高考大题专项练二　高考中的三角函数与解三角形

1、1 / 5 高考大题专项练二高考大题专项练二 高考中的三角函数与解三高考中的三角函数与解三角形角形 高考大题专项练第高考大题专项练第 4 页页 一一、非选择题、非选择题 1.abc的内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.设(sin b-sin c)2=sin2a-sin bsin c. (1)求 a; (2)若2a+b=2c,求 sin c. 解:(1)由已知得 sin2b+sin2c-sin2a=sin bsin c, 故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得 cos a=2+2-22=12. 因为 0a180,所以 a=60. (2)由(1)知 b=120-c,由题设及

2、正弦定理得2sin a+sin(120-c)=2sin c, 即62+32cos c+12sin c=2sin c, 可得 cos(c+60)=-22. 由于 0c120, 所以 sin(c+60)=22, 故 sin c=sin(c+60-60)=sin(c+60)cos 60-cos(c+60)sin 60=6+24. 2.abc的内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.已知 sin a+3cos a=0,a=27,b=2. (1)求 c; (2)设 d为 bc边上一点,且 adac,求abd的面积. 解:(1)由已知可得 tan a=-3,所以 a=23. 在abc中,由余弦定理得

3、28=4+c2-4ccos23, 即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得cad=2, 所以bad=bac-cad=6.故abd面积与acd面积的比值为12sin612=1. 又abc的面积为1242sinbac=23, 2 / 5 所以abd 的面积为3. 3.在abc 中,内角 a,b,c所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acos b. (1)证明:a=2b; (2)若abc的面积 s=24,求角 a的大小. 答案:(1)证明由正弦定理,得 sin b+sin c=2sin acos b, 故 2sin acos b=sin b+sin(a+b

4、) =sin b+sin acos b+cos asin b. 于是 sin b=sin(a-b). 又 a,b(0,),故 0a-b, 所以 b=-(a-b)或 b=a-b, 因此 a=(舍去)或 a=2b, 所以 a=2b. (2)解由 s=24,得12absin c=24, 故有 sin bsin c=12sin 2b=sin bcos b. 由 sin b0,得 sin c=cos b. 又 b,c(0,),所以 c=2b. 当 b+c=2时,a=2; 当 c-b=2时,a=4. 综上,a=2或 a=4. 4.在abc 中,d是 bc 上的点,ad 平分bac,abd的面积是adc面积

5、的 2倍. (1)求sinsin; (2)若 ad=1,dc=22,求 bd和 ac的长. 解:(1)sabd=12ab adsinbad, sadc=12ac adsincad. 因为 sabd=2sadc,bad=cad, 所以 ab=2ac. 由正弦定理可得sinsin=12. 3 / 5 (2)因为 sabdsadc=bddc, 所以 bd=2. 在abd和adc中,由余弦定理知 ab2=ad2+bd2-2ad bdcosadb,ac2=ad2+dc2-2ad dccosadc. 故 ab2+2ac2=3ad2+bd2+2dc2=6. 由(1)知 ab=2ac,所以 ac=1. 5.(

6、2020 全国,理 17)abc中,sin2a-sin2b-sin2c=sin bsin c. (1)求 a; (2)若 bc=3,求abc 周长的最大值. 解:(1)由正弦定理和已知条件得 bc 2-ac 2-ab2=ac ab. 由余弦定理得 bc 2=ac 2+ab2-2ac abcos a. 由得 cos a=-12. 因为 0a,所以 a=23. (2)由正弦定理及(1)得sin=sin=sin=23, 从而 ac=23sin b,ab=23sin(-a-b)=3cos b-3sin b. 故 bc+ac+ab=3+3sin b+3cos b=3+23sin( +3). 又 0b3,

7、所以当 b=6时,abc周长取得最大值 3+23. 6.在平面四边形 abcd 中,adc=90,a=45,ab=2,bd=5. (1)求 cosadb; (2)若 dc=22,求 bc. 解:(1)在abd中,由正弦定理得sin=sin. 由题设知,5sin45=2sin, 所以 sinadb=25. 由题设知,adb90, 所以 cosadb=1-225=235. (2)由题设及(1)知,cosbdc=sinadb=25. 在bcd中,由余弦定理得 bc2=bd2+dc2-2 bd dc cosbdc=25+8-2522 25=25. 4 / 5 所以 bc=5. 7.在abc 中,角 a

8、,b,c 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 2c-cos 2a=2sin(3+)sin(3-). (1)求角 a 的值; (2)若 a=3,且 ba,求 2b-c 的取值范围. 解:(1)因为 cos 2c-cos 2a=2sin(3+ )sin(3-), 所以 2sin2a-2sin2c=2(34cos2-14sin2), 化简,得 sin a=32. 所以 a=3或 a=23. (2)因为 ba,所以 a=3. 由正弦定理sin=sin=sin=2, 得 b=2sin b,c=2sin c. 故 2b-c=4sin b-2sin c=4sin b-2sin(23-)=3sin b

9、-3cos b=23sin(-6). 又因为 ba,所以3b23,即6b-62. 所以 2b-c=23sin(-6)3,23),即 2b-c 的取值范围为3,23). 8.在abc 中,内角 a,b,c所对的边分别为 a,b,c.已知 bsin a=acos(-6). (1)求角 b 的大小; (2)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2a-b)的值. 解:(1)在abc中,由正弦定理sin=sin, 可得 bsin a=asin b. 又由 bsin a=acos(-6), 得 asin b=acos(-6), 即 sin b=cos(-6),可得 tan b=3. 5 / 5 又因为 b(0,),所以 b=3. (2)在abc中,由余弦定理及 a=2,c=3,b=3,有 b2=a2+c2-2accos b=7,故 b=7. 由