空气动力学基础-第章流体静力学

1、EXIT1/66空气动力学基础空气动力学基础沈阳航空航天大学航空航天工程学院飞机设计教研室2014年3月1.1 1.1 流体属性流体属性1.2 1.2 作用在流体微团上力的分类作用在流体微团上力的分类1.3 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题1.7 1.7 标准大气标准大气EXIT3/66 流体力学和空气动力学是从宏观上研究流体（空气）的运动流体力学和空气动力学是从宏观上研究流体

2、（空气）的运动规律和作用力规律的学科，流体力学和空气动力学常用规律和作用力规律的学科，流体力学和空气动力学常用“介介质质”一词表示它所处理一词表示它所处理 的流体，流体包含液体和气体。的流体，流体包含液体和气体。 从微观角度而言不论液体还是气体其分子之间都存在间隙，从微观角度而言不论液体还是气体其分子之间都存在间隙，但这个距离与我们宏观上关心的物体（如飞行器）的任何一但这个距离与我们宏观上关心的物体（如飞行器）的任何一个尺寸个尺寸 L L 相比较都是微乎其微的相比较都是微乎其微的 例如海平面条件下，空气分子的平均自由程为例如海平面条件下，空气分子的平均自由程为 l 1010-8 -8 mmmm

3、，1mm1mm3 3液体含液体含 3 310102121个分子，个分子，1mm1mm3 3气体含气体含 2.62.610161016个分个分子子;10;10-9-9mmmm3 3液体含液体含 3 310101212个分子，个分子， 1010-9-9mmmm3 3 气体含气体含 2.62.610107 7个分子个分子 当受到物体扰动时，流体或空气所表现出的是大量分子当受到物体扰动时，流体或空气所表现出的是大量分子运动体现出的宏观特性变化如压强、密度等，而不是个运动体现出的宏观特性变化如压强、密度等，而不是个别分子的行为。别分子的行为。 流体力学和空气动力学所关注的正是这样的宏观特征而流体力学和空

4、气动力学所关注的正是这样的宏观特征而不是个别分子的微观特征。不是个别分子的微观特征。 如果我们将流体的最小体积单位假设为具有如下特征的如果我们将流体的最小体积单位假设为具有如下特征的流体质点：宏观上充分小，微观上足够大流体质点：宏观上充分小，微观上足够大，则可以将流，则可以将流体看成是由连绵一片的、彼此之间没有空隙的流体质点体看成是由连绵一片的、彼此之间没有空隙的流体质点组成的连续介质，这就是连续介质假设。组成的连续介质，这就是连续介质假设。 由连续质点组成的质点系称为流体微团由连续质点组成的质点系称为流体微团。 一旦满足连续介质假设，就可以把流体的一切物理性一旦满足连续介质假设，就可以把流体

5、的一切物理性质如密度、压强、温度及宏观运动速度等表为空间和时间质如密度、压强、温度及宏观运动速度等表为空间和时间的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。一般一般用努生数即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判用努生数即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判断流体是否满足连续介质假设断流体是否满足连续介质假设 ： l / L 1 对于常规尺寸的物体只有到了外层大气中，对于常规尺寸的物体只有到了外层大气中， l / L 才可能等才可能等于甚至大于于甚至大于 1在连续介质的前提下，流体介质的密度可以表达为在连续介质的前提下，流体介质的密度可以表达为:流

6、体为流体为均值均值时时: 流体为流体为非均值非均值时时: 其中其中 为流体空间的体积，为流体空间的体积， 为其中所包含的流体质量。为其中所包含的流体质量。vmvmvm lim0v下图为下图为 时平均密度的变化情况时平均密度的变化情况(设设 A点周围密度较点周围密度较 p点为大点为大)： 0v当微团体积趋于宏观上充分小、微观上充分大的某体积当微团体积趋于宏观上充分小、微观上充分大的某体积 时，密度达到稳定值，但当体积继续缩小达到分子平均自由程时，密度达到稳定值，但当体积继续缩小达到分子平均自由程 l3 量级时，其密度就不可能保持为常数。量级时，其密度就不可能保持为常数。0)( vAxyzvA 0

7、v3lv 流体与固体在力学特性上最本质的区别在于：流体与固体在力学特性上最本质的区别在于：二者承受剪二者承受剪应力和产生剪切变形能力上的不同。应力和产生剪切变形能力上的不同。 如图所示，固体能够靠产生一定的剪切角变形量如图所示，固体能够靠产生一定的剪切角变形量来来抵抗剪切应力抵抗剪切应力 / GF固体 流体与固体的宏观差别：流体与固体的宏观差别：固体可保持一定体积和形状固体可保持一定体积和形状 液体可保持一定体积不能保持形状液体可保持一定体积不能保持形状 气体既不能保持体积也能不保持形状气体既不能保持体积也能不保持形状l静止流体在剪应力作用下（不论所加剪切应力静止流体在剪应力作用下（不论所加剪

8、切应力多么小，多么小，只要不等于零）将产生持续不断的变形运动（流动），换只要不等于零）将产生持续不断的变形运动（流动），换句话说，静止流体不能承受剪切应力，将这种特性称为流句话说，静止流体不能承受剪切应力，将这种特性称为流体的体的易流性易流性。1F2t2t1流体流体受压时其体积流体受压时其体积发生改变发生改变的性质称为流体的的性质称为流体的压缩性压缩性，流体受压时其体积流体受压时其体积抵抗压缩抵抗压缩变形的能力和特性称为变形的能力和特性称为弹性弹性。 l压缩性系数压缩性系数: :单位压强差所产生的体积改变量（相对）：单位压强差所产生的体积改变量（相对）：l体积弹性模量体积弹性模量: :产生单位

9、相对体积变化所需的压强增高：产生单位相对体积变化所需的压强增高：)/(,12mNvdvdpEp)/1(,2mNdpvdvp后面讲到高速流动时会证明后面讲到高速流动时会证明 ，即，即音速的平方等于压强音速的平方等于压强对密度的变化率对密度的变化率。所以气体的弹性决定于它的。所以气体的弹性决定于它的密度密度和和声速声速： ddpa 21.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性流体的压缩性与弹性当当 E E 较大时较大时 p p 较小流体不容易被压缩，反之则容易被压较小流体不容易被压缩，反之则容易被压缩。液体的缩。液体的 E E 较大，通常可视为不可压缩流体，气体的较大，通常可视为不可压缩流体，气体

10、的 E E 通常较小且与热力过程有关，故一般认为气体具有压缩性。通常较小且与热力过程有关，故一般认为气体具有压缩性。2aE由于由于 ，E E 还可写为：还可写为：ddpddpEdvdv飞行器的飞行速度飞行器的飞行速度 u u 和扰动的传播速度和扰动的传播速度 a 的比值称为马的比值称为马赫数：赫数：auMal由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大小可看成是由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大小可看成是气体相对压缩性的一个指标。气体相对压缩性的一个指标。l当马赫数较小时，可认为此时流动的弹性影响相对较大，当马赫数较小时，可认为此时流动的弹性影响相对较大，即压缩性影响相对较小（或一定速度、压

11、强变化条件下，即压缩性影响相对较小（或一定速度、压强变化条件下，密度的变化可忽略不计），从而低速气体有可能被当作不密度的变化可忽略不计），从而低速气体有可能被当作不可压缩流动来处理。可压缩流动来处理。l反之当马赫数较大之后，可以认为此时流动的弹性影响相反之当马赫数较大之后，可以认为此时流动的弹性影响相对较小，即压缩性影响相对较大（或一定速度、压强变化条对较小，即压缩性影响相对较大（或一定速度、压强变化条件下，密度的变化不能忽略不计）件下，密度的变化不能忽略不计） ，从而气体就不能被当作，从而气体就不能被当作不可压缩流动来处理，而必须考虑流动的压缩性效应。不可压缩流动来处理，而必须考虑流动的压缩

12、性效应。l因此尽管一般我们认为气体是可以压缩的，但在考虑其流因此尽管一般我们认为气体是可以压缩的，但在考虑其流动时按照其速度快慢即马赫数大小将其区分为不可压流动和动时按照其速度快慢即马赫数大小将其区分为不可压流动和可压缩流动。可以证明，当马赫数小于可压缩流动。可以证明，当马赫数小于0.30.3时，气体的压缩时，气体的压缩性影响可以忽略不计。性影响可以忽略不计。实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都不算大，日常生活中人们不会理会它，但观察河流岸边不算大，日常生活中人们不会理会它，但观察河流岸边的漂浮物可以看到粘性的存在。的漂浮物可以看到粘

13、性的存在。由于粘性影响，均匀气流流至平板后直接贴着板面的一由于粘性影响，均匀气流流至平板后直接贴着板面的一层速度降为零，称为流体与板面间层速度降为零，称为流体与板面间无滑移。无滑移。任取相邻流层考察可知外层的流体受到内层流体摩擦速任取相邻流层考察可知外层的流体受到内层流体摩擦速度有变慢趋势，反过来内层流体度有变慢趋势，反过来内层流体受到外层流体摩擦拖拽受到外层流体摩擦拖拽其速度有变快趋势。其速度有变快趋势。流层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定距流层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。 1.1.

14、4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性EXIT15/66 流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。 以前述流体剪切实验为例，以前述流体剪切实验为例， 牛顿（牛顿（1686）发现，流）发现，流体作用在平板上的摩擦力正比于速度体作用在平板上的摩擦力正比于速度U 和平板面积和平板面积 A，反反比于高度比于高度 h，而，而是与流体介质属性有关的比例常数是与流体介质属性有关的比例常数：F=AU/h1 1F2 2t t2 2t t1 1流体hUA 1.1.4

15、 1.1.4 流体的粘性流体的粘性设设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性剪切应力），则表示单位面积上的内摩擦力（粘性剪切应力），则hUAF对于一般的粘性剪切层，速度分布不是直线而是前述的曲线对于一般的粘性剪切层，速度分布不是直线而是前述的曲线，则，则粘性剪切应力可写为粘性剪切应力可写为)/(,2mNdydu帕这就是著名的这就是著名的牛顿粘性应力公式牛顿粘性应力公式，它表明粘性剪切应力与速，它表明粘性剪切应力与速度梯度有关，与物性有关。度梯度有关，与物性有关。 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性从牛顿粘性公式可以看出：从牛顿粘性公式可以看出：1. 流体的剪应力与压强流体的剪应力与压强 p

16、 p 无关。无关。2. 当当 0 时，时， ，无论剪应力多小，只要存在剪应力，无论剪应力多小，只要存在剪应力，流体就会发生变形运动。流体就会发生变形运动。0dydu3. 当当 时，时，0，即只要流体静止或无变形，就不存即只要流体静止或无变形，就不存在剪应力，流体不存在静摩擦力。在剪应力，流体不存在静摩擦力。0dydu 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性因此牛顿粘性应力公式可看成流体易流性的数学表达。因此牛顿粘性应力公式可看成流体易流性的数学表达。EXIT18/66 速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或角变形率 d/dt 如图所示： u+du dy d u dudt

17、 d =dudt/dy d/dt=du/dy 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性EXIT19/66综上所述：综上所述：流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体层间的相对运动）流体层间的相对运动）流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或质点之间的相对运流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或质点之间的相对运动的能力动的能力流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体层间的相对运动）的剪应力或摩擦力层间的相对运动）的剪应力或摩擦力在静止状态下流体不能承受剪力；但是在运动状态下，在静止状态下流体

18、不能承受剪力；但是在运动状态下，流体可以承受剪力，剪切力大小与流体变形速度梯度有流体可以承受剪力，剪切力大小与流体变形速度梯度有关，而且与流体种类有关关，而且与流体种类有关 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性液体和气体产生液体和气体产生粘性的物理原因粘性的物理原因不同，前者主要来自于液不同，前者主要来自于液体分子间的内聚力，后者主要来自于气体分子的热运动。体分子间的内聚力，后者主要来自于气体分子的热运动。因此因此液体与气体动力粘性系数随温度变化的趋势相反：液体与气体动力粘性系数随温度变化的趋势相反：液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可查液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可

19、查阅相应表格或近似公式，如气体动力粘性系数的萨阅相应表格或近似公式，如气体动力粘性系数的萨特兰公式等。特兰公式等。液体：液体： 温度升高，温度升高，变小，反之变大变小，反之变大气体：气体： 温度升高，温度升高，变大，反之变小变大，反之变小 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性 在许多空气动力学问题里，粘性力和惯性力同时存在，在许多空气动力学问题里，粘性力和惯性力同时存在，在式子中在式子中和和往往以（往往以（/ ）的组合形式出现，用符号）的组合形式出现，用符号表示表示:)(,:)(,sN,22njusmmjum读，称为运动粘性系数读称为动力粘性系数空气粘性不大空气粘性不大,初步近似可忽略

20、其粘性作用，忽略粘性的初步近似可忽略其粘性作用，忽略粘性的流体称为流体称为理想流体理想流体。 1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力和表面力两类按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力和表面力两类彻体力：彻体力：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质量成正比的非接触力。量成正比的非接触力。例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，彻体力也称为体积力或质量力。彻体力也称为体积力或质量力。其中其中 是微团体积，是微团体积，为密度，为密度， 为作用

21、于微团的彻为作用于微团的彻体力，体力，i 、j、 k 分别是三个坐标方向的单位向量，分别是三个坐标方向的单位向量，fx 、fy 、fz 分别是三个方向的单位质量彻体力分量分别是三个方向的单位质量彻体力分量 。vF,limkfjfifvFfzyx0v 由于彻体力按质量分布，故一般用单位质量的彻体力表示，由于彻体力按质量分布，故一般用单位质量的彻体力表示，并且往往写为分量形式：并且往往写为分量形式：表面力：表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，大小与流体团块表面积成正比的接触力。大小与流体团块表面积成正比的接触力。由于按面积分布，故用接触应力表

22、示，并可将其分解为法由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法向应力和切向应力：向应力和切向应力：ATPcFn1.2 1.2 作用在流体微团上力的分类作用在流体微团上力的分类AFpcnlim0AATAPAFpcnlimlimlim0A法向应力与切向应力即摩擦应力组成接触应力：法向应力与切向应力即摩擦应力组成接触应力： ppn上述画出的表面力对整个流体而言是内力，对所画出的流上述画出的表面力对整个流体而言是内力，对所画出的流体团块来说则是外力。体团块来说则是外力。l流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力l但切向应力完全是由粘性产生的，但切向应

23、力完全是由粘性产生的，l流体的粘性力只有在流动时才存在流体的粘性力只有在流动时才存在l静止流体是不能承受切向应力的静止流体是不能承受切向应力的理想和静止理想和静止流体中的法向应力称为压强流体中的法向应力称为压强 p p（注），其指向沿（注），其指向沿着表面的内法线方向，压强的量纲是着表面的内法线方向，压强的量纲是 力力/长度长度 2 2，单位为，单位为（N/mN/m2 2）或）或 （帕：（帕：p pa a）在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽管一般压强是位置的函数管一般压强是位置的函数 P=P(x,y,z),P=P(x,y,z), 但在同

24、一点处但在同一点处压强不因受压面方位不同而变化，这个结果称为理想压强不因受压面方位不同而变化，这个结果称为理想流体内压强是流体内压强是各向同性各向同性的的。（ 注：关于有粘性的运动流体，严格说来压强指的注：关于有粘性的运动流体，严格说来压强指的是三个互相垂直方向的法向力的平均值，加负号是三个互相垂直方向的法向力的平均值，加负号 ）1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性 如讨论如讨论P P点处压强，在周围取如图微元点处压强，在周围取如图微元4 4面体面体ABCO,ABCO,作用在各作用在各表面的压强如图所示，理想流体无剪切应力，由于表面的压强如图所示，理想流体无

25、剪切应力，由于dxdx、dydy、dz dz 的取法任意，故面的取法任意，故面ABCABC的法线方向的法线方向n n方向也是任意的。方向也是任意的。yxzdxdydzpzpxpypnnABCoP分别沿分别沿 x、y、z 三个方向建立力的平衡关系：三个方向建立力的平衡关系：x方向合外力质量方向合外力质量加速度（加速度（x方向）方向）xnxdxdydzaxndspdydzp61),cos(211.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性方程左端等于：方程左端等于：dydzpdydzpnx2121方程右端等于：方程右端等于： 三阶小量三阶小量0 0，由此可得：，由此可得：

26、 nxpp nypp nzpp nzyxpppp因为图中的因为图中的n n方向为任取，故各向同性得证。方向为任取，故各向同性得证。同理可得：同理可得：即：即：1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性 下面我们研究下面我们研究压强在平衡流体中的分布规律压强在平衡流体中的分布规律。 在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡儿坐标在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡儿坐标系系 oxyz，坐标轴方位任意。在流体内取定一点，坐标轴方位任意。在流体内取定一点P（x ,y ,z）,然后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度然后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度 d

27、x,dy,dz, 划出一微元六面体作为分析对象划出一微元六面体作为分析对象:xyzPdxdydz假设：假设：六面体体积：六面体体积：d=dxdydz中心点坐标：中心点坐标： x ,y ,z中心点压强：中心点压强：p = p(x,y ,z)中心点密度：中心点密度： =(x,y,z)中心点处三个方向的单位质量彻体力中心点处三个方向的单位质量彻体力: fx, fy, fz 微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示表示,如图为如图为 x 方向彻体力，其他方向同理可得。由于流体静方向彻体力，其他方向同理可得。由于流体静止故无剪应力。止故无剪

28、应力。xyzPdxdydz2dxxpp2dxxppx方向的表面力为：方向的表面力为：dxdydzfxdxdydzxpdydzdxxppdydzdxxpp22x方向的彻体力为：方向的彻体力为：流体静止，则流体静止，则 x 方向的合外力为零：方向的合外力为零：0dxdydzfdxdydzxpx两边同除以两边同除以 d=dxdydz 并令并令 d 趋于趋于零，可得零，可得 x方向平衡方方向平衡方程：程：xfxpyfypzfzpy, z 方向同理可得：方向同理可得：流体平衡微分方程流体平衡微分方程当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于彻体

29、力在该方向有分量造成缘故。于彻体力在该方向有分量造成缘故。将上三个式子分别乘以将上三个式子分别乘以dx，dy，dz，然后相加起来，得到：然后相加起来，得到：dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpzyx此式左端是个全微分：此式左端是个全微分：dzzpdyypdxxpdp平衡要求右端括号也是某函数平衡要求右端括号也是某函数= =（x,y,z）的全微分）的全微分d d ，称称为为彻体力的势函数彻体力的势函数(potential function)(potential function)，或称或称彻体力有势彻体力有势zfxfyfzfxfyfxzzyyx,l平衡的平衡的必要条件必要条件: :彻体力为

30、有势力彻体力为有势力只有在势力作用下流体才可能平衡只有在势力作用下流体才可能平衡重力、惯性力和电磁力都为有势力重力、惯性力和电磁力都为有势力根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个彻体力根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个彻体力分量分量 fx ，fy ，fz 满足下列关系：满足下列关系：则平衡微分方程可写为：则平衡微分方程可写为：ddp当彻体力有势时，当彻体力有势时，设彻体力与势函数的关系为：设彻体力与势函数的关系为：zfyfxfzyx,dzfdyfdxfdzyx如果我们知道某一点的压强值如果我们知道某一点的压强值 pa 和彻体力势函数和彻体力势函数 a 的值的值, ,则则任何其它

31、点的压强和势函数之间的关系便可表出：任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表出：)(aappl等压面等压面: :流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面p=c等压面在等压面上满足：在等压面上满足：0dp上式积分后为一几何曲面或平面，该曲面上满足上式积分后为一几何曲面或平面，该曲面上满足 dp=0，上上方程称为方程称为等压面方程等压面方程0dzfdyfdxfzyx或：或：等压面方程还可写为：等压面方程还可写为：0rdfv其中：其中： 为彻体力向量。为彻体力向量。kfjfiffzyxvkdzjdyidxrd为等压面上的向径为等压面上的向径等压面rdrrr

32、dvf0上式表明：上式表明：等压面处处与彻体力相正交。等压面处处与彻体力相正交。例如：例如：1.1.在重力场下静止液体等压面必然为水平面在重力场下静止液体等压面必然为水平面gaa3. 在水平向右加速容器中的液体，合成在水平向右加速容器中的液体，合成的彻体力向左下方，因此等压面是向右的彻体力向左下方，因此等压面是向右倾斜的平面倾斜的平面2. 在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，二者合成的彻体力均为向下，因此等压向下的惯性力，二者合成的彻体力均为向下，因此等压面也是水平面面也是水平面设封闭容器自由面处压强为设封闭容器自由面处压强

33、为p p0 0，如图建立坐标系，考虑距水，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为平轴高度为 y y 处的某单位质量流体，其彻体力可表示为：处的某单位质量流体，其彻体力可表示为：0,0zyxfgffgdydyfdyp0。xygy其中其中g g为重力加速度。为重力加速度。积分得（积分得（重量密度重量密度 g）：）：)(常数Hyp此式称为此式称为平衡基本方程平衡基本方程。上式表明，在平衡流体中上式表明，在平衡流体中 p/与与 y 之和为常数。之和为常数。显然，静止显然，静止流体中等压面为水平面流体中等压面为水平面 yc代入平衡微分方程代入平衡微分方程 得：得：0dygdpddp y :y :流体质点在坐

34、标系中所处高度，称为流体质点在坐标系中所处高度，称为head of waterp p/ /: :在真空管中上升高度，称为在真空管中上升高度，称为pressure headH-H-由于方程量纲为高度，该积分常数由于方程量纲为高度，该积分常数代表上述二高度之和称为代表上述二高度之和称为total headHyp对于不同高度上的对于不同高度上的1、2两两点，平衡基本方程可以写点，平衡基本方程可以写为为:Hypyp2211表明平衡流体中不同高度处，压力水头与高度水头可以互表明平衡流体中不同高度处，压力水头与高度水头可以互相转换，但总水头保持不变。相转换，但总水头保持不变。y22p。11yxp0。ypH

35、真空 的物理意义为的物理意义为:y -代表单位重量流体的重力势能简称代表单位重量流体的重力势能简称势能势能 p/-代表单位重量流体的压力势能简称代表单位重量流体的压力势能简称压力能压力能H -代表平衡流体中单位重量流体的代表平衡流体中单位重量流体的总能量总能量CypHypyp2211平衡基本方程平衡基本方程 表明表明:平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不变平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不变假设自由液面距水平轴距离为假设自由液面距水平轴距离为H，则自由面与，则自由面与 y 处流体满足：处流体满足：0Hpyp。xygp0yHhhppyHpp00或：即：其中其中 h

36、= H-y 是所论液体距自由面的深度是所论液体距自由面的深度式式 表明：表明：hpp0 平衡流体中距自由面深平衡流体中距自由面深 h 处的压强来自于两部分的贡献：处的压强来自于两部分的贡献： 一是上方单位面积上的液重一是上方单位面积上的液重h，因此压强随距自由面的，因此压强随距自由面的淹没深度而线性增加淹没深度而线性增加 二是自由面上的压强贡献二是自由面上的压强贡献 P0，而该贡献处处相同与深度，而该贡献处处相同与深度无关无关当自由面为大气压当自由面为大气压 pa 时，距自由面深时，距自由面深h处的压强可表为：处的压强可表为：hppa压强的计量：压强的计量：以真空为压强参考值计量的压强称为以真

37、空为压强参考值计量的压强称为绝对压强绝对压强，如上式，如上式中的中的 p p以大气压以大气压 p pa a为参考压强，高出大气压部分的压强称为为参考压强，高出大气压部分的压强称为相相对压强对压强 p pb b= p-p= p-pa a以大气压以大气压 p pa a为参考压强，不足大气压部分的压强称为为参考压强，不足大气压部分的压强称为真真空度空度 p pv v= p= pa a-p-p对于同一个压强值对于同一个压强值 p p，其相对压强，其相对压强 p pb b 与其真空度与其真空度 p pv v 之间的关系为之间的关系为 p pb b= -p= -pv v 湿式大气压力计 例：湿式大气压力表

38、的工作原理例：湿式大气压力表的工作原理 有一种大气压力表是用汞柱的高度来表达有一种大气压力表是用汞柱的高度来表达大气压的数值的。一根上端封闭的长玻璃大气压的数值的。一根上端封闭的长玻璃管和一个盛汞的底盒，玻管竖立。玻管中管和一个盛汞的底盒，玻管竖立。玻管中有汞与底盒中的汞连通。玻管中汞柱的有汞与底盒中的汞连通。玻管中汞柱的 上上端是真空的端是真空的 。按式按式 ，玻管下面与盒中汞面等高的，玻管下面与盒中汞面等高的A处处(距上距上表面的深度为表面的深度为h)的压强的压强 pA 是是 hpp00Apgh而而 pA 和大气压和大气压 pa 相等，即：相等，即：aHgpghh这样，要计算大气压的值的话

39、，只要把气压表上读下来的这样，要计算大气压的值的话，只要把气压表上读下来的汞柱高度汞柱高度米乘以汞的重度就是了，大气压的读数往往只说米乘以汞的重度就是了，大气压的读数往往只说汞柱高就行了，一个标准气压是汞柱高就行了，一个标准气压是760毫米汞柱。毫米汞柱。 在以匀加速运动或匀角速度转动的相对平衡流体中，如果在以匀加速运动或匀角速度转动的相对平衡流体中，如果将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度转动的容器上，将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度转动的容器上，对液体引入惯性力对液体引入惯性力( (达朗贝尔原理达朗贝尔原理) )，则同样可以利用平衡，则同样可以利用平衡微分方程求解问题。微分方程求解问题

40、。如图圆筒作匀角速转动如图圆筒作匀角速转动 ，求其，求其中液体的中液体的等压面形状等压面形状和和压强分布压强分布规律。规律。 1secyzg将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。考虑距底壁为考虑距底壁为 z , ,半径为半径为 r 处单位质量处单位质量流体，会受到一个向下的彻体力大小为流体，会受到一个向下的彻体力大小为 g , ,此外还受到一个向外的惯性力大小此外还受到一个向外的惯性力大小为为2r。在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表为：为： gfyfxfzyx,22yxr2r2y2xyzg求等压面：由等压面方程求等压面：由

41、等压面方程0dzfdyfdxfzyx022gdzydyxdx可得：可得：积分得：积分得：cyxgz2222cgrz222即：即：为旋转抛物面族为旋转抛物面族yzgH特别地，设自由面最低点距坐标原点高特别地，设自由面最低点距坐标原点高 H H 时，可定出自由时，可定出自由面对应的常数：面对应的常数：r = = 0 0 时，时，c c = z = = z = H H，故自由面方程为：故自由面方程为：Hyxgz2222其中其中 称为称为超高超高，即，即液面高出抛物线顶点的部分液面高出抛物线顶点的部分。grz222yzgH求压强分布：将彻体力代入求压强分布：将彻体力代入平衡微分方程平衡微分方程方程可得

42、：方程可得：)(22gdzydyxdxdp积分得：积分得：cgzyxp2222由自由面条件定出积分常数由自由面条件定出积分常数：x = y = 0 ， z = H 时时, , p = pa，定得积分常数定得积分常数 c = pa+g H， 带入上述积分结果，得：带入上述积分结果，得：)(2222zHyxggppa如果令方括号等于如果令方括号等于H，则上式可以写为：，则上式可以写为：gHppa其中其中 H 即为从即为从自由面向下的淹没深度自由面向下的淹没深度，等于等于超高加上距顶点的深度超高加上距顶点的深度。yzgHH上述压强分布表明，在旋转平衡液体中，压强上述压强分布表明，在旋转平衡液体中，压

43、强l随深度线性增加随深度线性增加l随半径平方增加随半径平方增加l此外压强分布还与旋转角速度的平方此外压强分布还与旋转角速度的平方 2 2 成正比，成正比，如旋转角速度很大，这个彻体力可以很大如旋转角速度很大，这个彻体力可以很大 ，从而一，从而一定半径处的压强会很大。定半径处的压强会很大。l由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成的惯性力方向随半径而变化，这是旋转平衡液体的等的惯性力方向随半径而变化，这是旋转平衡液体的等压面成为抛物面形状的原因。压面成为抛物面形状的原因。l旋转液体的特点在在工程中也有很重要的应用，例旋转液体的特点在在工程中也有很重

44、要的应用，例如旋转铸造或离心铸造等，对于铸造薄壁容器、列车如旋转铸造或离心铸造等，对于铸造薄壁容器、列车车轮等有重要意义。车轮等有重要意义。无论做飞行器设计，还是做实验研究，都要用到大气的条无论做飞行器设计，还是做实验研究，都要用到大气的条件，为了便于比较，工程上需要规定一个标准大气。这个件，为了便于比较，工程上需要规定一个标准大气。这个标准是按中纬度地区的平均气象条件定出来的。这样做计标准是按中纬度地区的平均气象条件定出来的。这样做计算时，都依此标准进行计算；做实验时，也都换算成标准算时，都依此标准进行计算；做实验时，也都换算成标准条件下的数据。条件下的数据。 标准大气规定在海平面上，大气温

45、度为标准大气规定在海平面上，大气温度为 15 或或 T0 = 288.15K ，压强，压强 p0 = 760 毫米汞柱毫米汞柱 = 101325牛牛/米米2，密度，密度0 = 1.225千克千克/米米357Aviation principles大气组成大气组成v大气组成 (by volume) v78% nitrogen, v21% oxygen, v1% other gases大气分五层从低到高非别是大气分五层从低到高非别是Exosphere Thermosphere Mesosphere StratosphereTroposphere Aviation principles大气分层大气分层

46、外逸层外逸层电离层电离层中间层中间层平流层平流层 恒温层恒温层对流层对流层l按着大气的化学成分来划分。这种划分是以距海平面90公里的高度为界限的。l在9090公里高度以下，大气是均匀地混合的，组成大气的各种成分相对比例不随高度而变化，这一层叫做均质层。l在90公里高度以上，组成大气的各种成分的相对比例，是随高度的升高而发生变化的，比较轻的气体如氧原子、氦原子、氢原子等越来越多，大气就不再是均匀的混合了，因此，把这一层叫做非均质层。 大气的另外划分形式大气的另外划分形式-两层模式两层模式EXIT61/66l按着大气被电离的状态来划分，可分为非电离层和电离层。l在海平面以上60公里以内的大气，基本

47、上没有被电离处于中性状态，所以这一层叫非电离层。l在60公里以上至1000公里的高度，这一层大气在太阳紫外线的作用下，大气成分开始电离，形成大量的正、负离子和自由电子，所以这一层叫做电离层，这一层对于无线电波的传播有着重要的作用。从基准面到从基准面到11 km11 km的高空称为对流层，在对流层内大气密的高空称为对流层，在对流层内大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加而下降，高度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加而下降，高度每增加度每增加1km1km，温度下降，温度下降 6.5 K6.5 K，即：，即：288.150.0065TH从从11km11km到到21km 21km 的高空大

48、气温度基本不变，称为同温层或的高空大气温度基本不变，称为同温层或平流层，在同温层内温度保持为平流层，在同温层内温度保持为 216.5 K216.5 K。普通飞机主要普通飞机主要在对流层和平流层里活动。在对流层和平流层里活动。 因大气密度因大气密度是变量且与是变量且与p、T 有关，有关，我们可用静平衡我们可用静平衡微分方程把压强随高度下降的规律推导出来。微分方程把压强随高度下降的规律推导出来。y（km）T（k）020406080100120160200240 280 320 360 400 高度大于高度大于 21km 以上时大气温度随高度的变化参见下以上时大气温度随高度的变化参见下图，大气温度随

49、高度变化的原因复杂，主要因素有：地表图，大气温度随高度变化的原因复杂，主要因素有：地表吸收太阳热量、臭氧吸热与电离放热、空气或宇宙尘埃受吸收太阳热量、臭氧吸热与电离放热、空气或宇宙尘埃受短波辐射升温等。短波辐射升温等。在如图坐标系中考虑某高度上的单位质在如图坐标系中考虑某高度上的单位质量空气微元，其受到的彻体力分量为：量空气微元，其受到的彻体力分量为：某个高度上的大气压强可以看作是面积为某个高度上的大气压强可以看作是面积为1米米2的一根上的一根上端无界的空气柱的重量压下来所造成的端无界的空气柱的重量压下来所造成的 ，如图，如图0,0zyxfgffdpg dy 代入平衡微分方程可得：代入平衡微分

50、方程可得：根据气体状态方程根据气体状态方程 ，密度写为压强和温度的表，密度写为压强和温度的表达即达即 代入平衡微分方程得：代入平衡微分方程得：RTp/p RTdpgpdyRT T 是高度是高度 y 的已知函数，的已知函数，严格说严格说 g 也随也随 y 有所变化，但在有所变化，但在对流层范围内其影响极小，这里就把它当常数看，其值为对流层范围内其影响极小，这里就把它当常数看，其值为9.80665米米/秒秒2。将。将 T 的式子代入，即可分离变量的式子代入，即可分离变量 。代入微分方程得：代入微分方程得：下标下标H代表高度为代表高度为H米处的大气参数。米处的大气参数。288.150.0065Ty将对流层的将对流层的积分得：积分得：在平流层内，即在平流层内，即11km到到20km为止，为止，216.65TK 代入微分方程代入微分方程 并积分：并积分：dpgpdyRT 根据状态方程可得密度比：根据状态方程可得密度比：根据地面的标准大气参数即可得出对流层某高度根据地面的标准大气参数即可得出对流层某高度H处压强和处压强和密度分布。密度分布。结果得：结果得：下标下标“11”代表代表H=11000米处的参数米处的参数 。其他高度上的压强、密度参数都可以仿此由温度随高度的其他高度上的压强、密度参数都可以仿此由温度随高度的变化关系代入上述微分方程