几何最值问题解法探讨

1、【2016年安徽中考攻略】年安徽中考攻略】专题：几何最值问题解法探讨专题：几何最值问题解法探讨2016.5.18谈其祥谈其祥安徽中考链接：安徽中考链接：（2011安徽省第安徽省第22题题12分）分）在ABC中，ACB90，ABC30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0 180)，得到A1B1C(1)如图1，当ABCB1时，设A1B1与BC相交于点D证明：A1CD是等边三角形；(2)如图2，连接AA1、BB1，设ACA1和BCB1的面积分别为S1、S1求证：S1 S21 3；(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，ACa，连接EP当 时，EP的长度最大，最大值为 （2015安徽

2、省第安徽省第20题题10分）分）在 O中，直径AB6，BC是弦，ABC30，点P在BC上，点Q在 O上，且OPPQ (1)如图1，当PQAB时，求PQ的长度； (2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值AABBCCPPQQOO第20题图1第20题图2安徽中考链接：安徽中考链接：知识背景 在几何图形的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决策略 解决几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用轴对称的性质求最值；（3）应

3、用垂线段最短的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。今天我们首先来研究前两类。一、应用两点间线段最短公理（含应用三角一、应用两点间线段最短公理（含应用三角形的三边关系）求最值：形的三边关系）求最值： 例例1.如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】 A B C D215145552ACBOMNDE【点评【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 变式训练:将矩形

4、改为边长为2的等边ABCACBOMN例例2. 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的 直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且 PC= BC一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表 面爬行到点P的最短距离是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm6(4)3 523【点评】此题主要考查了几何体的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图 二、应用轴对称的性质求最值：二、应用轴对称的性质求最值： 古希腊著名的古希腊著名的“将军饮马问题将军饮马问题”： A为马厩，为马厩，B为军营，将军某一天要为军营，将军某一天要从马厩牵出马，先到河边给马饮水，然后回到军营。请你帮助他确定

5、这一天从马厩牵出马，先到河边给马饮水，然后回到军营。请你帮助他确定这一天的最短路线。本问题可归纳为的最短路线。本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的最小值”的问题的数学模型。的问题的数学模型。例例1.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中 点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小 值为 【点评】本题主要考查了轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。 例例2.如图，MN为 O的直径，A、B是 O上的两点， 过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为 DC上的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则 PA

6、PB的最小值是。【点评】本题主要考查了轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。 例例3. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长 为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距 离为 cm【点评】本题主要考查了圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 本节小结：本节小结： 本节课通过对几何最值问题的解法探讨，本节课通过对几何最值问题的解法探讨，掌握了哪两类问题的解法？掌握了哪两类问题的解法？ 一是应用两点间线段最短公理求最值；一是应用两点间线段最短公理求最值； 明天我们还将继

7、续探讨其他类型的几明天我们还将继续探讨其他类型的几何最值问题。何最值问题。二是应用轴对称的性质求最值，解决了二是应用轴对称的性质求最值，解决了将军饮马等重要问题。将军饮马等重要问题。 巩固作业巩固作业1.如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 2.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则BPG的周长的最小值是 3.如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则ABP的周长的最小值为 4.如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当AEF的周长最小时，则DF的长为【 】 A1B2 C3 D4第1题第2题第3题第4题5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、 BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值， 则这个最小值是 【 】 A3 B4 C5 D66.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，对角线AC平分BAD，点E在AB上，且AE=2（AEAD），点P是A