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1、高等教育PPT课件 (2)1第四节第四节 函数的单调性函数的单调性 与曲线的凹凸性与曲线的凹凸性一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、单调区间求法二、单调区间求法三、曲线凹凸的定义三、曲线凹凸的定义四、曲线凹凸的判定四、曲线凹凸的判定五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法六、凹凸性小结六、凹凸性小结高等教育PPT课件 (2)2一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB)(xf )(xf 定理定理1.),(,)(内可导内可导，在，在设函数设函数babaCxfy abBA上单调增加；上单调增加；在在，则，则内内若在若在）（,)(0)(),(1baxfx

2、fba .,)(0)(),()2(上上单单调调减减少少在在，则则内内若若在在baxfxfba 0 0 高等教育PPT课件 (2)3证证（1）,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy (2)同理可证。同理可证。高等教育PPT课件 (2)4例题部分例题部分 单调性应用单调性应用 注注 定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立. .应用应用

3、1判断函数的单调性、求函数的单调区间判断函数的单调性、求函数的单调区间 课本课本例例1 判定函数判定函数 y = = x sinx 在在 0 , 2 上的单调性上的单调性. . 解解 因为因为 在在( (0 , 2 ) )内内. .xycos1 0 故由定理故由定理1立得立得函数函数 y = = x sinx 在在 0 , 2 上的单调增加上的单调增加. .高等教育PPT课件 (2)5 课本课本例例2 解解 .1e的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xyx. 1 xye,)0 ,(内内在在 , 0 y上单调减少；上单调减少；，函数在函数在 0( ,), 0(内内在在, 0 y . )0, 上上单

4、单调调增增加加函函数数在在 注意注意 函数的单调性是一个函数的单调性是一个区间上区间上的性质，要用导数在的性质，要用导数在这一这一区间上区间上的的符号符号来判定，而不能用来判定，而不能用一点一点处的导数符号处的导数符号来判别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性).,(: D又又. 0 , 01e xyx得得令令高等教育PPT课件 (2)6yxo说明说明 1. .单调区间的单调区间的分界点分界点除除驻点驻点外外,也可是也可是导数不存在导数不存在的点的点. 例如例如课本课本例例3),(,32 xxy,323xy 0 xy32xy 2. .如果函数在某如果函数在某驻点驻点两边导数两边导数同号同

5、号, 则则不改变不改变函数的函数的单调性单调性 .例如例如课本课本例例5 ),(,3xxy00 xyyox3xy 3. .熟记熟记单调区间的单调区间的可能可能分界点分界点(1) 驻点驻点; ;(2)不可导点不可导点x = 0不可导点不可导点230yx 高等教育PPT课件 (2)7二、单调区间求法二、单调区间求法 方法方法 .,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 小结小结：单调区间的求法步骤：单调区间的求法步骤求定义域求定义域)( xfD ，求驻点、不可导点求驻点、不可导点

6、( (可能的分界点可能的分界点) )确定单调区间确定单调区间列表考察列表考察 f ( (x) )在各个区间内的符号在各个区间内的符号高等教育PPT课件 (2)8 ).,(:可可导导 D 课本课本例例4 确定函数确定函数31292)(23 xxxxf的单调区间的单调区间.解解12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为, 1,( ;,2 )(xf的的单调减单调减区间为区间为. 2,112xoy12高等教育PPT课件 (2)9判断函数的单调性或求单调区间的判断函数的

7、单调性或求单调区间的练习题练习题习题习题 3-4 P151 1、2、3(1)(2)(3)(5)(7)判断函数的单调性或求单调区间的判断函数的单调性或求单调区间的作业题作业题习题习题 3-4 P151 1、3(1)(3)(5)高等教育PPT课件 (2)10 课本课本例例6 证明当证明当x 1时时, ,.132xx 证证),3(2)(1xxxf 令令上上连连续续，且且在在则则), 1)( xf211)(xxxf xxxx22 xxxxx2)1( 0)1(2 xxx上单调增加，上单调增加，在在故故), 1)(xf)1()(1fxfx 时时，从从而而当当0 , 0)3(21 xx故故.132 xx 即

8、即应用应用2利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式)0( x高等教育PPT课件 (2)11利用单调性证明不等式的利用单调性证明不等式的练习题练习题习题习题 3-4 P151 4 (1)、(2)、(5)利用单调性证明不等式的利用单调性证明不等式的作业题作业题习题习题 3-4 P151 4 (1)高等教育PPT课件 (2)12三、曲线凹凸的定义三、曲线凹凸的定义 问题问题 单调性不能反映曲线的单调性不能反映曲线的弯曲弯曲方方 向；如何研究曲线的向；如何研究曲线的弯曲弯曲方向方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(

9、xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC221xx 221xx 高等教育PPT课件 (2)13定义定义 设函数设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续 ,21Ixx (1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称的的)(xf图形是图形是凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称的的)(xf图形是图形是凸凸的的 .xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x221xx 221xx 高等教育PPT课件 (2)14四、曲线凹凸与拐点的判定四、曲线凹凸与拐点的判定xyo)(xfy xyo

10、)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0)( xf递减递减)(xf 0)( xf【观察】【观察】高等教育PPT课件 (2)15 定理定理2 (凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是内图形是凹凹的的 ;)(xf(2) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是内图形是凸凸的的 .)(xf设函数设函数在区间在区间I 上二阶可导上二阶可导 注注 定理中区间定理中区间I 可以可以为为闭区间闭区间也可为也可为非闭区间非闭区间. .该定理的记忆方法该定理的记忆方法快乐是快乐是“ “ + ”+ ”，悲伤是，悲伤是“ “ - ”- ” 高等教

11、育PPT课件 (2)16 课本课本例例8 .3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解 ,32xy ,6xy 时时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点 注意到注意到 这样的点称为曲线的这样的点称为曲线的拐点拐点，定义定义连续连续曲线上曲线上凹凸凹凸的的分界点分界点 (x0 ，f (x0) 称为称为拐点拐点.内点内点高等教育PPT课件 (2)17五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法 , 000 )( )(,()( 号号的左右邻近变的左右邻

12、近变在点在点必有其二阶导数必有其二阶导数左右临近凹凸性变化，左右临近凹凸性变化，在点在点连续曲线连续曲线xxfxfxxf 1. .可能可能( (可疑可疑) )拐点的求法拐点的求法 分析分析 (1) . ) )(,( 00就是曲线的一个拐点就是曲线的一个拐点则点则点xfx所以要寻求拐点所以要寻求拐点, ,只要找出使只要找出使f (x)正负正负号发生变化的分界号发生变化的分界点即可点即可. .如果如果f (x)连续连续, ,则则f (x)的的值在值在由负变正由负变正或或由正变由正变负负的过程中的过程中, ,必在必在分界点分界点处的值为零处的值为零. .即即0)(0 xf(2) 此外此外, f (x

13、)不存在的点也不存在的点也可能可能是拐点（如下图）是拐点（如下图）xyo可能可能的拐点的拐点)(,( 0)( 00 xfxxf点点使使 )(,( )(00 xfxxf点点不不存存在在的的 总结总结高等教育PPT课件 (2)182. 判定拐点的步骤判定拐点的步骤由此可得求由此可得求拐点的拐点的步骤步骤如下如下:；求求)( , )1(xfD 不不存存在在的的点点；的的根根和和使使）求求（)( 0)(2xfxf 若在其两侧若在其两侧二阶导数变号二阶导数变号, 则点则点(x0 , f (x0)是是拐点；拐点； : )(, )2(300附附近近的的符符号号左左右右两两侧侧在在点点考考查查中中求求出出的的

14、根根或或点点）对对（xxfx 若在其两侧若在其两侧二阶导数不变号二阶导数不变号, 则点则点(x0 , f (x0)不是不是拐点；拐点； 可能可能的拐点的拐点高等教育PPT课件 (2)19课本课本例例11判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性及其拐点的凹凸性及其拐点.解解,43xy 212xy 时，时，当当0 x;0 y,0时时 x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),( 上是凹的上是凹的.xyo0 0 x.)0 , 0(不是拐点不是拐点点点结论结论由由 例例8和例和例11可知可知 ：二阶导数为零的点：二阶导数为零的点可能是可能是拐点拐点 , 也也可能不是可能不是拐点。拐点。高等教育PPT课件 (2)

15、20课本课本例例12 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. 解解,3231 xy3592 xyxy y0)0,(),0( 不存在不存在0 因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 .oxy凹凹凸凸结论结论2)此例说明了此例说明了 不存在不存在的点的点 也也可能可能 是是曲线的曲线的拐点拐点. .)(0 xf )(,(00 xfx高等教育PPT课件 (2)21xxy24362 )(3632 xx 课本课本例例10 求曲线求曲线14334 xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解1) 求求y ,121223xxy 2) 求可能的拐点坐标求可能的拐点坐标令令0 y得得,0

16、3221 xx对应对应3) 列表判别列表判别271121,1 yy)0,(),0(32),(32 y xy032 0012711 故该曲线在故该曲线在0,(),32 及及上是凹的上是凹的,是凸的是凸的 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及),(271132均为拐点均为拐点.上上在在,03232) 1 , 0(),(271132高等教育PPT课件 (2)22函数的凹凸性拐点函数的凹凸性拐点练习题练习题习题习题 3-4 P151 8(1)(4) 、11、12、13函数的凹凸性拐点函数的凹凸性拐点作业题作业题习题习题 3-4 P151 8(1) (2) 、11、12高等教育PPT课件 (2)23六、曲线的凹凸性