数量积的物理意义与定义

1、青岛开发区致远中学青岛开发区致远中学 郝文学郝文学 课本、学案、笔记本、练习课本、学案、笔记本、练习本等工具，更重要还有你本等工具，更重要还有你投入课堂的自信与激情。投入课堂的自信与激情。课前准备课前准备向量的线性运算向量的线性运算: 向量的加法向量的加法 向量的减法向量的减法 实数与向量的乘法实数与向量的乘法 运算结果运算结果向量向量向量向量向量向量创设情境创设情境 s FcosFSW创设情境创设情境一、力做功的计算一、力做功的计算向量 和向量 的夹角FS a ，b=b ，a探究新知探究新知baBbOAa 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb ,a b 记 作规定

2、：规定：0 1、两个向量的夹角、两个向量的夹角则则AOB称作向量称作向量a和向量和向量b的夹角的夹角,1.求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点共起点；OAaBbBbaOAAaOBb a ，b=0时, a、b同向；a ，b=时，a、b反向；规定：规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直零向量与任意向量垂直.两点说明两点说明:2.特别地：BbOAa探究新知探究新知a ，b= 时， a b. 2如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12

3、060C120D探究新知探究新知 正射影的正射影的数量数量cosFSWcosF向量向量 在向量在向量 方向上的方向上的正射影正射影FSFS探究新知探究新知什么是向量在轴上的正射影？什么是向量在轴上的正射影的数量呢？阅读课本108页,看图回答问题。cos,laaa l 向量向量a 在在l上的正射影是什么？向量上的正射影是什么？向量a 在在l上的正射上的正射影的数量是什么影的数量是什么?怎样表示？怎样表示？a1AaA1O1lxO2、向量在轴上的正射影、向量在轴上的正射影向量向量a在向量在向量b上的数量怎样表示上的数量怎样表示探究新知探究新知 已知轴已知轴l,如图如图在在，求，求（1）向量）向量上的

4、正射影的数量上的正射影的数量5,60OAOA l OA l1OA；ABOB1A1l12060（2）向量）向量5,120 ,OBOB l 求求OB 在在l上的正射影的数量上的正射影的数量1;OB1155cos60522OA解：解： （1） 15cos1205cos6015522OB （2）巩固概念巩固概念上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8| ,4|2 3024巩固概念巩固概念bababa,cos cosFSWFS探究新知探究新知即：即：cos,aba ba b （1）这是一种新

5、的运算法则，“.”不能省略不写， a b不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算 3、向量的数量积（内积）定义、向量的数量积（内积）定义abab记作记作定义定义cos,a ba b 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，我们把数量，我们把数量叫作向量叫作向量 和和 的数量积（或内积），的数量积（或内积），ab （2）向量向量 a 与与b 的数量积等于的数量积等于 与与的积的积.几何意义几何意义注意注意:探究新知探究新知规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0ba ba 的范围 的符号 00 ,909090 ,180 小组讨论小组讨论讲授新课讲授新课向量的数量积运算

6、与线性运算的结果有什么不同？请完成下表：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？请完成下表：请同学们用一句话来概括功的数学本质：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移功是力与位移的数量积的数量积+0_判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=02.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b03.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a、b至少有一个为至少有一个为5.若若a0,且且a b=a c,则则b=c.巩固概念巩固概念0做一做：做一做：典例分析典例分析小组合作探究讨论交流展评例例1

7、 1、例、例2 2及其跟踪练习及其跟踪练习例例1已知已知| |=5，| |=4， ，求，求 .,120a b 典例分析典例分析练习练习1. 课本课本109页练习页练习A,18,7,60BCCAC BC CA 求求练习练习2.在在ABC中中ABC8760 120 答案：答案：-28跟踪练习：跟踪练习：abab例例2.课本109页练习A,2的夹角与求，bababa284|4|典例分析典例分析跟踪练习：跟踪练习：设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|)1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向时，与当

8、|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| cos| cosabababab 课堂小结课堂小结1谈谈本节课的收获？（用你自己的语言总结）谈谈本节课的收获？（用你自己的语言总结）2对你来说本节课的难点在哪里？你还有哪些疑惑？对你来说本节课的难点在哪里？你还有哪些疑惑？课后作业课后作业1课本课本109页页 练习练习B, 1、2 2教辅资料中的相关题目。教辅资料中的相关题目。数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学使人智慧数学使人智慧 三三.向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影 （1）概念：）概念： 已知向量已知向量a和轴和轴l，作，作 =a，过点，过点O，A分别作轴分别作轴l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为O1，A1，则，则向量向量 叫做向量叫做向量a在轴在轴l上的正射影上的正射影. OA1 1 O A讲授新课讲授新课（2）正射影的数量：）正射影的数量：cosla a讲授新课讲授新课 向量向量a的正射影在轴的正射影在轴l上的坐标，称作上的坐标，称作a在轴在轴l上的数量或在轴上的数量或在轴l方向上的数量方向上的数量. 记作记作: al向量向量a的方向与轴的方向与轴l的正方向所成的角为的正方