小学数学培优：裂项法解特殊数列计算问题

1、裂项法解特殊数列计算问题基本类型1. 1 2 2 3 3 4 L 49 50 =分析与解答这是整数的裂项。裂项思想是： 瞻前顾后，相互抵消。设 S=1 2 2334L49 501X2X3=1X2X32X3X3=2X3X (41)=2X3X41X2X33X4X3=3X 4X (5 2)=3X4X52X3X449X50X3 = 49X 50X (51 48) =49X50X51 48X49X503S= 1X2X3+2X3X3+3X4X3+-+49X50X 3 = 49X50X 51S=49X 50X51+3=41650常用公式:122232L n (n 1)=n(n 1)(2n 1)n(n 1)(

2、n 2)1323 332n(n 1)2L49 50分析与解答这题是典型的分数裂项:工=11 22=49 5049150一1原式=1=504950113. 13 3 599 101分析与解答这题是典型的分数裂项:(1-) X3-)x152=99 10199101)X2(1-)10150101复杂裂项4.L1 2 3 2 3 4 3 4 5119 20 212分析与解答对于分数裂项最后只留下第一个与最后一个的差1士=( 土六1=xl19 20 2119 20 20 212原式="2 2021二 2098405.11十 一13 53分析与解答利用等差数列求和公式,再利用例1的结论。一1原式

3、=(1X2+2X 3+3X4+ .+ 50X 51)2117. 1 112 12 31 1=-X - X 50X51X52 = 22102 3L 5020 22 24+5 719 21 23 2 4 620 22 24_111 111 41321 23 + 42 422 2440 , 6528160 , 104653862548321123400323400323400326.1 (1 2) (123)(1 2 3 4) L (1 2 34 L50) =；分析与解答,21+十2 32=2乂50 511+2 350 51_ 100 51拓展提高8.(1 J1(12) L5(1分析与解答:这题是利

4、用平方差公式进行裂项。a2-b2=(a+b)(a-b)14=12-(22 = (1+ ) X (1 原式=3xlx4x2x5X 3X6X 47 人 人 人 人 人5X.X"X48X型4949 249499.J(1 2) (13)(1 2 3) (1 2 3 4)50(1 2 3 L 49) (1 2 3 L50)分析与解答原式=十1 36 10+ 5十 十10 15501225 12751 、,)+ (10127412751225127510.1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 53 4L 10分析与解答 2-,92 322323423410 1原式=1-9911.1 2 32

5、3 4 . 10.109897分析与解答99=100 110098100 297100 399 100=10199100100P100 1012 3 4 . 102 3 4 .10010099100 101: 36287993628800362880099 100 101101001002 3 4 . 101001001009910099 100 10199 100 10199 100 101100101100一 + .+510099 100 101,1H+-4 5.十10111=25 一 一 十20221101= 24-51101 练习题: 1、1 4 4 7 7 10 L 49 52 = 分析与解答 设 S= 1 4 4 7 7 10 L 49 521X4X9=1X4X7+1X4X2 4X7X9 = 4X7X (10 1) =4X7X10 1 X4X7 7X10X9=7X10X (13 4) =7X10X13 4X7X1049X52X9=49X52X (55 46) = 49X 52X 5546X 49X52 9S= 49X52X55+1 X4X2S= (49X52X55+1