2022年函数的单调性与最值(含例题详解)

1、精品资料欢迎下载函数的单调性与最值一、学问梳理1. 增函数、减函数一般地，设函数 fx的定义域为i，区间 d. i，假如对于任意 x1， x2d ，且 x1<x2，就有： 1fx在区间 d 上是增函数 . fx1< fx2 ；2fx在区间 d 上是减函数 . fx1> fx2 2. 单调区间的定义如函数 y fx在区间 d 上是增函数或减函数， 就称函数 y fx在这一区间上具有严格的单调性，区间 d 叫做 y fx的单调区间3. 函数的最值前提设函数 y fx的定义域为 i，假如存在实数 m 满意对于任意 x i，都有条件fx m ；存在 x0 i，使得 fx0 m对于任意

2、 x i，都有 fx m；存在 x0 i，使得 fx0 m结论m 为最大值m 为最小值留意：1. 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示， 不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号 “ ”联结，也不能用 “或”联结2. 两函数 fx ， g x在 xa， b上都是增 减函数，就 fx gx 也为增 减函数，但1fx ·gx，fx等的单调性与其正负有关，切不行盲目类比试一试 1以下函数中，在区间0， 上为增函数的是 a y ln x2b y x 1xc y1 2d y x 1x解析： 选 a选项 a 的函数 y ln

3、 x 2的增区间为 2， ，所以在 0 ， 上肯定是增函数2函数 fx x2 2xx 2,4 的单调增区间为； fxmax.解析：函数 fx的对称轴 x1，单调增区间为 1,4 ， fxmax f 2 f4 8.答案： 1,48二、方法归纳1判定函数单调性的四种方法(1) 定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2) 复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3) 图像法：假如 f x是以图像形式给出的，或者fx的图像易作出，可由图像的直观性判定函数单调性(4) 导数法：利用导函数的正负判定函数单调性 2求函数最值的五个常用方法(1) 单调性法：先确定函数的单调

4、性，再由单调性求最值(2) 图像法：先作出函数的图像，再观看其最高点、最低点，求出最值(3) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟识的函数，再用相应的方法求最值 4基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等 ”的条件后用基本不等式求出最值5导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最终结合端点值，求出最值 提示：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域练一练 1. 以下函数中，既是偶函数又在区间0， 上单调递减的是 xa y 1 xb. y ec. y x2 1d. y lg|x|答案： c12. 函数 fx 2在区间 2,3 上的最大值是，最小值是答案： 15x 11

5、10三、考点精练考点一求函数的单调区间1、函数 fxlog5 2x1 的单调增区间是解析：要使 ylog5 2x1 有意义，就 2x10 ，即 x1 ，而 y 2olg5 u 为 0,上的增函数，当 x11时， u 2x 1 也为 r 上的增函数，故原函数的单调增区间是2,.2答案：1 ,22. 函数 y x |1x|的单调增区间为1,解析： y x |1 x|2xx11,x1作出该函数的图像如下列图由图像可知，该函数的单调增区间是 ， 1 答案： ， 13. 设 函 数y f x 在,内 有 定 义 对 于 给 定 的 正 数 k ， 定 义 函 数fkxfx ,fxk取函数 fx2 x ，

6、当 k1时，函数f kx 的单调递增区间为k, fxk2a ， 0b 0， c ， 1d 1， 解析：选 c由 f x>1，得 1<x<1.2由 fx1，得2x 1 或 x1.x2, x1所以 f 1x21 , 122x, xx1 ，故1f 1x 的单调递增区间为 ， 12解题通法 求函数单调区间的方法与判定函数单调性的方法相同即：1定义法； 2复合法； 3 图像法； 4 导数法考点二函数单调性的判定k典例 试争论函数fxxk x0 的单调性解法一： 由解析式可知， 函数的定义域是,00,在0， 内任取 x1 ，x2 ，令 x1x2 ，那么fxfxxkxkxxk11xxx1x

7、2k21212121由于 0x1x2x2 ，所以 x2x1x10 ， x1x20 .x2x1x1x2故当 x1, x2k ,时，fx1fx2，即函数在k ,上单调递增当 x1, x20,k时，fx1fx2，即函数在0,k上单调递减考虑到函数kfxxk x0 是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在,k单调递增，在k ,0上单调递减综上，函数 fx在,k和k ,上单调递增，在k ,0和 0,k上单调递减解题通法 1利用定义判定或证明函数的单调性时，作差后要留意差式的分解变形完全2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判定要精确 针对训练 判定函数 gx 2xx 1在 1

8、 ， 上的单调性解：任取 x1， x2 1， ，且 x1<x2，就 g x1g x22x12x22 x1x2，x11x21x11x21由于 1<x1<x2 ，所以 x1 x2<0 ， x1 1 x2 1>0 ， 因此 gx1 gx2<0 ，即 gx1<gx2故 gx在1， 上是增函数考点三函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1. 已知函数 fx 对于任意 x，y r，总有 fxfy f x y，且当 x>0 时， fx<0，.f1 23(1) 求证： fx在 r 上是减函数；(2) 求 f x在 3,3上的最大值和最小值解： 1证明：函

9、数 fx对于任意 x， y r，总有 fx fy fxy，令 xy 0，得 f0 0.再令 y x，得 f x fx 在 r 上任取 x1>x2，就 x1 x2>0，fx1 fx2 fx1 f x2 f x1 x2又当 x>0 时， fx<0，而 x1 x2>0， f x1 x2<0 ，即 fx1< fx2 因此 fx在 r 上是减函数2 fx在 r 上是减函数， fx在 3,3 上也是减函数， fx在 3,3上的最大值和最小值分别为f 3与 f3 而 f3 3f 1 2， f3 f3 2. fx在 3,3上的最大值为 2，最小值为 2.角度二比较两个

10、函数值或两个自变量的大小12. 已知函数 fx log 2x1 x，如 x11,2 ， x2 2， ，就 a fx1<0 ， f x2<0b f x1<0 ， fx2>0cfx1>0 ， f x2<0d f x1>0 ， fx2>0解析：选 b函数 fx log2x 1在1， 上为增函数， 且 f2 0，当 x1 1,21 x时， fx1< f2 0，当 x2 2， 时， f x2>f2 0，即 fx1<0 ， fx2>0.角度三解函数不等式3. 已知函数 fx2x4 xx22 x3, x3, x0就不等式 f a02 4

11、> f3a的解集为 a 2,6b 1,4c1,4d 3,5解析： 选 b作出函数 fx的图像， 如下列图， 就函数 f x在 r 上是单调递减的 由 fa24> f3a，可得 a2 4<3 a，整理得a2 3a 4<0 ，即a 1 a 4<0 ，解得 1<a<4，所以不等式的解集为 1,4角度四求参数的取值范畴或值a2x,x24已 知 函 数fxx121 ,x满 足 对 任 意 的 实 数2x1x2 ， 都 有fx1 x1fx2 x20 成立，就实数 a 的取值范畴为 a ， 2b., 138c ，2d.13 , 28解析：选 b函数 fx是 r 上的

12、减函数，a20213于是有1，由此解得 a ，a22182即实数 a 的取值范畴是,13.8解题通法 1. 含“ f”不等式的解法第一依据函数的性质把不等式转化为f gx> fhx 的形式，然后依据函数的单调性去掉“f ”，转化为详细的不等式 组，此时要留意 gx与 hx的取值应在外层函数的定义域内2. 比较函数值大小的思路比较函数值的大小时， 如自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质， 转化到同一个单调区间上进行比较，对于挑选题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解巩固练习 一、挑选题1“ a 1”是“函数 fxx2 2ax 3 在区间 1 ， 上为增函数”的 a 充分不必要条

13、件b必要不充分条件c充要条件d. 既不充分也不必要条件答案： a解析： fx对称轴 xa，当 a1时 fx在1， 上单调递增 “a1”为fx在1 ， 上递增的充分不必要条件2. 已知函数 fx2x4 x,x0，如 f2 a2> fa，就实数 a 的取值范畴是 4xx2,x0a ， 12 ， b 1,2c 2,1d ， 2 1， 答案： c解析：由题知f x在 r 上是增函数，由题得2 a2 >a，解得 2< a<1.3. 用 min a，b，c 表示 a，b，c 三个数中的最小值 设 f x min2 x，x 2,10 x x 0，就 fx 的最大值为a 4b 5c 6

14、d 7答案： c解析：由题意知函数fx是三个函数 y1 2x，y2 x 2，y3 10 x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象如图中实线部分为 fx的图象 可知 a4,6为函数 fx图象的最高点4. 如 fx x22ax 与 gx a在区间 1,2 上都是减函数， 就 a 的取值范畴是 x 1a 1,0 0,1b 1,0 0,1c0,1d 0,1答案： d解析:fx在 a， 上是减函数，对于gx，只有当 a>0 时，它有两个减区 间为 ， 1和 1， ，故只需区间 1,2 是 f x和 gx的减区间的子集即可，就a的取值范畴是 0<a1.5. 已知定义在r 上的增函数f

15、x，满意 f x fx 0， x1， x2， x3 r ，且 x1 x2>0，x2 x3>0 ， x3 x1>0，就 fx1 fx2 f x3的值 a 肯定大于 0b肯定小于 0c等于 0d正负都有可能答案： a解析： f x fx0， f x f x又 x1 x2>0，x2 x3>0， x3 x1>0 ， x1> x2， x2>x3，x3> x1.又 fx1> f x2 f x2， fx2 >f x3 fx3， f x3>f x1 fx1， fx1 fx2 fx3> fx2 fx3 f x1 fx1 fx2 fx3

16、>0.二、填空题6. 函数 y x 3|x|的递增区间是7. 设 fx是增函数，就以下结论肯定正确选项 填序号 y fx 2 是增函数； y 1f x是减函数； y fx是减函数； y |fx|是增函数答案： 0 ，32x3 xx03解析： yx3 xx0画图象如下列图：可知递增区间为0 ， 28设 0<x<1 ，就函数 y 1 1的最小值是答案： 4解析y1x111 x4，当 0<x<1 时， x1 x x1211y4. x三、解答题1xx 1 x2 4，|x|9. 已知函数 fx a 1 .(1) 求证：函数 y fx在0， 上是增函数；(2) 如 f x&l

17、t;2x 在1， 上恒成立，求实数a 的取值范畴11证明：当 x 0， 时， fx a x，设 0<x1<x2，就 x1x2>0，x2 x1>0.1111x1 x2fx1 fx2 a x1 a x2x2x1x1x2 <0. fx1<fx2，即 fx在 0， 上是增函数12解：由题意 a x<2 x 在1， 上恒成立，设 hx 2x1a<hx在 1， 上恒成立 x，就 hx 2 1 ， x 1， ， 2 1 >0，x2x2 hx在1， 上单调递增故 ah1 ，即 a3. a 的取值范畴为 ，3 10. 已知 fx x2 ax 3 a，如 x

18、2,2 时， fx 0 恒成立，求 a 的取值范畴 解：设 f x的最小值为 ga，就只需 ga 0，.由题意知， fx的对称轴为 a2a71当 2< 2，即 a>4 时， ga f 2 7 3a0，得 a3.又 a>4，故此时的 a 不存在aaa22当 2 2,2，即 4a4时， gaf 2 3a 4 0得 6a 2.又 4a4，故 4a2. a3当 2>2，即 a< 4 时， ga f2 7 a0得 a 7.又 a<4，故 7a<4.综上得所求 a 的取值范畴是 7a2.11已知 fx是定义在 1,1 上的奇函数，且 f 1 1，如 a， b 1,1 ， ab0时，fafb有0 成立ab1判定 fx在 1,1 上的单调性，并证明它；112解不等式： fx2< fx 1；m3如 f x 2 2am 1 对全部的 a 1,1 恒成立，求实数 m 的取值范畴 解： 1任取 x1，x2 1,1 ，且 x1<x2，就 x2 1,1 ， fx为奇函数， fx1fx2fx1fx1fx2fx2fx1 x1fx2x2x1x2由已知得x1x20 ，x1x 2<0， fx