多元函数微分学与应用

1、一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续三、多元函数微分学三、多元函数微分学 二、导数与微分二、导数与微分微分微分学学四、微分学应用四、微分学应用)(xfy yxoD1. 一元函数显函数( )yf x xD定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。隐函数( , )0F x y 参数方程所表示的函数( )( )xtyt13)( xxf有界性 ,单调性 , 奇偶性 ,周期性 复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.1) 13(31)(3)(xxfxff基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函

2、数 Axf)( 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim0Axfxf)()(00极限运算法则的无穷小为其中0)(xxAxf无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 两个重要极限两个重要极限 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;xexexxxxxxxx100)1 (lim,)11 (lim, 1sinlim等价无穷小代换0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)(

3、)()()2内可导在与axFxf0)( xF且定理定理 (洛必达法则) 说明说明: 定理中ax 换为, ax, ax,xx,x之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.)(或为洛必达法则洛必达法则函数连续的定义)()(lim00 xfxfxx)()()(000 xfxfxf函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点例例1. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx

4、)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e例例2. 若223lim(2)1xaxbxx ，求a与b的值。导数导数 定义:000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx 当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 关系关系 :可导可微导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率1. 有关概念)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3正确使用导数及

5、微分公式和法则 （要求记住！）高阶导数的求法(逐次求一阶导数）21sinyx的导数d.dyx解：2d1112 sincos()dyxxxx 212sinxx 21xxyx例5. 求函数21xyx在x处的微分解：( )dyfx dx222111xxxxdxx3221(1)dxx0),(zyxF1. 多元显函数求偏导和高阶偏导2. 复合函数求偏导注意正确使用求导符号3. 隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。zyzxFFyzFFxz,4. 全微分),(yxfz zdyyxfxyxfyxd),(d),(5. 重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续(xykz

6、 k解解:zxyxyz2,xkzyy 为正常数），求,zyxkykzx1zxykzxyzxy 解：设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz2zxzx242 zFz,04222zzyx.xz求1.1.导数的几何意义导数的几何意义例8.求曲线上切线平行于x轴的点。36yxx2360yx 解：由解得2x 4 2y 36yxx得代入所求点为：( 2, 4 2),(2,4 2)若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .在开区间 I 内可导,2. 2. 函数的性态函数的性态: :注意注意:1) 函数的极值是函数的局部性质.2)

7、对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻

8、点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凹的 ;)(xf(2) 在 I 内,0)( xf则 在 I 内图形是凸的 .)(xf设函数在区间I 上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点凹弧凸弧的分界点为拐点xxy24362 )(3632xx14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3)

9、 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132的连续性及导函数(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;o2x1xyxox)(xf1x2x说明说明: 使偏导数都为 0 的点称

10、为驻点 . 函数偏导数,0),(,0),(0000yxfyxfyx 但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在多元函数极值与最值问题多元函数极值与最值问题极值的必要条件与充分条件时, 具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量