直线与椭圆的位置关系--中点弦问题

1、中点弦问题中点弦问题例例2：经过椭圆：经过椭圆 的左焦点作直线的左焦点作直线l，直线，直线l交交椭圆于椭圆于A，B两点，两点，当直线当直线l l倾斜角为倾斜角为9090时，求时，求ABAB的长；的长；222:2,1,1.abc解 由椭圆方程知.则点A、B的横坐标为-122xy 将 =-1代入椭圆方程得：2AB1y222x通通径径22baAB 一般地：在椭圆标准方程下通径弦长公式弦长公式例例2：经过椭圆：经过椭圆 的左焦点作直线的左焦点作直线l，直线，直线l交交椭圆于椭圆于A，B两点，两点，当直线当直线l l倾斜角为倾斜角为6060时，求时，求ABAB的长；的长；222:2,1,1.abc解 由

2、椭圆方程知( 1,0).F 左焦点:31 .lyx直线 方程为（）223112yxxy（）2712400yxx 消 得：此时1122( ,), (,)A x yB xy设1212124,77xxxx 22212121211()4ABkxxkxxxx8 271y222x弦长公式弦长公式总结：总结：联立方程组联立方程组消去其中一个未知消去其中一个未知数得一元二次方程数得一元二次方程韦达定理韦达定理弦长公式弦长公式弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk22416M(2,1) .xy例题：在椭圆中，求过点且被这点平分的弦所在的直线 方程法一：当直线斜率不存在时，法一：当直线斜率不

3、存在时，M不可能为不可能为弦中点，所以弦中点，所以直线斜率存在直线斜率存在，设直线方程，设直线方程为为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程，消去代入椭圆方程，消去y得得0121616)816()41 (2222kkxkkxk0)3412(16, 04122kkk21, 4418162221kkkkxx得由故直线方程为故直线方程为x+2y-4=022416M(2,1) .xy例题：在椭圆中，求过点且被这点平分的弦所在的直线 方程11122212( ,),(,),P x yP xyP P解：法二：设弦两端点为在椭圆上)4( 14)3( 14)2( 2) 1 ( 4222221212121yxyxyy

4、xx0)(4)()4()3(21212121yyyyxxxx得0)(8)4)2)(1 (2121yyxx（代入上式得在将21,212121xxyykxx所以方程为所以方程为x+2y-4=0中点问题 小结：小结：解决中点弦的问题解决中点弦的问题两种方法两种方法（1）联立方程组，消元，利用根与系数的关系）联立方程组，消元，利用根与系数的关系（韦达定理）进行设而不求，从而简化运算（韦达定理）进行设而不求，从而简化运算.(2)利用利用“点差法点差法”即即即 P(x0，y0)是弦 AB 的中点，A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上， 将 A、B 坐标代入椭圆方程两式相减，然后结合 x1x22x0，

5、y1y22y0，及y2y1x2x1k 求解 2注意“设而不求，整体代换”方法的应用 中点弦问题有两种方法解答常用判别式法，选择填空常用“点差法”求解，例例1焦点分别为焦点分别为 和和 的的椭圆截直线椭圆截直线y=3x-2所得椭圆的弦的中点所得椭圆的弦的中点的横坐标为的横坐标为0.5，求此椭圆方程。，求此椭圆方程。)25 , 0()25, 0( 思路点拨：思路点拨：法法1：设椭圆的方程：设椭圆的方程联立椭圆与直线方程联立椭圆与直线方程利用根与系数的关系设而不解利用根与系数的关系设而不解由中点列出方程由中点列出方程焦点已知焦点已知求出方程求出方程法法2：由：由“点差法点差法”求解求解. 解：法一：解：法一：) 1 ( 50)25(),0( 12222222babaaybx且设2312222xyaybx由0412)9(2222222babxbxba2196,21222221babxx0(2), 322此时ba17525,25,75: )2)(1 (2222yxba由法二法二:)0( 12222babxay设椭圆方程为 (2) 1 (1) 1),(),A(2222222212212211bxaybxayyxByx则直线直线y=3x-2与椭圆交与与椭圆交与A、B两点两点.21,21),(, 30000yxyxABkAB中点12121212222121221212()()()()(