天津市高三数学总复习之综合专题：圆锥曲线(理)(教师版)

1、圆锥曲线（理）考查内容：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想，考查运算和推理能力。1、长度为a（a 。）的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且uurAPuurPB （为常数且 。）。(1)求点P的轨迹方程C,并说明轨迹类型;(2)当 2时，已知直线11与原点O的距离为与，且直线11与轨迹C有公共点,2求直线ll的斜率k的取值范围。解：（1）、uuu设 P（x,y）、A（x。，。）、 B（0,y。），则 APuurPBxo(VoxV)xoV。(11）x,由此及|AB|

2、 a22x。y。a2,得(1 )x221y2 y_当。1时,、八1万程的轨迹是焦点为（由一a,0）,长轴长为1时，方程的轨迹是焦点为 。,a ,长轴长为a的椭圆;1时，方程的轨迹是焦点为以。点为圆心，!为半径的圆（2）设直线I的方程：ykx据题意有-JhL1 ky kx h由29 29x - y 4得9(1k24)x29一 khx29h240 ,因为直线11与椭圆9x2有公共点，所以9(4 k2)a2 81h20又把h山k2代入上式得:2、k235O5（1,。）,（1,。）。 3已知椭圆C经过点A （1-）,两个焦点为(1)求椭圆C的方程;(2) E, F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜

3、率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。22解：(1)由题意，c 1,可设椭圆方程为J31,1 b2 b219:A在椭圆上，. 一2 2 1,解得b2 3, b21 b24b23 (舍)22椭圆C的方程为上y-43(2)设AE的方程为:a22y k(x 1)-,代入上y-1得:24322_32_(3 4k )x 4k(3 2k)x 4(一 k) 12 20,设 E (xe,Ye) , F (xf, yF),3 ,丁点A (1,-)在椭圆上,XE3-2324kk3 -2kxF W k2直线EF的斜率kEFVf yEk(xE xF) 2kxfxexfxe又直线AF的斜率

4、与AE的斜率互为相反数，在上式以4(F1、设3F0、，F23他别喝椭圆0 k)2 12可得 xf x2, Vf3 4k2即直线EF的斜率为定值1。1的左、右焦点。2(1)若P是该椭圆上的一个动点,UJLr ULW求PF1 PF2的最大值和最小值;(2)设过定点M (0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B ,且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围。解：(1)依题易知a 2,b 1,c 73,所以F1亚0 , F2百0，设 P x,y ,uuur LULL_222x2贝U PF1 PF23 x, y , 3 x, y x y 3 x 1 一43 - 3x2 84unr

5、uurn因为X 2,2 ,故当x 0,即点P为椭圆短轴端点时，PFi PF2有最小值一2uur uuur 一 ，一2,即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值1。(2)显然直线X 0不满足题设条件，可设直线l:y k(x 2),A Xi,yi ,B X2, yyiy2uuu 又OAy2 X 7X24kk(x 2)y2 1，消去y ,整理得:4k,X1k2 142 kX2X2k24k2, 2k X1X?2kk20得:X1 X22,x 4kX3k28k2k2k2k2k2uurOBX1X2 V1V2k20,k24,k 2;k2故有2 k、.3 T 3或22k 2。4、已知椭圆的中心在坐标原点

6、O ,焦点在X轴上，椭圆的短轴的端点和焦点所组成的四边形 是正方形，且两准线间的距离为 4(1)求该椭圆的方程；(2)若直线l过点P 0,2 ,且与椭圆交于不同的两点 A,B,当AOB面积取得最大值时，求该直线l的方程，并求出 AOB面积的最大值。解：fii整用跚肾8刑为工b>0J. 一 (T b*出+6 = Q.> -1 + 2*jr_77ME lu Jg，)但+工尸-如卬=J盘二2九I «.n*点时门拄/的西离为d - jj1学=修三r咚二 而脱的后 内-JT73吗忖便啷E一=> m 2=Jt土特ff £" A 时22【修宦解法学期U上再分花

7、市4k2 2,Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M (0, m)。(1)求实数端的取值范围;(2)求MPQ面积的最大值。解：(1)设直线l的方程为y kxy2y2kx1, 可得(k2 2)x2 2kx 1 0o1,设 P(xi,yi), Q(x2, y2),贝 为X22kk2 2 'X1X2可得 y1 y2 k(Xf x2) 2设线段PQ中点为N ,则点N的坐标为(,。), k2 a2, b2 a2 c24.故椭圆的方程是人 2y- 1(4).o (2)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y k(x 1).y0x0 2技 k( 1),设点F(2,0)关于直

8、线l的对称点为F (刈，y。),则22» k 1X0 2 2 k2 22m 2 由题意有kMN k 1,可得k一2 k 1。kk2 2一 11.1可得m -，又k 0,所以0 m 一k 22 一 一 .1T(2)设椭圆上焦点为F ,则S MPQ - FM x1 x2 J2m(1 m)所以MPQ的面积为d2而i(1m)3 , 0 m g ;1 、设f (m) m(1 m)3 ,则f'(m) (1 m)2(1 4m),可知f (m)在区IC (0,-)单调递增,在区间 41 1 一 ,一 ,1 ,.一 ,一 127(一,一)单调递减。所以，当 m 时，f(m)有取大值f () o

9、4 2442564)。的取值范围。所以，当m 1时，MPQ的面积有最大值 运。 4166、已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 F(2,0),且两准线间的距离为(1)求椭圆的方程；(2)若存在过点A 1,0的直线l ,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求22.解：(1 )设椭圆的方程为今 41(a b 0).由条件知c 2,且召-,所以 a bcXo解得V。2222k 22，(-2)2 (2)21 k ,因为点F'x°,y。在椭圆上，所以1.2k41 k2即(4)k4 2 (6)k2 (4)20.2 (6) 2-4 (4)3,2 (6)。()(4).设 k2 t,则(4)t2 2

10、 (6)t (4)2 0.因为 4,所以(4)-0.,于是，当且仅当(4)16上述方程存在正实根，即直线l存在，解得 W, 46.所以4.,即3227、设椭圆C：Xy V2 a b的取值范围是41631(a b 0),过点M (点1),且左焦点为Fi( 72,0)。(1)求椭圆C的方程；(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q ,满足AP QB AQ PB。证明：点Q总在某定直线上。解析：本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。解：(1)依题:C22,2 12a b22c a1,解彳3

11、a2b2.(2)设点QLUTAPJUJ-PBx,yUULT AQ -jjuu- QB4, b2,A X1, yi , B X2, v-,由题设知uuu又A,P, B,Q四点共线，从而APJUT UULTPB, AQ2 ,所求椭圆方程为UUJAPuuuHJLTuuir于是4 2X强,1丛一y-, xX1X-uuuQBV12工1。2均不为零,22 22 2 2从而A 4x；$2y2 y 11又点A,B在椭圆C上，即x； 2y2 4，x2 2y2 42并结合，得4x 2y 4,即点Q(x, y)总在定直线2x y 2 0上。8、椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2衣，相应于焦点F(c,0)(c 0)的

12、准线l与x轴相交于点A, OF 2FA ,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点。(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若Op OQ 0,求直线PQ的方程。(3)设AP AQ (0),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点 M ,证明FM FQ 。解：(1)椭圆的方程为 W 4 1,离心率e 巫 623(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线PQ的方程为yk(x 3).由方程组22xyd12 G 2262 ，行(3k1)xy k (x 3)18k2x27k26 0.12(2 3k2) 0,得正 k3_ 218k2设 P(K,y1),Q(x2,y2),则 x x2 y3k Ixi.x2由直线PQ

13、的方程得y k(xi 3),y2 k(x2 3).于是 yy2 k2(x1 3)(x2 3) k2x1x2 3(x1 x2) 9OP OQ 0, x1x2y1y20.0由得5k2 1,从而k ( 6,). 533所以直线PQ的方程为x 75y 3 0或x屈3 0.(3)证明：AP(x13,y)AQ(x23,y2)。由已知得方程组Xiy12 x1 -62 乂2 -63 (x23),y2,2 y1 222 y21,注意1 ,解得x251"-2，1.因为 F(2, 0), M (xi,y1) ，故 FM(x1 2, y1)3) 1, yi)1、，1、(,y)(, Y2)。22而 FQ (X

14、2 2, y2)y)，所以FMFQ o9、已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fi( 3,0), 一条渐近线的方程是V5x 2y 0O(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k 0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M ,N ,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81,求k的取值范围。2解：(1)设双曲线C的方程为22xy22ab1(a 0, b 0),b2 * 4由题设得b 59,解得2 ab24,5.2y_51；(2)解：设直线l的方程为ykx m(k0)，点 M(X, %),N(X2, y2)的坐标满足方程组y2 x4kx m2y51.将式代入式，得士(kx m)2

15、 .1，整理得(5 4k2)x 8kmx 4m2 20 0,此方程有两个不等实根，于是5 4k2 0222且 (8km) 4(5 4k )(4m20) 0 ,整理得m2 5 4k2 0由根与系数的关系可知线段 MN的中点坐标(X0, y0)满足汽yokx0m5m从而线段MN的垂直平分线的方程为y5m5 4k21 4kmx2k 5 4k此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 emQ , 0,-mT , 5 4k25 4k2由题设可得-29 km5 4k29 m5 4k2c (5 4k2)2,整理得 m2 3)- , k 0 ,k2、2将上式代入式得(5 4k)5 4k2 0 ,k54'500

16、 o4整理得(4k2 5)(4k2 k 5) 0 , k 0,解得0 k所以k的取值范围是2210、在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b) (a b 0)为动点，F-E分别为椭圆)2当 1的 a b左右焦点，已知 F1PF2为等腰三角形。(1)求椭圆的离心率e；uuur uuuu(2)设直线PF?与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF?上的点，满足AM BM 2 ,求点M的轨迹方程。.二:器嬴MS蜘可喇聃1丽$ 明;山丽喈二千。无"Q或另.加il)N： I > iud 卜&. 我|怖网J,，为k：.打二m I*俄PF：斤H打八知C我州小满WM庐*，f3f ' &

17、#39;d'i rJiW-m八如也Wj NMlLIxf - I6VJ11 *J5 = 0.对:口 UllS二r .| t r | » ,1INh3Vl力C迎二.所以】M啾”邮镣肝选乐T"*MM .训.22a11、已知椭圆x2 A 1(a b 0)的离心率e黄，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 a b2(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点A的坐标为(a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA QB 4 ,求y0的值。2解：(1)椭圆的方程为y2 1川)解：由9明知%力 映门点的坐标为5山, f网的斜率为匕则 白翔7

18、的方脚为V = *fx+2).1是上6西点的坐标祸是疔程继. 2 丁 '由方程蛆消去尸并假理，得11，4*'N?十1$+ '4十(1七尸 4)°由一"尸曾.用 寸洋皿=靛设蚯成AB的中点为Af *则M的坐标为以下分两神情况:当人。时，点日的坐标为已。)，线没神的魂直平分线为了轴足 福=(-2.一为bqS =(X-yQ)由冰磁=4，用为=±2&"令jr=O.物得为二+4k2由 Q% = ( 2,此)。1=5、M M),t r、-2(2-麓:九QA QS= -ar, - j0(Fi-城=布后一6匕6k1+4*a*阳。15必-1

19、)(i+4Jt4r整理得= 故£ = 土耳.所以将二士名春 绘上，% = ±25或此=土邛*2X12、已知椭圆X2a24 1(a b 0)的两个焦点分别为Fi( c,0)和F2(c,0)(c 0), b. a . 一过点E(一,0)的直线与椭圆相父与 A,B两点，且F1A/F2B, F1A 2 F2B(1)求椭圆的离心率;(2)* 0时，技段AB的垂H平分域方移为F -(2)求直线AB的斜率；(3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n), m 0,在AFC的外接圆上，求n的值。m解：(1)依题意，整理，得a2 3c2,故离心率e 2叵 a 3 (2)由

20、(1)得b2 a2 c2 2c2,所以椭圆的方程可写为2x2 3y2 6c22设直线AB的方程为y k x亘，即y k(x 3c)y k(x 3c)_2222x 3y 6cc由已知设A(Xi,yi),B(X2,y2),则它们的坐标满足方程组消去 y 整理，得(2 3k2)x2 18k2cx 27k2c2 6c2 0依题意，48c2(1 3k2) 0,得遮 k 遮33而 xi x218k2c2 3k227k2c2 6c22 3k2由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1 3c 2x29k2c 2c9k2c 2c，联立解得x19kc2c，x22c将XjX2代入中,2 3k2 3k解得k ; 33c

21、(3)由(2)可知 0,x2 3c2当k 近时，得A(0,&c),由已知得C(0, V2c) 3线段AF1的垂直平分线l的方程为y c x c222由题可知，直线l与x轴的交点|,0是AFC外接圆的圆心, 因此外接圆的方程为(x c)2 y2 9 c224.?直线F2B的方程为y 72(x c),于是点H (m, n)(m 0)的坐标满足方程组2 c m -2n 2(m9c24 ,由m0,解得c)5 c32 22.c3+，n2/2故m 5上时，同理可得n32.2可。2y- 1(a b b20)的左、右焦点分别为F1F2, A是椭圆上的一点,AF2F1F2,原点。到直线AF1的距离为1 OF13(1)证明a 回；(2)设Qi, Q2为椭圆上的两个动点OQ1OQ2过原点。作直线Q1Q2的垂线OD求点D的轨迹方程。(1)证明：由题设AF2FiF2及 Fi(c, 0), F2(c, 0),不妨设点A(c, y),其中y 0.由于点A在椭圆上,从而得到Ab2c, a整理得b2 x 2acy2b2 1.直线AF的方程为b2 (、y (x c),2ac2b c 0.1c由题设,原点。到直线AFi的距离为31OF11,即3b2cb4 4a2