.1元或元或0.05元。元。 问题问题6 6 假设他不常上网，选哪种方式更合假设他不常上网，选哪种方式更合算？假设常上网呢？算？假设常上网呢？ 问题问题7 7 假设他想尽量长时间上网，但又不假设他想尽量长时间上网，但又不想让费用超越想让费用超越4040元，该选哪种方式？元，该选哪种方式？ 问题问题8 8 假设方式假设方式A A收取基费，或方式收取基费，或方式B B提高提高基费，对图像有什么影响？截距问题基费，对图像有什么影响？截距问题 问题问题9 9 假设方式假设方式A A决议将每分决议将

29、每分0.10.1元提高到元提高到每分每分0.150.15元，它的图像有什么变化？斜元，它的图像有什么变化？斜率问题率问题 问题问题10 10 假设方式假设方式A A改为缺乏改为缺乏1 1分按分按1 1分算，分算，请画出图像。阶梯形请画出图像。阶梯形 问题问题11 11 哪种函数表示法更容易得到收费哪种函数表示法更容易得到收费相等的时间点？相等的时间点？ 问题问题12 12 哪种函数表示法更容易看出每分哪种函数表示法更容易看出每分的收费规范？的收费规范？ 问题问题13 13 如何从表格中确定收费规范？如何从表格中确定收费规范？ 问题问题14 14 如何从图像上确定收费添加快慢如何从图像上确定收费

30、添加快慢？ 问题问题15 15 如何从图像上看出用哪种方式更如何从图像上看出用哪种方式更经济？经济？例例5 5 平行四边形的断定平行四边形的断定 中心：断定与性质的逻辑关系，以此为载中心：断定与性质的逻辑关系，以此为载体，培育合情推理、逻辑推理的才干体，培育合情推理、逻辑推理的才干 教学过程的设计要点：教学过程的设计要点： 复习复习怎样复习？不只是罗列知识点怎样复习？不只是罗列知识点 提出断定定理的学习义务，由定义可以断提出断定定理的学习义务，由定义可以断定讲清条件：两组对边相互平行，但定讲清条件：两组对边相互平行，但条件的表现方式是多样化的，根据不同条条件的表现方式是多样化的，根据不同条件更

31、灵敏地判别件更灵敏地判别学习断定定理的理由学习断定定理的理由 从操作开场，还是从逆命题开场？从操作开场，还是从逆命题开场？ 暂时认同先操作：操作暂时认同先操作：操作猜测猜测“两组对两组对边相等的四边形为平行四边形边相等的四边形为平行四边形证明证明接着干什么？与性质定理比较接着干什么？与性质定理比较 后续的猜测，可以从性质出发。假设还不后续的猜测，可以从性质出发。假设还不做，那么在小结时无论如何要说。做，那么在小结时无论如何要说。当前存在的问题当前存在的问题 没有关注思想的自然，逻辑推理才干的培没有关注思想的自然，逻辑推理才干的培育，停留在育，停留在“实验实验猜测猜测证明证明运用的方式上。运用的

32、方式上。 过度依赖实验，降低了平面几何的教育价过度依赖实验，降低了平面几何的教育价值。值。 该推理时不推理，该证明时不证明该推理时不推理，该证明时不证明从从普通到特殊、逆命题等，都普通到特殊、逆命题等，都“该证明。该证明。例例6 用频率估计概率用频率估计概率 如何了解频率？如何了解频率？随机变量，随实验结随机变量，随实验结果的改动而改动。果的改动而改动。 概率，随机的还是确定的？概率，随机的还是确定的？ 事件事件A出现的概率为出现的概率为0，A是不能够事件吗是不能够事件吗？ 事件事件A出现的概率为出现的概率为1，A是必然事件吗？是必然事件吗？如何了解用频率估计概率的必要性？如何了解用频率估计概

33、率的必要性？ 用抛掷硬币、掷骰子的例子好不好？用抛掷硬币、掷骰子的例子好不好？ 姚明投篮：在姚明罚球出手的一刹那，画姚明投篮：在姚明罚球出手的一刹那，画面停顿，问面停顿，问“姚明罚进的概率有多大？姚明罚进的概率有多大？ 接着该干什么？接着该干什么？姚明罚球的命中率客姚明罚球的命中率客观存在，假设知道该值的大小，对对方球观存在，假设知道该值的大小，对对方球队决策有协助。假设该值小，罚球得分的队决策有协助。假设该值小，罚球得分的能够性小，可以思索犯规后能够性小，可以思索犯规后“随他投；随他投；否那么思索不犯规。否那么思索不犯规。 水到渠成地，提问：水到渠成地，提问：“如何求命中率？如何求命中率？

34、现实中，经过统计历史的罚球记录来得到现实中，经过统计历史的罚球记录来得到罚球的命中率，即用频率估计概率。罚球的命中率，即用频率估计概率。 假设知道一个随机事件发生的能够性的大假设知道一个随机事件发生的能够性的大小小概率，有助于我们做决策，所以要概率，有助于我们做决策，所以要想方法知道它。概率的统计定义想方法知道它。概率的统计定义用频用频率估计概率率估计概率一种得到概率的方法。一种得到概率的方法。正确了解正确了解“用频率估计概率用频率估计概率 普通地，在大量反复实验中，假设事件普通地，在大量反复实验中，假设事件A发发生的频率生的频率m/n会稳定在某个常数会稳定在某个常数p附近，那附近，那么事件么事件A发生的概率发生的概率P(A)=p。只需实验的次。只需实验的次数数n足够大，频率足够大，频率m/n就可以作为概率就可以作为概率p的估的估计值。计值。 只需大量实验的频率才干作为概率的估计只需大量实验的频率才干作为概率的估计吗？吗？究竟多少次是究竟多少次是“足够大？足够大？ 频率总可以作为概率的估计，实验次数影频率总可以作为概率的估计，实验次数影响的是估计精度。次数由问