离散小波变换

1、第三章离散小波变换3.1尺度与位移的离散化方法1ft 八减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数屮a卫）=亠屮的v'a i a 丿a,.限定在一些离散点上取值。1.尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幕级数进行离散化， 即取am =am（ m为整数，a°式1，一般取a。=2 ）。如果采用对数坐标，则尺度a 的离散取值如图3.1所示。 « «12345671 « - 2 *3r jn 2图3.1尺度与位移离散方法2.位移的离散化：当a = 2°=1时，屮a）"（t -兀）。（1）通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴

2、。（2）要求采样间隔满足Nyquist采样定理，即采样频率大于该尺度下频率 通带的2倍3. '-a,.(t) = ？当m增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样 频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度m=0时.的间隔为Ts，则在尺度为2m时，间隔可取2mTs。此时屮a,*t）可表示为甘加卡"Ts记作、m,n（t）；m, n Z2为简化起见，往往把t轴用Ts归一化，这样上式就变为(3.1)(3.2)4. 任意函数f(t)的离散小波变换为WTf(m, n) = Rf (tr- m,n(t)dtDWT与CWT不同，在尺度一位移相平面上，它

3、对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然 引出两个问题：(1)离散小波变换WTf( m,n )=£ f(t),屮m,n(t) A是否完全表征函数f(t)的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数f(t)。(2)是否任意函数f(t)都可以表示为以屮m,n(t)为基本 单元的 加权和 f(t)八Cmm,n(t) ?如果可以，系数Cm,n如何求？m ,n WZ上述两个问题可以归结为一个。假设条件(1)满足，可合理的选择，并 对aj进行适当的离散(即适当的选择ao,Ts )，那么一定存在与小波序列屮m,n对(3.3)应的&q

4、uot;m,n序列，使得问题(1)的重建简单地表示为f(t)八f；m,n ，m,n m,nWZ鸣,n称为屮m,n的对偶，它可以由一个基本小波 萌(t)通过位移和伸缩取得:mWm,n(t)=2 一叩(2t- n)由上式，若存在g(t) l2(r)，则有<g,fA<f,g>=<CfVm,n AWm,n,g >m,n=(送< f严m,n ><叫4 A)m,n=g,m,nm,nm,nm,n< g'-m,n,m, n也即9八 7，m,n 'm,nm,n故问题(2)也成立，其中Cmxg,导m,n 由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们

5、首先来看问题（1）,该问题的数学 语言描述如下：若小波系数 U,n 表征f（t）的全部信息，则应有 当fl二f2时,:flm,n =：彳2m,n '；m,n Z或当f =0时，:m,n =0;m, n Z当fi和f2很接近时,:fl；m,n m,n Z和:：f2'm,n m,n Z也必然很接近。用范数2的概念来描述，即当|fi- f?|为一个很小的数时，送|£ fi岁m,n- £ f2岁m,n）也m,n必然为一个很小的数，用数学公式来描述：2 2瓦 |£ fm,nV fzFmH 兰 B| 右f?|，BRm,n也即2 2Z | f,屮 m,n H 兰

6、 Bf（ 3.4m,na）若要小波系数V f,屮m,n稳定的重建f，则必须有：当序列：:fi'm,n m,n Z和：:：彳2,九m,n Z很接近时，函数f和彳2也很接近，即A fl'辽 |£ 仁屮 m,n JR+（ 3.4b）m,n把（3.4a）和（3.4b）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变换对所有f（t），L2（R）必须满足下述条件：2 2 2A|f| 辽 |cf,屮 m,n）兰A,BR（ 3.4c）m,n满足式（3.4c）的离散函数序列如m,n；m nz在数学上称为“框架”。3.2小波框架与离散小波变换的逆变换3.2.1小波框架（1）小波框架的

7、定义当由基本小波（t）经伸缩和位移引出的函数族J j,k(t)=a°£ a°t-kTs ;j,k Z(3.5)具有下述性质时：2 2 2A|f| <ZZ £f,屮 j,k# <Bf| ；(3.6)j k便称如j，k(t) ,k曰构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为20乞£怦(2匕)邓， O<G£0£°O( 3.7)j目(2)小波框架的性质1) 满足小波框架条件的屮j,k(t)，其基本小波屮(t)必定满足容许性条件。但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔Ts及尺度基数ao下

8、都满足小波框架的条件。j2) 小波函数的对偶函数 陷沁)=2二卩(2十-k )也构成一个框架，其框架的上、下界是屮j,k(t)框架上、下界的倒数：A|f兰送迟f,屮j,k詁lf( 38)Aj kB3) 离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。4) 离散小波变换仍然具有冗余度。322离散小波变换的逆变换与重建核问题1. 离散小波变换的逆变换如离散小波序列如j,k(t)j,k，构成一个框架，其上、下界分别为A和B，则当A = B时(紧框架)，由框架概念可知离散小波变换的逆变换为1f(t) = A戈 £ f,屮 j,k(t)>Wj,k(t)=；2： WTf(j,k)bk(t)( 3.9)

9、jA j,k当A = B，而A，B比较接近时，作为一阶逼近，可取2肛 j,k(t) = A + B*j,k(t)( 3.10)则重建公式近似为2f(t)=送 < f?j,k(tj,k(t-Z WTf(j,k界 j,k(t)(3.11)jA + Bj,k逼近误差的范数为Rf由上式可见，A与B愈接近，逼近误差就愈小。为了保证屮j k能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在 a,i轴上的米样间隔提出更咼要求：a。不一定等于2, Ts也不一定等于1,以便于使A和B接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔二？愈小。离散栅格愈接近于覆盖整个a - .半平面，B/A就愈接近于1.关于A、B

10、与a。、，以及？()间的关系的部分结论如下：如如m,nl,n3是一个框架，则框架的上界 A、下界B满足下面的不等式：A( 3.12)：log a0特别对紧框架有：2 C )Ad-(3.13)l log a0 w举例：将Marr小波离散化为小波框架。Marr小波是常用的一种连续小波形式。若将Marr小波的尺度及位移分别离散化为j , j屮 j,k(t) = a°n屮(玄中-kM)则可证明，屮j,k(t)构成了一个L2(R)空间的小波框架，其框架的上界A、下界B同a。、之间的关系如表3.1表示。表3.1 Marr小波框架上、下界同a0和之间的关系a°AtABB A20.2513

11、.09114.1831.08320.506.5467.0921.08320.754.3644.7281.08321.003.2233.5961.16121.252.0013.4541.72621.500.3254.22112.9840.2527.27327.2781.00020.5013.67313.6391.00021.006.7686.8701.0151.502.6096.4832.4851230.5020.45720.4571.00001231.0010.17810.2791.0101231.504.6299.0091.9471240.5027.27627.2761.00001241.0

12、013.58613.6901.0071241.506.59411.5901.758由表3.1可知：1) 当 a。=2 时，取:0.75; a0 2 时，取.-： . :：: 1; a 3 2 时，取： <1或a。= 4 2时，取：. <1;均可使A B，可近似为紧框架。 此时采用重建公式(3.9)可较精确地重构原函数。2) ao一定时，B/A的值随增大而增大。3) 给定一个ao值，只要足够小，总可以得到一个近似紧的小波框 架。4) a。=2，- =1时，A = B，不是紧框架。2. 重建核公式(1) 正交性：只有当A = B=1时，框架屮j,k(t)变为正交基，此时经框架变 换后的

13、信息无任何冗余。但在其他情况下，框架 屮j,k(t)并不正交，具有一定的 相关性。因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。(2) 紧框架情况下的小波变换系数的相关性：将离散小波变换的逆变换公式(3.9)重写如下：1f(t)WTf(j,kj,k(t)(3.14)A j,k(3.15a)其中WTf(j,kH Rf (tr- j,k(t)dt(3.15b)(3.16)WTf(j°,ko) = Rf (t) - j°,ko(t)dt将式(3.14)代入式(3.15b)得1wTf(jo,ko)r、wTf(j,kr<,k(t)r jo,ko(t)dtA j k1r 则仃飞)R- j

14、,k(t)爲心水A j k1K(jo,ko；j,k)WTf(j,k)A j k其中K(jo,ko； j,k) = R- j,k(t) :- jo,ko(t)dt j,k(t)jo,ko(t厂(3.17)分析说明：(1)与连续情况一样，式(3.16)给出任意一点(jo,ko)处小波变换之值与栅格上其他各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程， 称为重建核，由小波框架本身决定。并不是相平面上的任意离散函数F (j,k)都可看作是某一函数的离散小波变换，只有它们之间满足(3.16)时才可以被看作为某一函数的 离散小波变换序列。 无论将Marr小波如何离散，都不能使 A = B =1，也即它不

15、可能构成 L2(R)空间的正交基。(Morlet小波和DOG也是如此)3.3二进小波变换对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的 a。= 2，一 = 0，即 相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散， 而位移仍取连续变化，我们称这 类小波为二进小波，表示为(3.18)kk/t) =ao 2 即二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化， 而在时间域上的平移量仍保持连续变化，故二进小波具有时移共变性，在奇异性 检测、图像处理方面十分有用。在讨论二进小波变换及逆变换公式时， 我们仍借 用离散小波框架理论对其进行分析。3.3.1二进小波变换及其逆变换设小波函数为(t)，

16、其傅里叶变换为)，若存在二常数O ： A B ：:,使得(3.19)此时式(3.18)定义的二进小波才是有意义的二进小波，即其逆变换存在。称式(3.19)为二进小波的稳定性条件；若 A二B，则称最稳定条件。若定义函数fL2(R)的二进小波变换系数为gk=f (t)艸卫)=2巳jR f屮jdt(3.20)由卷积定理，设WT2k( )的傅里叶变换为WT2k( )，贝UkWT2k (.) = F( ) 2空e？(2k )因此，稳定性条件(3.19)等价于对任意f L2(R)都有2 2 2Af|兰瓦|曲2(训兰B|f|(3.21)kZ式(3.21)说明：1) 二进小波屮2k,T(t)构成了 L2(R)

17、的一个框架。2) 二进小波屮2k T(t)的小波变换公式(式(3.20)及其逆变换公式存在。2 , T二进小波变换的重建公式为f(t)Y jRWT2(严2,(t)出(3.22)k WZ其中，旷2k,/t)为屮2k,g)的对偶框架，其上、下界分别为 B二A。同离散小波框架相似，当A二B时，12：住)J (3.23)当AHB时，W2k,'t)的一阶近似为2 '一A B2k,.(t)(3.24)当a接近于1时，其重构误差减小。当a 1采用高阶近似或递推的方法就可求 得更精确的解。332二进小波变换(1)与离散小波相同，二进小波也一定是一个允许小波，且有屮®)|2d 乞 Bl

18、n2Ain 2 乞"几52特别是，当A = B时,2C.，o ： : ( ')d 二 Aln2(3.25)（2）二进小波变换时冗余的由框架理论可知，当不满足A二B=1是，框架是冗余的，也即二进变换系数 之间具有一定的相关性，它们之间的关系满足重建核方程。紧框架情况下的重建 核方程如下：紧框架（a=B ）时，由（3.22）和（3.23）可知，重建公式为(3.26)1f(t)=x瓦.曲2* 屮 2k*t)diA k WZ由于叽心)=f (t) *屮2k,/t) = 2三 Jr f (t)屮dt当尺度为m ,平移为.0时，小波变换系数为WT2m( ) =2 2 ,Rf(ty-® _t dt hdtA2m_2R、严（八，（皿 _kZ? RWT2k( ) Rk :-Z_丿,(3.27)2kO；.Z都可以作为某一其中1K