专题四,第二讲点、直线、平面之间的位置关系

1、登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 1 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网专题四：立体几何专题四：立体几何第二讲第二讲 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系【考纲解读考纲解读】21 世纪教育网1理解空间直线与平面位置关系的定义。2了解可以作为推理依据的公理和定理。3认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。4能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。高频考点一：线线、线面的位置关系高频考点一：线线、线面的位置关系方法指导：方法指导：1解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直

2、、线面平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。2证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理 4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。3证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质4证明线面垂直的方法有：（1）定义；（2）判定定理；例 1.（2012 年高考（湖南理） ） 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E 是 CD 的中点.()证明:CD平面 PAE;()若直线 PB 与平面 PAE 所

3、成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 2 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网【解析】 解法 1(如图(1),连接 AC,由 AB=4, 3BC 905.ABCAC, 得E 是 CD 的中点,所以 5,AD 又.CDAE所以 ,PAABCD CDABCD平面平面.PACD而内的两条相交直线,所以 CD平面 PAE. ,PA AE是平面PAE()过点 B 作 ,.BGCDAE ADF GPF 分别与相交于连接由()CD平面 PAE 知,BG平面 PAE.

4、于是为直线 PB 与平面 PAE BPF所成的角,且. BGAE由知,为直线与平面所成的角. PAABCD 平面PBAPBABCD由题意,知 4,2,ABAGBGAF,PBABPF 因为所以 sin,sin,PABFPBABPFPBPB.PABF由所以四边形是平行四边90/ /,/ /,DABABCADBCBGCD 知，又BCDG形,故于是 3.GDBC2.AG 在中,所以 RtBAG4,2,ABAGBGAF 222168 52 5,.52 5ABBGABAGBFBG于是 8 5.5PABF又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 ABCD1(53) 416,2S PABCD 118 5128 516

5、.33515VSPA解法 2:如图(2),以 A 为坐标原点,所在直线分别,AB AD AP为建立空间直角坐标系.设则相关的xyz轴，轴，轴,PAh各点坐标为: (4,0,0), (4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0), (0,0, ).ABCDEPhABCDPE图图 xyz345h登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 3 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网 ()易知因为 ( 4,2,0),(2,4,0),(0,0, ).CDAEAPh 所以而是平面8800,0,CD AECD AP ,.CDAE CDA

6、P,AP AE内的两条相交直线,所以 PAE.CDPAE 平面()由题设和()知,分别是,的法向量,而 PB 与 ,CD AP PAE平面ABCD平面所成的角和 PB 与所成的角相等,所以 PAE平面ABCD平面 cos,cos,.CD PBPA PBCD PBPA PBCDPBPAPB , 即由()知,由故 ( 4,2,0),(0,0,),CDAPh (4,0,),PBh 222160000.162 516hhhh解得. 8 55h 又梯形 ABCD 的面积为,所以四棱锥的体积为 1(53) 4162S PABCD. 118 5128 51633515VSPA【点评】本题考查空间线面垂直关系

7、的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由算PACD13VSPA得体积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积. 高频考点二：面面位置关系高频考点二：面面位置关系方法指导：方法指导：1证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可。从而将面面平行转化为线面平行，再转化为线线平行。 2证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决。登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21

8、 世纪教育网 精品资料第 4 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网例 1（2012 年高考（江苏） ）如图,在直三棱柱中,分别是棱111ABCABC1111ABACDE，上的点(点 不同于点),且为的中点.1BCCC，DCADDEF，11BC求证:(1)平面平面;ADE 11BCC B(2)直线平面.1/AFADE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面平行与面面垂直，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。21 世纪教育网【思路分析】(1)要证平面平面,只要证平面上的平面ADE 11BCC BADEAD 即可.它可由已知是直三

9、棱柱和证得. 11BCC B111ABCABCADDE(2)要证直线平面,只要证平面上的即可. 1/AFADE1AFADEAD【答案】证明:(1)是直三棱柱 ,平面. 111ABCABC1CC ABC又平面,. AD ABC1CCAD又平面,平面. 1ADDECCDE，111BCC BCCDEE，AD 11BCC B又平面,平面平面. AD ADEADE 11BCC B(2),为的中点,. 1111ABACF11BC111AFBC又平面,且平面,. 1CC 111ABC1AF 111ABC11CCAF又平面,平面. 111 CCBC ，11BCC B1111CCBCC1AF 111ABC由(1

10、)知,平面,. AD 11BCC B1AFAD又平面平面,直线平面 AD 1, ADEAF ADE1/AFADE【方法技巧】1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线和哪个平面垂直。2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线与平面内的两条相交直线都垂直。高频考点三：与折叠有关的问题高频考点三：与折叠有关的问题2121 世教育网育网登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 5 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网【试题预测试题预测】1空间图形的折叠问题是近几年高考命题的一个新的亮点,

11、它通常与其他知识相结合,能够较好地考查学生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力。2选择题、填空题、解答题均可出现，尤其解答题为多，属中高档题。例 1（2012 年高考（湖北理） ）如图 1,45ACB,3BC ,过动点 A 作ADBC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿AD将ABD折起,使90BDC(如图 2 所示). ()当BD的长为多少时,三棱锥ABCD的体积最大;()当三棱锥ABCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN BM,并求EN与平面BMN所成角的大小.【考点分析】:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值

12、,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析: ()解法 1:在如图 1 所示的ABC中,设(03)BDxx,则3CDx. 由ADBC,45ACB知,ADC为等腰直角三角形,所以3ADCDx. 由折起前ADBC知,折起后(如图 2),ADDC,ADBD,且BDDCD, 所以AD 平面BCD.又90BDC,所以11(3)22BCDSBD CDxx.于是 1111(3)(3)2 (3)(3)33212A BCDBCDVAD Sxxxxxx 312(3)(3)21233xxx, 当且仅当23xx,即1x 时,等号

13、成立, 故当1x ,即1BD 时, 三棱锥ABCD的体积最大. 登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 6 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网解法 2: 同解法 1,得321111(3)(3)(69 )3326A BCDBCDVAD Sxxxxxx. 令321( )(69 )6f xxxx,由1( )(1)(3)02fxxx,且03x,解得1x . 当(0, 1)x时,( )0fx;当(1, 3)x时,( )0fx. 所以当1x 时,( )f x取得最大值. 故当1BD 时, 三棱锥ABCD的体积最大. ()解法 1:以D为原点,

14、建立如图 a 所示的空间直角坐标系Dxyz. 由()知,当三棱锥ABCD的体积最大时,1BD ,2ADCD. 于是可得(0, 0, 0)D,(1, 0, 0)B,(0, 2, 0)C,(0, 0, 2)A,(0, 1, 1)M,1( , 1, 0)2E, 且( 1, 1, 1)BM . 设(0, ,0)N,则1(,1,0)2EN . 因为ENBM等价于0EN BM ,即 11(,1, 0) ( 1, 1, 1)1022 ,故12,1(0, 0)2N. 所以当12DN (即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,ENBM设平面BMN的一个法向量为( , , )x y zn,由,BNBM nn 及1

15、( 1,0)2BN , 得2 ,.yxzx 可取(1, 2,1)n. 设EN与平面BMN所成角的大小为,则由11(, 0)22EN ,(1, 2,1)n,可得 1|1|32sincos(90)2| |262ENENnn,即60. 故EN与平面BMN所成角的大小为60 . 21 世纪教育网登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 7 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网解法 2:由()知,当三棱锥ABCD的体积最大时,1BD ,2ADCD. 如图 b,取CD的中点F,连结MF,BF,EF,则MFAD. 由()知AD 平面BCD,所以MF

16、 平面BCD. 如图 c,延长FE至 P 点使得FPDB,连BP,DP,则四边形DBPF为正方形, 所以DPBF. 取DF的中点N,连结EN,又E为FP的中点,则ENDP, 所以ENBF. 因为MF 平面BCD,又EN 面BCD,所以MFEN. 又MFBFF,所以EN 面BMF. 又BM 面BMF,所以ENBM. 因为ENBM当且仅当ENBF,而点 F 是唯一的,所以点N是唯一的. 即当12DN (即N是CD的靠近点D的一个四等分点),ENBM. 连接MN,ME,由计算得52NBNMEBEM, 所以NMB与EMB是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取BM的中点G,连接EG,NG,

17、 则BM 平面EGN.在平面EGN中,过点E作EHGN于H, 则EH 平面BMN.故ENH是EN与平面BMN所成的角. 在EGN中,易得22EGGNNE,所以EGN是正三角形, 故60ENH,即EN与平面BMN所成角的大小为60 . 【方法技巧】登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 8 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后

18、的图形，也要分析折叠前的图形。【真题训练真题训练】一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）21 世纪教育网1.（2013 年高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为,那AB CDA,m n么mn（）A8B9C10D11【答案】A 2.（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,

19、则得到正视图可以为 （）ABCD3.（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）在下列命题中,不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线4.（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）在空间中,过点作平面的垂线,A登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 9 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网垂足为,记.设是两

20、个不同的平面,对空间任意一点,B)(AfB,P,恒有,则 （）)(),(21PffQPffQ21PQPQ A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 045C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为0605 （2012 年高考（四川理） ）下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行6 （2012 年高考（上海春） ）已知空间三条直线若 与异面,且 与异面,则 .lmn、lmln（

21、）A与异面.B与相交.mnmnC与平行.D与异面、相交、平行均有可能.mnmn7（2012 年高考（陕西理） ）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,111ABCABC,则直线与直线夹角的余弦值为（）12CACCCB1BC1ABABCD55532 55358（2012 年高考（江西理） ）如图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0 x1),截面下面部分的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图像大致为登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网

22、精品资料第 10 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网二、填空题（每小二、填空题（每小题题 5 5 分，分，共共 2525 分）分）21 世纪教育网9（2013 年上海市春季高考数学试卷）在如图所示的正方体中,异面直线1111ABCDABC D与所成角的大小为_1AB1BCD1C1B1A1DCAB10（2012 年高考（上海理） ）如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。若AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最大值是 _ .11（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知某一多面体

23、内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2的正方形,则该球的表面积是_ABCD登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 11 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网 12（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理） ）已知圆和圆是球的大圆和小圆,其OKO公共弦长等于球的半径,且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为O32OK OK,则球的表面积等于_.60O 13（2013 年高考北京卷（理） ）如图,在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线

24、段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.21 世纪教育网三、解答题（三、解答题（1414 题题 1515 分，分，1515 题题 1010 分，分，1616 题题 1010 分，共分，共 3535 分）分）14（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,在四面体中,BCDA平面,.是的中点, 是的中ADBCD22, 2,BDADCDBCMADPBM点,点在线段上,且.（本题 15 分）QACQCAQ3(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小./PQBCDDBMC060BDC登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品

25、资料第 12 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网15.（2013 年上海市春季高考数学试卷）如图,在正三棱锥中,异面直111ABCABC16AA 线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积.(10 分)1BC1AA6B1A1C1ACB16.（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） ）（本小题满分 10 分）.如图,在三棱锥中,平面平面,过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A,垂足为,点分别是棱的中点.SBAF FGE，SCSA，求证:(1)平面平面; (2). 21 世纪教育网/EFGABCSABC 【参考答案参考答案】21 世纪教育网登陆登陆2121世纪教

26、育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 13 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网一、选择题一、选择题 1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A,二、填空题二、填空题21 世纪教育网9. 310. 解析 作 BEAD 于 E,连接 CE,则 AD平面 BEC,所以 CEAD, 由题设,B 与 C 都是在以 AD 为焦距的椭球上,且 BE、CE 都 垂直于焦距 AD,所以 BE=CE. 取 BC 中点 F, 连接 EF,则 EFBC,EF=2, 1221BEEFBCSBEC四面体 ABCD 的体积,显然,当 E 在 AD 中点,即 1

27、23231BESADVcBECB 是短轴端点时,BE 有最大值为 b=,所以. 22ca 12232maxcaVc11. 12. 13. 12162 55三、解答题三、解答题21 世纪教育网14. 【答案】解:证明()方法一:如图 6,取的中点,且是中点,所以MDFMAD.因为是中点,所以;又因为()且3AFFDPBM/ /PFBD3AQQC,所以,所以面面,且面,所以3AFFD/ /QFBD/ /PQFBDCPQ BDC面; / /PQBDCADBEC登陆登陆2121世纪教育世纪教育 助您教考全无忧助您教考全无忧21 世纪教育网 精品资料第 14 页 （共 16 页） 版权所有21 世纪教育网方法二:如图 7 所示,取中点,且是中点,所以;取的三BD