量子力学作业答案

1、第一章量子理论基础1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 zm与温度T成反比, m T=b （常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 解根据普朗克的黑体辐射公式以及?vdv38：hvhv1 dv,ekT -18hc1hc(1)(3)这里的.的物理意义是黑体内波长介于入与入+d入之间的辐射能量密度。精选资料，欢迎下载本题关注的是入取何值时，匚取得极大值，因此，就得要求：，对入的一阶导数为零，由此可求得相应的入的值，记作 m。但要注意的是，还需要验证对入的二阶导数在 m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：hce石-1hc1-e

2、/kT 丿=01hc1 - J荷-0hc5(1 _八)二hc'kThc如果令x=，则上述方程为AkT5(1 _e») =x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的， 这样则有、T _竺m I -xk把x以及三个物理常量代入到上式便知mT =2.9 lOm K1. 4利用玻尔索末菲的量子化条件，求：(1) 一维谐振子的能量；(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=1OT玻尔磁子Mb =9X1O'4J T-1，试计算运能的量

3、子化间隔AE,并与T=4K及T=1OOK的热运动能量相比较。解玻尔索末菲的量子化条件为pdq 二 nh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿 运动轨道积一圈，n是正整数。(1)设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为卩，于是有如2这样，便有p=±2P(E -£kx2)一正一负正好这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动, 表示一个来回，运动了一圈。此外，根据E Jkx22可解出 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔一一索末菲的量子化条件, 有1 2X_'1 2匕2«E-2kx )dx +仃-)2巴

4、E-?kx )dx = nhX 12X .12、:2P(E kx)dx+q24(E 一一 kx )dx = nh二专 h为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；|2E"gx 二 sinV k这样,便有jr 2二.2cosdJ2兀 J2AE cos日cosdB = f h这时,令上式左边的积分为2 ncos rdh22E厶1-2A,此外再构造一个积分Bo：2E .；引n2 孙这样,便有ji无2E2JI：2E一2(1)2E. k cos2闭(2巧2k cos d ,这里 =2 B,这样，就有sin = 0A - B 二 E-JI(2)根据式（1）和（2）,便有这样，便有E J2 二其中h

5、二2兀最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次, 这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有这时，玻尔一一索末菲的量子化条件就为J" qBRd(R)二 nh2qBR 2 二=nhqBR2 二 nh又因为动能耐E2佥，所以，有E=(qBR)2-q2B2R22J2J叭沙B片2J2 1fBNb,其中，Mb二片是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且2卩E =BM B具体到本题，有E =109 10®J=9 10 3 J根据动能与温度的关系式以及可知，当温度T=4K时,当温度T=100K时,1k K =10“eV =1

6、.6 10 三 JE =1.5 4 1.6 10 °2 J =9.6 1022 J_22_20E =1.5 100 1.6 10 J =2.4 10 J显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度:(1戶1 =加r(2* 21-ikrer从所得结果说明；表示向外传播的球面波,'；2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：JJ2只有r分量s4 用在球坐标中11)- i舟*(1) J1 二12mz 1 -ikr、1 -ikr 一 1 ikr、(_e )_e(_e )r°rr er r1 1 1 1 -(-k)-

7、( ik)r°r r_ i r1 ikre 2m r :r1 12-(-y2m r r办k - 办k -2r03rmr mr4与r同向。表示向外传播的球面波。 J22m-C 2 'r1_ikre2mr(r1 /1-(22mrr*2k2 romr0AArxA/Iikr、1ikr：一z 1_ikr(e ) e(e)ro:r rr汀r1 1 1 1 r ik)- (-p-ik)r°r r r rk3 rmr_ikr可见，J2与r反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设'- (xHeikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化?丁 j 屮 * dx

8、= J dx =°°QOQ0波函数不能按' (x)2dx =1方式归一化0其相对位置几率分布函数为-= 1表示粒子在空间各处出现的几率相同2.3 一粒子在一维势场F，U(x) = <0,x ： 00 二 x 込 ax a中运动，求粒子的能级和对应的波函数解：U(x)与t无关，是定态冋题。其定态 S 方程2m dx2(x) U (x)- (x)二 E'- (x)在各区域的具体形式为护d2I: x ： 01 (x) U (x' 1(x E- 1 (x)2m dx弃2 d2n： 0_x_a22(x)二 EJ 2(x)2m dx衣2 d2ID: x a

9、2 J 3(x) U (x)J 3(x)二 E- 3(x)2m dx由于、(3)方程中，由于U(x)=:，要等式成立，必须'- i(x) =0' 2(x) =0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程可变为d 22(x) 2mm'- 2(x0 dx令 k2 二 2mE2d" 2(x)dx2k2'-(x) =0其解为 - 2(x)二 Asin kx Bcoskx根据波函数的标准条件确定系数 A, B,由连续性条件，得'- 2(°)，i(0)J(a)3(a) =B = 0A = 0sin ka =0二 ka 二 n 二 (n =1,2,3/

10、 ) 2 (x)二 As in J xa由归一化条件2那(x) dx = 1得A2 sin2 xdx = 1s a=Asi n ka = 0asinb.n兀 x sin - amn二屮2(x) =2sin n；T ak22mEEn7：2'22ma2n2(n =1,2,3,)可见E是量子化的。对应于En的归一化的定态波函数为240 _ x _ ax a, x a证明(2.6-14 )式中的归n兀A sin (x a), « a0,x ax a(2.6-14)由归一化，得讪1-辟2(x a)dxA 2sin2n (x a)dx a-_ x-f cos-(x +a)dx2-a2a=

11、A，2aAa . n兀 sin(x+a)a2n兀a-a=A'2a=A22 a 2AA a n 二归一化常数A> 1#Ja2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置2： 3 2x e2 2 : xdd(x)=2x_2/x3edx令 d i(x) =0，得dxc1x = 0 xx =二:：CL由(x)的表达式可知，x=O,x-_二时，(x)-。显然不是最大几率的位置2 32x2x(2x 2： x )e =可见xW 事是所求几率最大的位置。#3.2.氢原子处在基态' (r,)=1-r /aoe ，求: .二 a3，(1)r的平均值；2势能-的平均值；r(3) 最可几半径；(4

12、) 动能的平均值；(5) 动量的几率分布函数。21 T 2 气 qq解：(1) r = r'- (r, 6 :) d = 3re r/aor2 sin二 drd = d ：a3oo -o-2r/aodr43!34 ao4 23aoa02e3 二 ao:2 sin日drd日d申2e3 : ao4e2 :ao4e213ao，r/ao r sin v drd： d :e"aordraoao电子出现在叶dr球壳内出现的几率为-(r)drd (r)dr二 o,24'-(r, v, ) r sin v drd v d =re or dr4'(r) ye ao_2r/ao

13、2rd '£(2-2恥皿aoaodr=o,2 = ：,3 二 ao-2r/ ao(r)二0为几率最小位置d2 (r)dr22d -(r)dr2r二a°是最可几半径。(4) V?22一23ao二(2r 号r2”r/aoaoao8: o3ao- I r>.rr 2 1 2 1吊卡忖(r才而药(s in咕)si n2日薪2'1 e_r/a2(r/ao)r2si ndrdTd®a32 -精选资料，欢迎下载2 二 2二：1_/30dr dr-/ag)r2sinr drdr c( p)=c(p)=42oOg(2r2J)e，ag drag_r/a°

14、;422ag2 仏4 'J 44)(2二一严-r/ag 2r dr g e2 :(2 朋)3/*“3JIdr °e一护 cos0d(-cos v)2:(2T)3/2a：，r2e"/agdr eipr-r/ag_»prcos 日JIh oa(2iL)3/2 二a； ipre"-r/agHr产 n _ax n!0xe dx，(2二)3/2：试 ip丄一丄 p)2a0+a04ip.2a： 3 ipag (12P2 )22ag-2-2 2.2a； "p (a°2p22)(2ag)3/2'二(ag2p22)2动量几率分布函数(P

15、)二 c( p)28aT二 2(agP2 一2)4精选资料，欢迎下载3.5刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是HL221丄为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:（1）转子绕一固定轴转动：（2）转子绕一固定点转动：解：（1）设该固定轴沿Z轴方向，则有L2= L哈米顿算符V?Z2 d22?其本征方程为（H与t无关，属定态问题）2_dt2I d 2d2 ()d 22IE'2令 m2二卷，则d2 ()d 2m2 ( )=0取其解为（）= Aeim ''（ m可正可负可为零）由波函数的单值性，应有（.2二）二J二.eim（ 2二）=eim ：即ei

16、2m1m= 0,± 1，± 2，m2护，± 1，± 2,）定态波函数为转子的定态能量为Em = (m= 0可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。2I二 AeA为归一化常数，由归一化条件1 = f%XdJA2 F>=A22 贰=A =转子的归一化波函数为综上所述，除m=0外，能级是二重简并的(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为21H与t无关，属定态问题，其本征方程为丄！?Y(6 )二 EYG,)2I( 式中Y,)设为F?的本征函数，E为其本征值)l?Y( ) =2IEY (二，)令2IE = 一2，则有Ly()=2yg,)此即为角动量?的

17、本征方程，其本征值为L2 =2 = (1) 2(=0, 1,2,)其波函数为球谐函数YmU,：)二N mPHI(cos)eim转子的定态能量为(1)一22I可见，能量是分立的，且是(21)重简并的 3.9.设氢原子处于状态亿 )二只洛门丫仙)一呼只川门丫心)2 2求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值E2角动量平方有确定值为L2 = (1) 2=2 2(n = 2)(=1)角动量Z分量的可能值为Lzi = 0 Lz2 -其相应的几率分别为134，4其平均值为- 1 Lz 043.10 粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为r _ a; r a2精选资料，欢迎下载求粒子的能级和定态函数解：据题意，在r _a的区域,U(r):，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数=0 (由于在r a的区域内，U(r)=0。只求角动量为零的情况，即=0,这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度：无关，是各 向同性的，因此，粒子的波函数只与 r有关，而与无关。设为* (r)，贝U粒 子的能量的本征方程为2- r dr dr令 U(r)=rE ,，得d2u dr2其通解为精选资料，欢迎下载u(r)二 Aco