李贤平概率论基础PPT课件

1、考虑有两个孩子的家庭： (,), (,), (,), (,)b bbggbgg 一、条件概率A“家中至少有一个男孩”：1. 引例:()3 4PAB“家中至少有一个女孩”：()3 4PB()2 4P AB事件B 已经发生的条件下事件 A发生的概率,记为(),P A B2()3P A B 则().PA2 43 4()()P ABP B第1页/共39页 BA针对几何概型：(|)P A BABBABBP ABP B第2页/共39页()(|)()P ABP BAP A同理可得为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.,( )0,()()( ).A BP BP ABP A BP BAB设是两个事件 且

2、称为“在事件发生的条件下，事件发生的条”件件概概率率2. 定义第3页/共39页1) 缩减样本空间缩减样本空间：将：将 缩减为缩减为 I IB=B. 2) 用定义用定义： P(A|B) = P(AB) / P(B).条件概率 P(A|B) 的计算注意：总假定条件事件的概率大于0.第4页/共39页条件概率也是概率, 故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiPBAP B Aq 非负性q 规范性 q 可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq )(1)(ABPABPq )()()(21121ABBPABPABBPq 3. 性质第5页/共39页P( |B) = 1

3、 ; P(B| ) = P(B) ;P(A| ) = P(A) ; P(A|A) = 1.注注 意意 点点第6页/共39页例1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件，B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有NoImage, 8 . 0)( AP因为因为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解第7页/共39页例2 在某地区中任抽

4、一人，若患有原发性肝癌则记为A，若甲胎球蛋白高含量记为B，已知：NoImage( )0.00040,P A ()()( )P ABP B AP A( )0.00034,P B ()0.00032,P AB 则有0.8()()( )P ABP A BP B0.9412第8页/共39页(1) 设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( ).0.6(2)课堂练习分析：P(A|B) = P(AB) / P(B)= P(A) / P(B)分析:P(AB)=P(A)+

5、P(B)-P(B|A)P(A)第9页/共39页乘法公式乘法公式;全概率公式；全概率公式；贝叶斯公式贝叶斯公式.条件概率的三大公式条件概率的三大公式第10页/共39页).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 则有则有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个事件个事件为为设设推广推广则有则有且且为事件为事件设设, 0)(, ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP ).()()(, 0)(APABPABPAP 则有则有设设二、 乘法公式第11页/共39页例3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率

6、为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因为因为)()(321AAAPBP 所以所以)()()(112213APAAPAAAP )211)(1071)(1091( .2003 ,)3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi 第12页/共39页 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(

7、B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式与贝叶斯公式第13页/共39页例4 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱， 从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123第14页/共39页将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计

8、算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：P(B)=8/15第15页/共39页1. 全概率公式全概率公式12,()0(1, 2,),niES BEA AASP Ai定理设试验的样本空间为为的事件, 为的一个划分 且则1122( )() ( )() ( )() ( )nnP BP B A P AP B A P AP B A P A第16页/共39页在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.niiiABPAPBP1)()()

9、(由公式不难看出:“全”概率P(B)被分解成了许多部分之和.理论、实用意义:第17页/共39页某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解第18页/共39页 例 5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.解: 设B=飞机

10、被击落Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则 B=A1B+A2B+A3B依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1第19页/共39页可求得:为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP将数据代入计算得:P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.第20页/共39页 P(

11、B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为0.458.第21页/共39页例6第22页/共39页第23页/共39页称此为贝叶斯公式.121.,( )0,()0,(1,2, ),() ()(),1,2, .() ()niiiinjjjES BEAAASP BP AinP B A P AP A BinP B A P A定理设试验的样本空间为为的事件为的一个划分 且则2. 贝叶斯公式第24页/共39页1、该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已经发

12、生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.“已知结果求原因”1()()()()()iiinjjjP B AP AP A BP B AP A 2、原因事件Ai的概率P(Ai) 称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性大小，是以往经验的总结。 3、条件概率P(Ai|B) 称为后验概率，它反映了实验之后对各种原因发生的可能性大小的修正。第25页/共39页;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品

13、在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例 7第26页/共39页.,)2(试求这些概率试求这些概率是多少是多少家工厂生产的概率分别家工厂生产的概率分别需求出此次品由三需求出此次品由三为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示设设 A.家工厂提供的”家工厂提供的”“所取到的

14、产品是由第“所取到的产品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,321的一个划分的一个划分是样本空间是样本空间则则SBBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且第27页/共39页.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 第28页/共39页,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP

15、.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第第29页/共39页?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A

16、.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例8第30页/共39页,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品第31页/共39页应用举例 肠癌普查设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B 表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：005.0)(,95.0)

17、()(BPBAPBAPii且某患者首次检查反应为阳性, 试判断该患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为阳性呢？iA第32页/共39页05.0995.095.0005.095.0005.0)()()()()()()(1111BAPBPBAPBPBAPBPABP由Bayes 公式得.087.02. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？第33页/共39页如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率P(B)=0.005 患者阳性反

18、应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(BA1)= 0.087 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.005增加到0.087,将近增加约17倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 无意义？第34页/共39页2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(B|A1)= 0.087即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有8.7% (平均来说，1000个人中大约只有87人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认. 第35页/共39页)()()()()()()()()(212121BAPBAPBPBAPBAPBPBAPBAPBP接连两次检查为阳