高中数学必修一第四章 4.2.2(一)

1、1 / 11 42.2 指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质(一一) 学习目标 1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域 知识点 指数函数的图象和性质 指数函数 yax(a0，且 a1)的图象和性质如下表： a1 0a0时，y1； 当 x0时，0y0时，0y1； 当 x1 单调性 在 r 上是增函数 在 r 上是减函数 预习小测 自我检验 1函数 y( 31)x在 r 上是_函数(填“增”“减”) 答案 减 2函数 y2x的图象是_(填序号) 答案 3函数 f(x)131x的定义域为_ 答案 r 4函数 f(x)2x3的值域为_ 答案 (3，) 2

2、 / 11 一、指数函数的图象及应用 例 1 (1)函数 yax1a(a0，且 a1)的图象可能是( ) 答案 d (2)函数 f(x)1ax2(a0，且 a1)恒过定点_ 答案 (2,2) (3)已知函数 y3x的图象，怎样变换得到 y13x12的图象？并画出相应图象 解 y13x123(x1)2. 作函数 y3x关于 y 轴的对称图象得函数 y3x的图象，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y3(x1)的图象，最后再向上平移 2 个单位长度就得到函数 y3(x1)213x12 的图象，如图所示 反思感悟 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函

3、数图象所过的定点时，只要令指数为 0，求出对应的 y的值，即可得函数图象所过的定点 (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移) (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性 跟踪训练 1 (1)已知 0a1，b1，则函数 yaxb 的图象必定不经过( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 答案 a 解析 函数恒过点(0,1b)， 因为 b0，且 y1 (2)定义域为 r. |x|0，y23|x|32|x|3201， 此函数的值域为1，) (3)由题意知 112x0， 12x1120， x0，定义域为x|x0，xr x0，12x1. 又12x0，012x1. 0112x1

4、， 0y0， 函数22312xxy=的值域为(0,16 (2)求函数 y4x2x1 的定义域、值域 解 函数的定义域为 r， y(2x)22x12x12234， 2x0，当 2x12，即 x1时，y 取最小值34， 同时 y 可以取一切大于34的实数， 值域为34， . 5 / 11 1函数 f(x)x与 g(x)1x的图象关于( ) a原点对称 bx 轴对称 cy 轴对称 d直线 yx对称 答案 c 解析 设点(x，y)为函数 f(x)x的图象上任意一点，则点(x，y)为 g(x)x1x的图象上的点因为点(x，y)与点(x，y)关于 y 轴对称，所以函数 f(x)x与 g(x)1x的图象关于

5、 y轴对称，选 c. 2.函数 f(x)axb的图象如图所示，其中 a，b为常数，则下列结论正确的是( ) aa1，b1，b0 c0a0 d0a1，b0 答案 d 解析 从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0a1；从曲线位置看，是由函数 yax(0a0，即 b0，且 a1)的图象过定点_ 答案 (3,4) 解析 因为指数函数 yax(a0，且 a1)的图象过定点(0,1)， 所以在函数 yax33 中，令 x30，得 x3，此时 y134，即函数 yax33 的图象过定点(3,4) 4函数 f(x) 12x1x3的定义域为_ 考点 指数函数的定义域 题点 指数型复合函数的

6、定义域 答案 (3,0 解析 由题意，自变量 x应满足 12x0，x30， 6 / 11 解得3x0. 5已知函数 f(x)12|x|，则 f(x)的值域为_ 答案 (0,1 解析 因为 f(x)12|x| 12x，x0，12x，x0， 所以其图象由 y12x(x0)和 y2x(x0. 1函数 y 2x1的定义域是( ) a(，0) b(，0 c0，) d(0，) 答案 c 解析 由 2x10，得 2x20，x0. 2已知函数 f(x)4ax1的图象经过定点 p，则点 p 的坐标是( ) a(1,5) b(1,4) c(0,4) d(4,0) 答案 a 解析 当 x10，即 x1时，ax1a0

7、1，为常数， 此时 f(x)415.即点 p的坐标为(1,5) 3函数 ya|x|(a1)的图象是( ) 7 / 11 考点 指数函数的图象与性质 题点 指数函数图象的应用 答案 b 解析 函数 ya|x|是偶函数，当 x0时，yax.由已知 a1，故选 b. 4函数 y 164x的值域是( ) a0，) b0,4 c0,4) d(0,4) 答案 c 解析 要使函数式有意义，则 164x0. 又因为 4x0，0164x0，且 a1)的图象如图，则 f(3)_. 答案 3 33 解析 由题意知， f(x)的图象过点(0，2)和(2,0)， 所以 a0b2，a2b0， 8 / 11 所以 a 3(

8、a 3舍)，b3. 所以 f(x)( 3)x3， 所以 f(3)( 3)333 33. 7若函数 f(x) 2x，x0，则函数 f(x)的值域是_ 答案 (1,0)(0,1) 解析 由 x0，得 02x0，x0,02x1， 12x0，且 a1)在1,2上的最大值与最小值之和为 6，则 a_. 答案 2 解析 f(x)ax(a0，且 a1)在1,2上的最大值与最小值之和为 6， aa26，即 a2a60， a2或 a3(舍) 9求函数 f(x)22113xx的定义域、值域 解 要使函数有意义， 则 x应满足 x22x0， 即 x2或 x0， 所以所求函数的定义域为(，02，)， 令 t x22x

9、1， 所以 t1， 又 y13t为减函数， 所以 013t131， 即 00且 a1. (1)求 a的值； (2)求函数 yf(x)(x0)的值域 9 / 11 解 (1)函数图象经过点2，12， 所以 a2112，则 a12. (2)由(1)知函数为 f(x)12x1(x0)， 由 x0，得 x11. 于是 01 cx|x0，y|y1，且 y1 dx|x0，y|y1，且 y0 答案 c 解析 要使 y12xx1有意义， 只需x1x有意义，即 x0. 若令 ux1x11x， 则可知 u1，y2111. 又y12xx1011， 函数 y12xx1的定义域为x|x0，值域为y|y1，且 y1 12

10、若函数 yaxb1(a0，且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) a0a0 ba1，且 b0 c0a1，且 b1，且 b0，且 a1)的图象是由函数 yax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以 a(0,1)若经过第二、三、四象限，则需将函数yax(0a1)的图象向下平移大于 1个单位长度，即 b11，所以 b0)， 则函数 y4x2x11 可化为 yt22t1(t1)2， 该函数在 t(0，)上递增，所以 y1， 即原函数的值域为(1，) 14已知方程|2x1|a有唯一实数解，则 a的取值范围是_ 答案 1，)0 解析 作出 y|2x1|的图象，如图， 要使直线 ya与 y|2x1|的图象的交点只有一个， a1或 a0. 15已知 1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为( ) 答案 c 解析 由于 0mn1，所以 ymx与 ynx都是减函数，故排除 a，b，作直线 x1 与两个曲线相交，交点在下面的是函数 ymx的图象，故选 c. 16已知函数 f(x)13|x|1. (1)作出 f(x)的简图； (2)求 f(x)的单调区间； (3)若关于 x的方程 f(x)3