数学模型其他模型PPT课件

1、13.1 废水的生物处理废水的生物处理 废水处理 (去掉有害的有机物) 通常有生物化学与物理化学两种方法.背景与问题背景与问题 生物处理 利用微生物(主要是细菌)的生命活动过程, 把废水中的有机物转化为简单的无机物. 已知废水中有害物质浓度为10-310-2g/m3, 要将浓度降至510-4g/m3以下, 需建立废水与微生物混合的处理池. 设废水将以10m3/h的流量进入处理池, 确定处理池的容积, 使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准.第1页/共61页模型假设模型假设 生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数2. 微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速率与有

2、害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g . h4. 处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合,排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同.3. 微生物的自然死亡率为常数 d=10-5/h1. 有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比，比例系数r1=0.1m3/g . hc(t) 时刻 t 有害物质的浓度b(t) 时刻 t 微生物的浓度第2页/共61页模型假设模型假设 生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数6. 进入处理池的废水中有害物质浓度为c0, c01 c0 c02, c01= 10-3g/m3, c02= 10-2g/m3, c0可以

3、改变, 最坏情况是c0由c01突然增加到c027. 环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=510-4 g/m3, 它是长期稳定排放的标准, 如果是短期排放并超标不大, 可以用处罚等方法解决.5. 忽略蒸发等因素, 废水进入处理池和排出处理池的流量均为常数Q=10m3/h; 废水满池, 池的容积为V第3页/共61页单池模型单池模型建立一个处理池 (t, t+ t) 内池内有害物质的平衡改变量 = 进入量 排出量 分解转化量)()(tcttcVttQctQc)(0ttctbVr)()(1c(t) 有害物质浓度b(t) 微生物的浓度V池的容积bcrccVQdtdc10)(t, t+ t) 内池内

4、微生物的平衡)()(tbttbVttQbttVdbttctbVr)()()()(2bVQdcrdtdb)(2Q流量非线性方程组无解析解非线性方程组无解析解第4页/共61页单池模型的稳态状况单池模型的稳态状况平衡点用微分方程稳定性理论可以验证:bcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2cVrccQbVrVdQcP1021)(,:0,:02bccPVQdcr/02微生物的增殖率大于死亡和排除率dcrQVcc020当 时P1稳定, P2不稳定第5页/共61页单池模型的稳态状况单池模型的稳态状况c01 c0 c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g . hd=10-5/hc0=c01

5、= 10-3g/m3V8103 m3V1.6104 m3c0=c*= 510-4 g/m3Vc0dcrQV02平衡点P1稳定条件为使稳定状况下有害物质浓度达到规定标准c*, 处理池的容积至少需要达到1.6104 m3.一个长宽各100 m, 深1.6m的池子!第6页/共61页考察最坏情况取稳定平衡点P1为初值, 即单池模型的动态过程单池模型的动态过程当c0=c01时池内浓度已处于稳态, c0突然增加到c02)0()0()0(,)0(102cVrccQbVrVdQcbcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2设V=1.6104 m3 和 3104 m3, 用数值方法解微分方程组:第7

6、页/共61页有害物质浓度将有约1300小时超过2c*, 最高达到5c*单池模型的动态过程单池模型的动态过程01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=1.6104m3c(10-3g/m3)t(h)01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3g/m3)t(h)有害物质浓度将有约900小时超过2c*, 最高达到3c*13002c*要达到规定的标准需要太大的池子!长宽各100 m, 深3m的池子第8页/共61页两个串接的池子双池模型双池模型V1, c1, b1Q, c0V2, c2, b

7、2Q, c1, b1池池1111011)(cbrccVQdtdc1222222)(bVQbVQdcrdtdb2212122)(cbrccVQdtdc11121)(bVQdcrdtdb与单池模型相同(只是加上下标1)增加从池的流入量第9页/共61页池方程的平衡点双池模型的稳态状况双池模型的稳态状况11110121111)(,:crVccQbrVdVQcPdcrQVcc02101当 时P1稳定c0=c01, V18103 m3池方程的平衡点)(4)(21,)(:21222111221112222122122VQdcrVQdbrcrVQdbrcrrccrVccQbP*11*2*1*12*2)()(c

8、brdcrccccQVcc要求稳态下第10页/共61页双池模型的稳态状况双池模型的稳态状况*11*2*1*12)()(cbrdcrccccQV在c0=c01, V18103 m3下取值计算c1, b1, V2V1(103m3)c1(10-3g/m3)b1(10-3g/m3)V2(103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10,)(,1111012111crVccQbrVdVQc应选择较大的V1和较小的V2相配合的方案第11页/共61页双池模型的动态过程双池模型的动态过程仍考察c0由c01突

9、然增加到c02的最坏情况01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)01000200030004000500000.511.52x 10-3c*c2 (10-3g/m3)V1=1.4104m3,V2=2.5104 m3有害物质浓度约1200小时超过c*, 很短时间超过2c*要使有害物质浓度完全不超过c*, 需要V2太大第12页/共61页双池模型与单池模型的比较双池模型与单池模型的比较有害物质浓度约1200小时超过c*, 很短时间超过2c*有害物质浓度约900小时超过2c*, 最高达到3c*双池

10、总容积比单池减少近1/3, 处理效果好得多虽然有超标, 但这是最坏情况, 可按处罚等方法解决01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)双池01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3g/m3)t(h)单池V1+V2=2.1104m3第13页/共61页13.2 红绿灯下的交通流红绿灯下的交通流背景与对象背景与对象 公路上行驶的一辆接一辆的汽车队伍.将车队类比作连续的流体, 称为交通流(车流).描述、分析每一时刻通过公路上每一

11、点的交通流的流量、速度、密度之间的关系.研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生和排除）时交通流的变化过程.第14页/共61页交通流的基本函数交通流的基本函数 对象 无穷长公路上单向行驶的一条车流，不许超车, 公路上没有岔路(汽车不会从其他道路进入或驶出).xo0车流方向流量q(x,t) 时刻 t 单位时间内通过点 x 的车辆数.密度 (x,t) 时刻 t 点 x 处单位长度内的车辆数.速度u(x,t) 时刻 t 通过点 x 的车流速度.基本关系：q(x,t)= u(x,t) (x,t) 单位时间内通过的车辆数等于车流速度(单位时间行驶的距离)乘以单位长度内的车辆数.第15页/共61页交通流

12、的基本函数交通流的基本函数 基本关系：q(x,t)= u(x,t) (x,t) 流量q(x,t) 密度 (x,t) 速度u(x,t)qmq0 * m 速度u随着密度 的增加而减少, 设u是 的线性函数, )/1 (mmuu)/1 (mmuq平衡状态(所有车辆速度相同, 公路各处密度相同)下u, 和 q 的关系. = *= m/2 , q=qm (最大值) =0, u= um(最大值); = m(最大值), u= 0.第16页/共61页连续交通流方程连续交通流方程流量q(x,t) 密度 (x,t) 速度u(x,t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(abq(a,t)q(b,t)x (

13、x,t)badxtxqxtbqtaq),(),(),(dxtxtdxtxdtdbaba),(),(badxxqt0)(0 xqt区间a,b的任意性关于q(x,t), (x,t), u(x,t) 的连续、可微、解析性假设积分形式积分形式微分形式微分形式第17页/共61页连续交通流方程连续交通流方程0 xqt流量q(x,t) 密度 (x,t) 速度u(x,t)ddqxt)(,0)(已知q=q( )xxfx),()0 ,(已知初始密度 f(x)一阶拟线性偏微分方程用特征方程和首次积分法求解)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx0txx0斜率k=1/ (f(x0)x(t)是一

14、族直线 特征线特征线的斜率随x0变化沿每条特征线x(t), (x,t)是常数f(x0)第18页/共61页连续交通流方程连续交通流方程讨论q( ), f(x)给定后解 (x,t)的性质ddqxt)(,0)(xxfx),()0 ,()/1 (mmuq)/21 (/)(mmuddq m * 0 1 2 * = m/2 , ( * )=0, k00)()(xtxftxt(x)的斜率k=1/ (f(x0)特征线 10, k0 2 * , ( 2 )0, k0按初始密度f(x)是x的减函数或增函数讨论解 (x,t)的性质) 0 ()(),(00 xxxfttx第19页/共61页连续交通流方程连续交通流方程

15、f(x)增函数xf(x)x*x1x20 * 1 2xf(x)减函数f(x)x*x1x20 * 1 2 10 2 *, k0 = *,k前面车流密度小(速度大), 后面密度大(速度小), 行驶正常.前面车流密度大(速度小), 后面密度小(速度大), 造成堵塞, (x,t), q(x,t)出现间断.) 0 ()(),(00 xxxfttxxx*x1x20t00)()(xtxftxxx*x1 x1x20tP(x,t)00)()(xtxftx在P(x,t)点, (x,t)=f(x1) (x,t)=f(x1 ) ?第20页/共61页间断交通流方程间断交通流方程设一连串间断点(x,t)形成孤立、连续的间断

16、线x=xs(t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(交通流方程的交通流方程的积分形式积分形式btxtxassdxtxdxtxdtdtbqtaq)()(),(),(),(),(btxstxasssdtdxttxdxtdtdxttxdxt)()(),(),(推导间断线xs(t)的方程对任意t , x=xs(t)孤立, 取a xs(t) 0处的车辆继续行驶, x0处的车辆出现堵塞. t= 时交通灯变绿, 堵塞的车辆快速行驶. 用车流密度 (x,t)描述红绿灯转换下交通流的变化. 绿灯后堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队? 需要多长时间堵塞状态才会消失, 交通恢复正常?对对象象第23页/

17、共61页红绿灯模型红绿灯模型)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx讨论密度 (x,t) 的变化连续点间断线qdtdxs1. t=0, (x,0)=f(x)= 0(常数)设 0 *= m/2 初始密度小于流量达到最大的密度, 称为稀疏流.x m 00t=0依时间为序分9步讨论第24页/共61页红绿灯模型红绿灯模型x m 000t xsrxxl2. 0t , 红灯亮x0处车辆堵塞, 导致最大密度 = m = m与 = 0形成左间断线 x=xsl(t) 堵塞车辆尾部的移动.mmmmmuqqq/ )()()(,0000qdtdxsltutxmmsl0)(x=xsl(t)向左移

18、动速度usl=um 0 / m 0 *= m/2 0)0(,0slmmxu第25页/共61页红绿灯模型红绿灯模型2. 0t0处车辆继续行驶, 出现空闲路段 =0 x m 000tusl=um 0 / m 0 , 绿灯亮x m 00t xsrxxlx1x2x1(t)堵塞车队最前车辆的位置x2(t)堵塞车队最后车辆的位置初始密度(设t = t- =0)srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0确定x1(t), x2(t)第27页/共61页红绿灯模型红绿灯模型4. t , 绿灯亮x m 00t xsrxxlx1x2srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0初始密度0

19、x0 xsr)/21 ()(mmuf(x0)=0, (f(x0)=um特征线x=um t +x0, (x, t )= f(x0)=0, x00+, x1=um t =um (t- )xslx00f(x0)= m, (f(x0)=-um ,x2=-um t =-um (t- )x2xx1)(21 ()(tutxmm)(1 2),(tuxtxmm第28页/共61页红绿灯模型红绿灯模型5. t=td,堵塞消失xsl(t)向左移动速度um 0 / mxsr(t)向右移动速度um ( m - 0 )/ mx2(t)向左移动速度um 0 *= m/2 x1(t)向右移动速度umx2(t)首先追上xsl(t

20、), 此时堵塞消失tutxmmsl0)(x2(t) =-um (t- )t =td0mmdtx m 00t=tdxsrxxlx1=x2=第29页/共61页红绿灯模型红绿灯模型6. t=tu,追上车队xsl(t)向左移动速度um 0 / mx2(t)向左移动速度um 0tu , xsl(t), xsr(t)继续移动红绿灯模型红绿灯模型qdtdxsl,)(1 2),(tuxtxmm,)(1 2tuxmslm)()(),21 (2)( 20dmdslmmxlsltutxutxdtdx02/110)()(21 ()(tBtutxmmsl0)(1 (22/10001mmmuB2/ 110)(2)21 (

21、tBudtdxmmsl0 (t充分大)xsl由向左变为向右移动 m 00ttuxsrxxlx第31页/共61页8. t=t* , x=0处交通恢复红绿灯模型红绿灯模型 0=0t=t*xsrxxlx 2/110)()(21 ()(tBtutxmmsl当xsl移动至x=0时, x=0处交通恢复20*)/21 ()(0mttt 越小, 0/ m越小, 则t*越小, x=0处交通恢复越快.2/ 10001)(1 (2mmmuB设 =5min, 0/ m=3/8, 则t*=80min5分钟的堵塞, 过75分钟后x=0处交通才能恢复.第32页/共61页9. tt* , xsl(t), xsr(t)继续向右

22、移动红绿灯模型红绿灯模型 00tt*xsrxxlx xsl, xsr处 的跳跃值越来越小.理论上, t全线交通才能恢复到初始状态 = 0以上假定初始密度 0 *= m/2 拥挤流, 得到的结果与稀疏流不同, 但分析方法一样(习题3).第33页/共61页红绿灯下的交通流红绿灯下的交通流 将离散车流类比作连续流体 类比是建模的基本方法之一. 引入流量、密度、速度函数, 并按照守恒关系建立交通流模型(积分形式和微分形式). 用特征线法解连续交通流模型. 利用跳跃值研究间断线发展过程, 研究红绿灯模型.第34页/共61页13.3 鲑鱼数量的周期变鲑鱼数量的周期变化化背景与问题背景与问题 海洋中鱼的数量

23、按繁殖期呈周期变化.鲑鱼生长、繁殖过程：成年鱼产卵产卵前鲑鱼的数量按一定规律呈周期变化既在离散的时间点上描述成年鲑鱼数量的周期变化，又在连续的繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程.将描述连续变化的微分方程嵌入描述离散变化的差分方程.卵变成幼鱼幼鱼长大产卵后死去被成年鱼吃掉、被环境淘汰第35页/共61页模型假设模型假设 xn第n繁殖期(周期)初成年鲑鱼的数量( n =0,1,2, )y(t)每个周期内t时刻幼鱼的数量tb.ta.n.n+1.1. y(ta) 与xn 成正比，比例系数 为一条鱼的产卵量.3. 单位时间内y(t) 减少的比例与xn 成正比，比例系数 反映鲑鱼吞食幼鱼的能力.2.

24、xn+1 与y(tb)成正比，比例系数 表示繁殖期末幼鱼成长为成年鱼的比例.允许数量出现突变t.第36页/共61页模型建立模型建立 y(ta) 与xn 成正比单位时间内y(t) 减少的比例与xn 成正比xn+1 与y(tb)成正比naxty)(t.tb.ta.n.n+1.)()()(anttxaetytynabxttnnexx)(12 , 1 , 0,1neaxxnbxnn)(,abttba)(1bntyxbantttxyy,/t.无解析解, 寻求数值解第37页/共61页模型建立模型建立 ,1nbxnneaxx)(,(abttba 一条鱼的产卵量, 设 =105 繁殖期末幼鱼成长为成年鱼的比例

25、, 设 =0.5, 1.1, 1.5 ( 10-4)()()(anttxaetytya= = 5, 11, 15设x0=1(数量单位), 且吞食90%的幼鱼, 即y(tb)/ y(ta)=0.13 . 210ln)(abtt1 . 0)(abtteb=2.3a的大小反映鲑鱼从一个周期到下一周期的增长第38页/共61页模型建立模型建立 ,1nbxnneaxxa=5, 11, 15,b=2.3na=5a=11a=15na=5a=11a=15011110.50001.10001.5000270.69901.72601.973020.79060.96110.7115280.69900.35680.31

26、4730.64021.15602.0740290.69901.72602.287040.73290.88760.2625300.69900.35690.1771170.69891.72402.2720370.69901.72602.1860180.69900.35810.1821380.69900.35680.2137190.69891.72701.7960390.69901.72601.9600200.69900.35620.4308400.69900.35680.3225a=5, xn0.6990,a=11, xn1.7260, 0.3568,a=15, xn?第39页/共61页平衡点与稳

27、定性平衡点与稳定性 nbxnneaxx1研究a的大小对鲑鱼数量xn变化规律的影响平衡点 x*:*)(bxeaxxfxbaxln*平衡点 x*稳定条件:1ln1)(*axf389. 72 ea1ln1a当 时x*稳定数值解中a=5, b=2.3, x*=ln5/2.3=0.699稳定数值解中 a=11, 15 (e2), x*不稳定考察倍周期收敛条件第40页/共61页平衡点与稳定性平衡点与稳定性 nbxnneaxx1变量代换(无量纲化)abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz 2, z*=1不稳定平衡点 x*=lna/b z*=1,稳定条件 ae2 2, 讨论倍

28、周期收敛aezznznnln)1(1平衡点 : z1*, z2* (及z*=1)1 (*1*2)1 (*2*1*1*2,zzezzezz2*2*1 zzz1*, z2* 是方程 的两个根2)1 (zzezz1*=0.3427z2*=1.6573第41页/共61页平衡点与稳定性平衡点与稳定性 abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz平衡点 z1*=0.3427, z2*=1.6573 稳定的条件:1) )(*,)2(21zzzzg5265. 22aln51.12389. 7 ax1*=0.3569x2*=1.7259a=11,b=2.3*2, 1*2, 1lnz

29、bax)51.12(5265. 2a研究zn的2k倍周期收敛 (k=2,3)77.14(6924. 2azn的变化趋势出现混沌现象第42页/共61页鲑鱼数量的周期变化鲑鱼数量的周期变化首先将各个短周期内性质相同的连续变化规律用同一微分方程描述；然后将微分方程嵌入到长期的、描述离散变化规律的差分方程中 嵌入式模型.嵌入式模型的应用 生物的周期性繁殖 再生资源的周期性收获 人体对周期性注入药物的反应周期性排污的环境变化平衡点的稳定性分析倍周期收敛和混沌现象第43页/共61页13.4 价格指数价格指数问问题题价格指数是消费品价格变化的度量.几百年来，经济学家们提出了许多种价格指数.如何评价这些价格指

30、数的合理性？从种、种商品的价格指数谈起从种、种商品的价格指数谈起对一种给定商品，原价p0, 现价p, 价格变化 I=p/p0对两种给定商品，原价p01, p02, 现价p1, p2, 价格变化022011ppppI020121ppppI020121ppppI 不合理: 人们对大米涨价比钢琴降价更为关切加权!第44页/共61页问题的一般提法问题的一般提法基年(基准年)现年(考察年) 各种价格指数 I(p,q|p0,q0)哪个更合理？哪个更合理？价格权重n 种代表性消费品Tnpppp),.,(002010Tnqqqq),.,(002010Tnpppp),.,(21Tnqqqq),.,(210001

31、.qpqpI qpqpI.02003.qpqpI 215III apapI.04ai 0niiiippI10700,iiiqqniiiippI108iiiqq,niiiippI106,1, 0ii第45页/共61页1. 价格单调性：一种商品涨价，其他不降，则I应上升价格指数的公理化价格指数的公理化p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 权重不变性：所有商品价格不变，则I应不变1),|,(000qpqpI3. 价格齐次性：所有商品涨价k倍，则I应上升k倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4. I应位于单

32、种商品价格比值的最小、最大值之间0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp第46页/共61页5. 货币单位独立性：I应与货币单位的选取无关价格指数的公理化价格指数的公理化p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)00),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6. 计量单位独立性： I应与商品计量单位的选取无关为非负对角阵),|,(),|,(000101qpqpIqpqpI7. 两年的价格指数之比与基年选取无关),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8. 价格指数不因某种商品被淘汰失去意义iqpqpIip,

33、 0),|,(lim000第47页/共61页I1, I2, I5不满足公理7该定理没有涉及公理1,4,5, 为什么?Eichhorn 证明了定理: 不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数.I6, I7, I8不满足公理8I3不满足公理2I4不满足公理6I满足公理1,2,3 I满足公理4 I满足公理2,3,7 I满足公理5目前常用的价格指数: I1, I2I1, I2满足除公理7外的所有公理，且计算简单.价格指数的公理化价格指数的公理化第48页/共61页定理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数证明思路: 满足2,3,6,7,8的价格指数I必不满足公理8记e=(1,1,1)T,

34、C=Diagc1,c2,cn, ci0 D=Diagd1,d2,dn, di0),|,(),|,(),|,(),|,(111111eeeCCeIeeeCCeIeeeDCCDeIeeeDCCDeI(*)证明),|,(),|,(),|,(1111117eeeCCeIeCCeeCCeIeCCeeDCCDeI公理),|,(),|,(1162eeeCCeIeeeDDeI，公理第49页/共61页证明记i=Diag1, ,1 (第i位置元素 0，其余为1),|,(),|,(),|,(),|,(11eeppIeeppIeeepIeeepI(*)为单位阵）EEnii(1(*)定理不存在同时满足公理2,3,6,7

35、,8的价格指数),|,(),|,(),|,(),|,(12117eeppIeeppIepppIepepI公理公理第50页/共61页与公理矛盾！),|,(1niieeeeIs令),|,(11(*)niiieeeeI),|,111(*)niniiieeeeIeeeeI,|,1*)*(*213,|,公理公理eeeeI当 0 0时, ,s0 0存在某个i, 当 0 0时0),|,(lim0eeeeIi证毕证明定理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数第51页/共61页13.5 设备检查方案设备检查方案背景背景 与与问题问题 设备检查的目的: 及时发现和排除故障, 保证生产的顺利进行. 确定设备

36、检查方案-检查周期 (接连两次检查的时间间隔). 一旦出现故障, 设备将带故障运行到下次检查时 才能发现, 给生产造成损失. 检查周期越长, 故障造成的损失费用越大. 检查周期越短, 用于设备检查的费用越大.存在最佳检查周期使总费用(损失费、检查费)最小.第52页/共61页背景与问题背景与问题 设备出现故障的时刻是随机的， 服从一定的连续型概率分布. 检查周期不一定是常数，故障概率大时周期短，故障概率小时周期长. 将检查周期表示为时刻t的连续函数s(t) 单位时间内的检查次数表示为 n(t)=1/s(t) 与设备正常运行时间相比，s(t)很小，n(t)很大，于是n(t)可视为t的连续函数.第53页/共61页模型假设模型假设 1. 设备故障时刻的概率分布函数是F(t)，概率密度函数是f(t)，设备使用期限是T，F(T)=1.2. 设备带故障运行到下次检查时为止的损失费与这