上海锐角三角比讲义

1、百度文库-让每个人平等地提升自我海伊教育学科教师辅导讲义6学员编号：学员姓名：张鸿敬 年 级：九年级 辅导科目：数学课时数：学科教师：高老师课题锐角三角比授课时间：2013 年10月25日备课时间：2013年10月25日教学目标(1)理解锐角三角比的概念。(2)会求特殊锐角(30°、45°、60° )的三角比的值。(3)会用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角三角比的值，利用计算器求 锐角的大小。(4)会解直角三角形。(5)理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解决有关的实际问题。重点、难点重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关几何计算。 难点

2、是解直角三角形的应用。授课方法联想质疑一一交流研讨一一归纳总结一一实践提高教学过程情景设置(知识导入)探索研究【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比(1) 定义：在直角三角形ABC中， A为一锐角，则/A的正弦=/A劣；寸边,即sinA=a 斜边c/ A的余弦=/ 边,即cosA= b ,斜边c/人的正切=/融”边,即tanA=a/A的邻边b/ A的余切=/A：邻.即cotA = a/A的对边b注：三角函数值是一个比值.定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。若 A为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0 sinA<1,0<

3、;cosA<1,tanA>0,cotA>0 。同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：tanA(cotA=1或tanA=1cot A2、特殊锐角的三角比的值(1) 特殊锐角(30° , 45° , 60° )的三角比的值三角函数角度正弦余弦正切余切0，010不存在30412V323A45°42 2 21160°巡 22在 390°1I 0 d不存在0(2) 同角，互余的两角多的三角比之间的关系：1倒数关系：tanA= cot A平方关系：sin2A+cos2A=1sin Acos A积商关系：tanA= ,cot A

4、cos Asin A余角和余函数的关系：0如果 A B 90，那么sinA=cosB, tanA=cotB (正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系)注意：求锐角三角比的值问题(1) 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。(2) 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。(3) 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个 锐角的直

5、角三角形。3、解直角三角形(1) 在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素(其中至少含有一条边)，求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。(2) 解直角三角形常用到的关系：锐角关系：A B 90022a x a,cot A bb,cot B ab .,tan A c三边关系：勾股定理：a ba,tan B ca SinA= ,cos A 边角关系：cb sinB= ,cos B c 111 直角二角形的面积：S ch ab absinC222(3) 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。(

6、4) 解直角三角形的类型有：已知两条边；已知一条边和一个锐角。(5) 解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形；已知一条直角边和一个锐角解直角三角形； 已知两边解直角三角形.注意：解直角三角形的方法：可概括为“有弦(斜边)则弦(正弦，余弦) ，无弦用切，宁乘勿除, 取原避中"。这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切 或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始 数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。4、解直角三角形的应用(1) 仰角和俯角视线和水平线所成的角中，视线

7、在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。(2) 坡角和坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用i标志，即i=h:l,通常坡度要写成1:m的形式，坡角的正切 是坡面的坡度。(3) 方向角一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角。北三、课堂练习例1已知Rt ABC中，/ C=90° , AC = 2, BC=3,那么下列各式中，正确的是“ 一2_2_2_2A、sin B -B、cosB - C、tan B -D、cot B 一3333【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。2_【思路点拨】根据题

8、目所给条件，可回出直角三角形，结合图形容易判断是/ B的正切值。3【答案】选Co【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。突破方法：这类题 本本身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少 错误的发生。例2某山路坡面坡度i 1： S99,某人沿此山路向上前进 200米，那么他在原来基础上升高了米.【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。120 1一 【思路点拨】坡度i 1: J399即坡角的正切值为 二，所以坡角的正弦值可求得等于399所以沿着山路前进 200米，则升高200 x1=10 （米）。【答案】填10。20【方法点拨】少

9、数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方法：牢记坡度1i 1:每9表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=,然后再结合直角三角形，可求、399出坡角的正弦值，从而容易求得结果。例3如图8-1 ,在4ABC中，/ C=90°,点D在BC上,BDAD = BC, cos/ ADC= 3 .5求：（1） DC的长；（2） sinB的值.【考点要求】本题考查锐三角比概念的相关知识及其简单运【思路点拨】（1）二.在 RtAABC 中，cosZADC = - = .CD., 5 ADCD=3k, AD =5k又. BC = AD,3k+4=5k,，k=2.，CD=3k=6(2)

10、BC=3k+4= 6+4=10, AC=JAD2 CD2=4k=8 ab = TAC2bc7 82 1022、41.sinB= ACAB82、414 4141【答案】(1) CD = 6; (2)4.41sinB=°41图 8-3-1【方法点拨】本题的关键是抓住AD =BC”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题.例4如图所示，秋千链子的长度为 3m,静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5m.秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53 ,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据：sin 53 =0.8, cos53 =0.6）【考

11、点要求】本题考查利用锐角三角比概念和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题.【思路点拨】设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A,百度文库-让每个人平等地提升自我B的铅垂线分别为 AQ BE点D, E在地面上，过 B作Bd AD于点C.在 Rt ABC 中，. AB 3, CAB 53 ,AC=3cos53 =3 0.6 =1.8 (mbCD 3 0.5 1.8 1.7 (m).BE CD =1.7 (m).【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7 m.【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE,但却缺少条件。突破方法：通过作辅助线，将B

12、E转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出用图 8-3-2AC,从而可求得CD的长。解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形。考点突破方法总结锐角三角函数与解直角三角形在近年的中考中，难度比以前有所降低，与课改相一致的是提高了应用的要求，强调利用解直角三角形知识解决生活实际中的有关测量、航海、定位等方面的运用。因此，在本专题中，有以下几点应加以注意。1 .正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。2 .在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直 观性。3 .能将实际问题转化为相关的直角三角

13、形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，禾1J 用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。4 .注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。四、 课后作业一、填空题1.如图，如果4APB绕点B按逆时针方向旋转 30°后得到、A P，B,且BP=2,那么PP，的长为7百度文库-让每个人平等地提升自我1148° .甲、乙两度.甲第3题图yA（不取近似值.以下数据供解题使用：sin15 =拆 后,cos15=。赤 亚） 442,用计算器计算： 遍知40© =,（精确到0.01）3 .如图

14、，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西4 .如图，机器人从 A点，沿着西南方向，行了个 4册单位，到达B点后观察到原点 O在它的南偏东60。的方向上，则原来 A的坐标为 （结果保留根号）5 .求值：sin260° +cos2606 .在直角三角形 ABC中，/ A=900 , BC=13, AB=12 ,那么 tanB 7 .根据图中所给的数据，求得避雷针 CD的长约为 m （结果精确的到 0.01m） .（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43 ° = 0.6802, si

15、n40° =0.6428, cos43° =0.7341, cos40° 0.7660, tan43 ° = 0.9325, tan40° = 0.8391)B 口A 第6题图8 .如图，自动扶梯 AB段的长度为20米，倾斜角A为“，高度BC为 米（结果用含a的三角比表不）.二、选择题9 .在4ABC 中，/ C=90°, AC = BC=1,则 tanA 的值是()C. 11D.210 .在RtAABC中，CD是斜边AB上的高线，已知/ ACD的正弦值是2 ,则空 的值是()A.B.C.D.11 .如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端

16、A到墙根O的距离为2米, 的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A, 子的底端A到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降梯子使梯到B ,那么BB ()B .大于1米C.小于1米D,不能确定12 .如图，延长 RtAABC斜边AB到D点，使BD = AB ,连结CD,若cot/BCD =3,则 tanA=()A. 3B, 12三、解答题13 .已知等腰梯形 ABCD中,AD +BC= 18cmsin/ABC = 273 ,5第12题题图AC与3 ABADOB G F C EBD相交于点O, /BOC=12°°,试求AB的长.D,在D14 .如图，河对岸有

17、一铁塔 AB .在C处测得塔顶A的仰角为30。，向塔前进16米到达处测得A的仰角为45。，求铁塔 AB的高.15 .如图，我市某广场一灯柱 AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m ,则BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆 ED,那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：sin 400.6428,cos400.7660,tg400.8391,ctg401.1918】章节检测答案1.正衣（点拨：连结、填空题PP- 过点 B 作 BDXPP7,因为/PBP/ =30°,所以/ PBD=15° ,利用sin15 =

18、而 品,先求出 PD,乘以2即得PP，） 42. 2.35AC与OC的长）所以/ A= / BDE ,AB(cm)2百度文库-让每个人平等地提升自我3. 48 （点拨：根据两直线平行，内错角相等判断）4. （0, 4 4J3）（点拨：过点B作BC± AO,利用勾股定理或三角函数可分别求得 35. 1 （点拨：根据公式 sin2 +cos2 =1）5AC6. -5-（点拨：先根据勾股定理求得AC=5,再根据tanB _AC求出结果）7. 4.86 （点拨：利用正切函数分别求了BD, BC的长）一BC8. 20sin （点拨：根据 sin ,求得 BC AB?sin ） AB二、选择题9

19、. C10. D11. C （点拨：利用勾股定理先求出AB的长，再求出BB的长）12. A （点拨：过点D作DELCB的延长线于点 E,易证得 ACB与4DEB全等,BC=BE。又因为 cot/BCD =3,所 CE=3DE ,所 tanA=tan / BDE= § ）2三、解答题13. 解：如图，作 DE /AC交BC的延长线于E,则四边形 ACED是平行四边形. .AD = CE, DE=AC,易证 ABC DCB .AC = DB, BD = DE .DBE为等腰三角形BE= BC+AD = 18cm分别过A、D作AGBC于G, DFBC于F / BDE = / BOC = 1

20、200,/ BDF = 600AG .BF= ；BE=9cm, AG = DF=343cm 在 RtAABG 中，sin/ABG =AG 3 3 AB = sin ABG 2 35答：AB的长是cm . 214. 在 RtABD中，. / ADB=45 , BD=AB在 Rt ABC中,/ ACB=30 ,BC=73 AB.12百度文库-让每个人平等地提升自我设 AB=x （米）, CD=16BC=x+16.，x+16= J3xx 168 J3 1 .即铁塔AB的高为8 J3 1米.,3 115. 在 R t BCD中， BD=5,. BC=5 tg 40 = 4.1955 =4.20.在 R

21、 t BCD43, BE=BC+CE= 6.20, DE= "BE 2 DB 2 = J38.44 25 = -63.44 7.96答：BC的长度约为4.20 m ,钢缆ED的长度约7.96 m .（若BC=4.1955暂不扣分，但是 ED的长度未保留三个有效数字扣1分）8.近三年上海中考数学关于锐角三角比题型年份考点分值2008 年锐角三角比的概念、坡度14 （8）2009 年锐角三角比的概念10 （5）2010 年锐角三角比的概念、解直角三角形24 （16）2008 （4 分）18.在 ZXABC 中，AB AC 5 , cosB那么线段AO的长等于.3 （如图6）.如果圆O的半

22、径为屈,且经过点B,5C,2008 （10 分）2421.（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上， 导致其中部分图形和数据看不清楚（如 图7所示）.已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形， A是OD与圆O的交点.图7EH（1）请你帮助小王在图 8中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆 O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中 i 1:0.75是坡面CE的坡 度），求r的值.2009(10 分)21.（本题满分10分，每小题满分各 5分）如图4,在梯形ABCD中，

23、AD / BC, ABDC8,B 60°, BC 12,联结 AC .(1)(2)求tan ACB的值；若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN,求线段MN的长.2010 （10 分）21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心 O出发，先沿北偏西67.4方向彳T走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆。上.（1）求弦BC的长；（2）求圆。的半径长.12八 。5八 。12、（本题参考数据:sin 67.4 = 13 , cos 67.4 =n,tan 67.4 = "5 )2010 （14

24、 分）25.如图9,在RtAABC中，/ ACB =90° .半径为1的圆A与边AB相交于点 D,与边AC相交 于点E,连结DE并延长，与线段 BC的延长线交于点 P.（1）当/ B = 30°时，连结 AP,若 AEP与 BDP相似，求 CE的长；(2)若 CE=2, BD=BC ,求/ BPD 的正切值；1(3)右tan BPD 一，设CE=x, ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式tan60 )09.课后考点巩固考点一、锐角三角比的概念：1 .在RtABC中，/ C=90°,那么 "等于 ().BC(A)tanA; (B)cotA ;(C)si

25、nA ;(D)cosA .2 . RtABC 中，/ C=90°,若 AC= a ,/A =，则 AB 的长为 ()a(A) a sin ；(B) a cos .( sin ；3 .如图，在 ABC 中，AB=2,AC=3,BC=4,则 tanC 的值是(A) 1 ； (B) 3；(C) 2;(D)以上都不是.243考点二、特殊锐角的三角比值:1 22cot 301 计算：(-)sin 60 (cos 45 )-j= 9(32 sin 45-22cos 30 sin 302tan 60 4sin 454cot 45 cos 45sin 60 3tan30 cos60(1 2 cot

26、45 ) cot 30考点三、锐角三角比的计算:1.如图，在 4ABC 中，AB=AC , BD、 CE tan ABC=.分别为两腰上的中线，且BDXCE ,则32.如图，矩形 ABCD 中，AB=3 , sin ACB 5使点B恰好落在对角线 AC上，记作B'.(1)求BE的长；(2)连接 DB ,求 cot /B' DC的彳1 .,E为BC边上一点，将 AABE沿AE翻折,AD3 .如图，等腰梯形 ABCD 中，AD / BC, / ADB=45° , 翻折梯形ABCD ,使点B重合于点D ,折痕分别交边 AB、BC 于 F、E,若 AD=6,BC=14,求：(

27、1) BE的长；(2) ZC的余切值.4 .如图，在 4ABC 中，/ACB=90°, AC=BC , P 是 4ABC 内一点，且 /APB= / APC=135 °.(1) 求证：CPAsapb；(2) 试求tan/PCB的值.考点四、仰角、俯角与坡度、坡角：1 .某飞机的飞行高度为 m,从飞机上测得地面控制点的俯角为，那么飞机到控制点的距离是.（用m与含 的三角比表示）2 .某山路的路面坡度为 1:4，5,若沿此山路向上前进 90米，则升高了 米.3 . 一个小球由地面沿着坡度1:2的坡面向上前进了 10米，此时小球距离地面的高度为 米.4 (D)-34 .修筑一坡度为3:4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么/ 的正切值是 （）.(A) 3；5考点五、解直角三角形及应用：1 .底角为15。，腰长为6的等腰三角形的面积是 .2 .如图，A, B , C三点在同一平面内，从山脚缆车站A测得山顶C的仰角为到1米)(1)45°,测得另一缆车站