高考数学一轮复习9 第9讲　函数与方程

1、1 / 17 第 9讲 函数与方程 最新考纲 考向预测 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 命题趋势 利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度. 核心素养 直观想象、逻辑推理 1函数零点 (1)定义：对于函数 yf(x)(xd)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xd)的零点 (2)三个等价关系 (3)存在性定理 2二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系

2、0 0 0 二次函数 yax2 bxc (a0) 的图象 2 / 17 与 x 轴 的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点 x1，x2 x1 无 常用结论 有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 常见误区 1函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)0 的根，也是函数 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断

3、零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1) 函 数 y f(x) 在 区 间 (a ， b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 象 连 续 不 断 ) ， 则f(a) f(b)0.( ) (2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值( ) (3)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0时没有零点( ) (4)若函数 f(x)在(a，b)上连续单调且 f(a) f(b)0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数 yf(x)在区

4、间1，6上的零点至少有 3 个 答案：3 5已知函数 f(x)2axa3，若x0(1，1)，使得 f(x0)0，则实数 a的取值范围是_ 解析：依题意可得 f(1) f(1)0，即(2aa3)(2aa3)0，解得 a1. 答案：(，3)(1，) 4 / 17 函数零点所在区间的判断 (一题多解)函数 f(x)log3xx2的零点所在的区间为( ) a(0，1) b(1，2) c(2，3) d(3，4) 【解析】 方法一(定理法)：函数 f(x)log3xx2 的定义域为(0，)，并且 f(x)在(0，)上单调递增，图象是一条连续曲线由题意知 f(1)10，f(3)20，根据零点存在性定理可知，

5、函数 f(x)log3xx2 有唯一零点，且零点在区间(1，2)内 方法二(图象法)：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)log3x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的范围作出两个函数的图象如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1，2)故选 b. 【答案】 b 判断函数零点所在区间的方法 方法 解读 适合题型 定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负 图象法 画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象 1已知实数 a1，0b1，0b1，f(x)axxb，所以 f(1)1a1b0，由零点存在

6、性定理可知 f(x)在区间(1，0)上存在零点 2设函数 f(x)13xln x，则函数 yf(x)( ) a在区间1e，1 ，(1，e)内均有零点 b在区间1e，1 ，(1，e)内均无零点 c在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点 d在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：选 d.令 f(x)0得13xln x. 作出函数 y13x 和 yln x 的图象，如图， 显然 yf(x)在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点 函数零点个数的判断 (一题多解)函数 f(x)x2x2，x0，1ln x，x0的零点个数为( ) a3 b2 c1 d0 【解析】

7、方法一(方程法)：由 f(x)0， 得x0，x2x20或x0，1ln x0， 解得 x2或 xe. 因此函数 f(x)共有 2个零点 6 / 17 方法二(图形法)：函数 f(x)的图象如图所示， 由图象知函数 f(x)共有 2 个零点 【答案】 b 判断函数零点个数的 3种方法 (1)方程法：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0，则函数 yf(x)3x 的零点个数是( ) a0 b1 c2 d3 解析：选 c.令 f(x)3x0，则x0，x22x3x0或x0，11x3x0，解得 x0或

8、x1，所以函数 yf(x)3x 的零点个数是 2. 2函数 f(x)3xx32 在区间(0，1)内的零点个数是( ) a0 b1 c2 d3 解析：选 b.由题意知 f(x)单调递增，且 f(0)10210，即 f(0) f(1)0)，yln x(x0)的图象如图所示 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.故选 c. 函数零点的应用 (1)函数 f(x)x2ax1在区间12，3 上有零点，则实数 a的取值范围是( ) a(2，) b2，) c2，52 d2，103 (2)已知函数 f(x)ex， x0，ln x， x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a的取

9、值范围是_ 【解析】 (1)由题意知方程 axx21 在12，3 上有解，即 ax1x在12，3 上有解，设 tx1x，x12，3 ，则 t 的取值范围是2，103.所以实数 a 的取值范围是2，103. (2)函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f(x)xa 有 2个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点，作出直线 yxa 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得 a1. 8 / 17 【答案】 (1)d (2)1，) 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等

10、式确定参数范围 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解 1函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范围是( ) a(1，3) b(1，2) c(0，3) d(0，2) 解析：选 c.由题意，知函数 f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内， 所以f（1）0，即a0， 解得 0a3，故选 c. 2若函数 f(x)|2x4|a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 a 的取值范围为( ) a(0，4) b(0，) c(3，

11、4) d(3，) 解析：选 c.令 g(x)|2x4|，其图象如图所示， 9 / 17 若 f(x)|2x4|a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a(3，4) 思想方法系列 6 破解嵌套函数的零点问题 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解 类型一 嵌套函数零点个数的判断 (2021 沈阳市教学质量监测(一)已知函数 f(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，且当 x(0，)时，f(x)（x1）2，

12、02，则函数 g(x)f2(x)f(x)的零点个数为( ) a4 b5 c6 d7 【解析】 因为当 x(0，2时，f(x)(x1)2，当 x2 时，f(x)f(x2)1， 所以将 f(x)在区间(0，2上的图象向右平移 2 个单位长度，同时再向上平移1 个单位长度，得到函数 f(x)在(2，4上的图象同理可得到 f(x)在(4，6，(6，8，上的图象再由 f(x)的图象关于 y 轴对称得到 f(x)在(，0)上的图象，从而得到 f(x)在其定义域内的图象，如图所示： 令 g(x)0，得 f(x)0或 f(x)1，由图可知直线 y0与 y1和函数 yf(x)10 / 17 的图象共有 6 个交

13、点，所以函数 g(x)共有 6个零点故选 c. 【答案】 c 破解此类问题的主要步骤 (1)换元解套，转化为 tg(x)与 yf(t)的零点 (2)依次解方程，令 f(t)0，求 t，代入 tg(x)求出 x 的值或判断图象交点个数 类型二 求嵌套函数零点中的参数 函数 f(x)ln（x1），xt1)，则 t11，t21. 当 t11 时，t1f(x)有一解；当 t21 时，t2f(x)有两解综上，当 a1 时，函数 g(x)f(f(x)a 有三个不同的零点 【答案】 1，) (1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由 ya与 yf(t)的图象，确定 t1，t2的取值范围，进而由 tf(x)的图

14、象确定零点的个数 (2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合 设定义域为 r 的函数 f(x)|lg|x2|，x2，0，x2.若 b0，则关于 x的方程f(x)2bf(x)0的不同实数根共有( ) a4个 b5个 11 / 17 c7个 d8个 解析：选 c.由f(x)2bf(x)0，得 f(x)0或 f(x)b.所以方程f(x)2bf(x)0 的根的个数即为函数 yf(x)与函数 y0，yb(b0)的图象的交点个数作出函数 f(x)的图象如图所示，结合图象可知，f(x)0 有 3 个实数根，f(x)b(b0，f(2)14253200， 所以 f(1) f

15、(2)1，若方程 f(x)a 有且只有一个实数根，则实数 a满足( ) aa1 ba1 12 / 17 c0a1 da0，则使方程 xf(x)m 有解的实数 m 的取值范围是( ) a(1，2) b(，2 c(，1)(2，) d(，12，) 解析：选 d.当 x0时，xf(x)m，即 x1m，解得 m1；当 x0时，xf(x)m，即 x1xm，解得 m2，即实数 m 的取值范围是(，12，)故选 d. 13 / 17 6已知函数 f(x)23x1a 的零点为 1，则实数 a的值为_ 解析：由已知得 f(1)0，即2311a0，解得 a12. 答案：12 7函数 f(x)ln xx22x，x0，

16、4x1，x0的零点个数是_ 解析：当 x0 时，作出函数 yln x 和 yx22x 的图象，由图知，当 x0时，f(x)有 2个零点； 当 x0时，由 f(x)0，得 x14. 综上，f(x)有 3个零点 答案：3 8若函数 f(x)2xa，x0，ln x，x0有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_ 解析：当 x0 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点，则当 x0 时，函数 f(x)2xa 有一个零点令 f(x)0，得 a2x.因为 02x201，所以 00) (1)作出函数 f(x)的图象； (2)若方程 f(x)m有两个不相等的正根，求 m的取值

17、范围 解：(1)如图所示 (2)由函数 f(x)的图象可知，当 0m0 恒成立，即对于任意 br，b24ab4a0 恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得 0a0，若 x1x2x3x4，且 f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是( ) ax1x21 bx3x41 c1x42 d0 x1x2x3x40，作出其函数图象： 15 / 17 由图可知，x1x22，2x11； 当 y1时，|log2x|1，有 x12，2， 所以12x31x40，g（2）05m0，22m0，解得 1m0，x1，x0. (1)求 gf(1)的值； (2)若方程 gf(x)a0有 4 个实数

18、根，求实数 a的取值范围 解：(1)利用解析式直接求解得 gf(1)g(3)312. (2)令 f(x)t，则原方程化为 g(t)a，易知方程 f(x)t在 t(，1)上有 2个不同的解， 则原方程有 4 个解等价于函数 yg(t)(t1)与 ya 的图象有 2 个不同的交16 / 17 点，作出函数 yg(t)(t1)的图象，如图，由图象可知，当 1a54时，函数 yg(t)(t1.设函数 f(x)2x1(24x)，xr.若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( ) a(0，1) b(0，2)(2，3) c(0，2) d(0， 31)( 31，2) 解析：选 a.若 2x1(24x)1，则(2x)222x30，即 2x1，解得x0；若 2x1(24x)1，则(2x)222x30，解得 2x1 或 2x0.所以 f(x)2x1，x0，24x，x0.作出函数 f(x)的图象和 yc 的图象如图所示因为yf(x)c有两个零点，所以 f(x)c 有两个解，所以 0c1.故选 a. 16定义：设不等式 f(x)0 的解集为 m，若 m 中只有唯一整数，则称 m是最优解若关于 x 的不等式|x22x3|mx2