高等数学课件：9-4 高阶线性微分方程

1、 二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为若方程右端若方程右端f(x) 0时，方程称为齐次的，否则称为非齐次的时，方程称为齐次的，否则称为非齐次的即 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 22dxyd+P(x)dxdy+Q(x)y=f(x)，线性微分方程线性微分方程: 未知函数及其各阶导数都以一次方幂出现的方程未知函数及其各阶导数都以一次方幂出现的方程. 111.nnnnyxpx yxpx yxpx y xf x+=n阶线性微分方程的一般形式：阶线性微分方程的一般形式：定理定理设函数设函数 在区间在区间 上连续上连续,则初值问题则初值问题 ,p xq xf x, a b 000

2、10.,yp x yq x yf xy xyyxyxa b+= 在区间在区间 内存在唯一的解内存在唯一的解, a b .y x9-4 高阶线性微分方程高阶线性微分方程问：上述解是通解吗？上述解是通解吗？1.二阶线性齐次方程通解的结构二阶线性齐次方程通解的结构 定理 如果函数如果函数y1(x)与与y2(x)是方程是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解，那么的两个解，那么y= =C1y1(x)+ +C2y2(x)也是方程的解，其中也是方程的解，其中C1、C2是任是任意常数意常数 齐次线性方程解的叠加原理：齐次线性方程解的叠加原理：证明提示：证明提示： C1y1+ +C2y2 + +P(x)

3、C1y1+ +C2y2 + +Q(x) C1y1+ +C2y2 = =C1y1 + +P(x)y1 + +Q(x)y1+ +C2y2 + +P(x)y2 + +Q(x)y2 = =0+ +0= =0 函数组线性相关与线性无关函数组线性相关与线性无关定义：定义： 例如，1，cos2x ，sin2x 在整个数轴上是线性相关的函数1，x，x2在任何区间(a, b)内是线性无关的问：上述解是通解吗？上述解是通解吗？ 齐次线性方程解的叠加原理：齐次线性方程解的叠加原理： 定理 如果函数如果函数y1(x)与与y2(x)是方程是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解，那么的两个解，那么y= =C1y1(

4、x)+ +C2y2(x)也是方程的解，其中也是方程的解，其中C1、C2是任意常数是任意常数1.二阶线性齐次方程通解的结构二阶线性齐次方程通解的结构 1 1220,mmkxkxkx+ 12,mxxx设设m个函数个函数, a b在区间在区间 上有定义上有定义, 若存在若存在12,mk kkm个不全为零的常数个不全为零的常数,xa b使得当使得当 时有时有, a b则称这则称这m个函数在区间个函数在区间 上上 线性相关；线性相关；否则称为线性相关否则称为线性相关 定理定理3 如果如果函数y1(x)与 y2(x) 是方程y+P(x)y+Q(x)y=0 的两个线性无关的解，那么y=C1 y1(x)+C2

5、y2(x) 是方程的通解，其中C1、C2是任 意常数 齐次线性方程通解的结构：齐次线性方程通解的结构： 齐次线性方程解的叠加原理：齐次线性方程解的叠加原理： 定理 如果函数如果函数y1(x)与与y2(x)是方程是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解，那么的两个解，那么y= =C1y1(x)+ +C2y2(x)也是方程的解，其中也是方程的解，其中C1、C2是是任意常数任意常数问：上述解是通解吗？上述解是通解吗？1.二阶线性齐次方程通解的结构二阶线性齐次方程通解的结构引理引理设设 与与 是线性齐次方程是线性齐次方程 1x 2,xxa b 0.yxp x yxq x y x+= 的两个解，与在

6、上线性相关的两个解，与在上线性相关 2x 1x, a b 12120,.xxW xxa bxx= 朗斯基朗斯基 行列式行列式ronski推论推论 2x 1x与与线性无关线性无关 12120,xxW xxx= ,.xa b 推广推广 n阶线性齐次方程的阶线性齐次方程的n个解个解线线相关线线相关12,n 12121110nnnxxxxW xxx= 例 验证y1=cos x 与y2= sin x 是方程y+y=0 的线性无关解，并写出其通解 解 因为y1+y1=cos x+cos x =0，y2+y2=sin x+sin x =0，所以y1=cos x与y2= sin x都是方程的解 因为比sin

7、xcos x不恒等于常数，所以cos x与sin x在(, +)内是线性无关的 因此y1=cos x 与y2=sin x 是方程y+y=0 的线性无关解 方程的通解为 y=C1cos x+C2sin x 对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关判别两个函数线性相关性的方法：判别两个函数线性相关性的方法：定理定理4 若若 是线性齐次方程是线性齐次方程 12,nxxx 1110nnnnypx ypx ypx y+=的的n个线性无

8、关的解，个线性无关的解， 1122nnCxCxCx+其中是任意常数，其中是任意常数，12,nC CC且方程的任一解都包含在此通解中且方程的任一解都包含在此通解中则方程的通解是则方程的通解是2. 二阶线性非齐次方程通解的结构二阶线性非齐次方程通解的结构我们把方程我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与线性非齐次方程叫做与线性非齐次方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程对应的齐次方程 *12y xcxcxyx=12+定理定理5设设y*(x)是线性非齐次方程是线性非齐次方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解，的一个特解， 12cxcx12+又又 是对应的齐次方程的通解，是对应的齐次方程的通解，则则是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.定理定理6设函数设函数 与与 分别是非齐次方程分别是非齐次方程 1yx 2yx 1ypyqyfx+= 2ypyqyfx+=与与的解的解,则函数则函数 是非齐次方程是非齐次方程 12yyxyx=+ 12ypyqyfxf