建坐标系解立体几何(含解析)

1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除立体几何建坐标系1. 如图 , 四棱锥 S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面 SAB为等边三角形 . AB=BC=2,CD=SD=1.( ) 证明 :SD平面 SAB;( ) 求 AB与平面 SBC所成的角的大小 .2. 如图 , 在四面体 ABOC中, OC OA, OCOB, AOB=120°, 且 OA=OB=OC=1. ( ) 设 P 为 AC的中点 , Q 在 AB上且 AB=3AQ. 证明 :PQ OA;( ) 求二面角 O-AC-B的平面角的余弦值 .3. 如图 , 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,

2、 AB=4,AA1= 7 , 点 D是 BC的中点 , 点 E 在 AC上 , 且 DEA1E.( ) 证明 : 平面 A1DE平面 ACC1A1;( ) 求直线 AD和平面 A1DE所成角的正弦值 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除4. 如图 ,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , AB=1, AC=AA1 =3 , ABC=60° .( ) 证明 :ABA1C;( ) 求二面角 A-A1C-B 的大小 .5. 四棱锥 A-BCDE中 , 底面 BCDE为矩形 , 侧面 ABC底面 BCDE, BC=2, CD= 2 , AB=AC.( )

3、证明 :ADCE;( ) 设侧面 ABC为等边三角形 ,求二面角 C-AD-E的大小 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除6. 如图 ,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为2, D 为 CC1 中点 .( ) 求证 :AB1平面 A1BD;( ) 求二面角 A-A1D-B 的大小 .7. 如图 ,在三棱锥 V-ABC中, VC底面 ABC, ACBC, D是 AB的中点 ,且 AC=BC=a ,VDC=（0）.2( ) 求证 : 平面 VAB平面 VCD;( ) 试确定 的值 ,使得直线 BC与平面 VAB所成的角为.68. 如图 , BCD与 MC

4、D都是边长为 2 的正三角形 , 平面 MCD平面 BCD,AB平面BCD, AB=2 .( ) 求直线 AM与平面 BCD所成角的大小 ;( ) 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除9. 如图 ,在四棱锥 P-ABCD中, PD 平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC, BCD=90°.( ) 求证 :PCBC;( ) 求点 A 到平面 PBC的距离 .10. 如图 , 直三棱柱 ABC-A1B1 C1 中, AC=BC, AA1=AB, D 为 BB1 的中点 , E 为 A

5、B1 上的一点, AE=3EB1.( ) 证明 :DE 为异面直线 AB1 与 CD的公垂线 ;( ) 设异面直线 AB1 与 CD的夹角为 45°,求二面角 A1-AC1-B1 的大小 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除11. 如图 , 四棱锥 S-ABCD中, 底面 ABCD为矩形 , SD底面 ABCD,AD= 2 , DC=SD=2. 点 M在侧棱 SC上, ABM=60° .( ) 证明 :M 是侧棱 SC的中点 ;( ) 求二面角 S-AM-B的大小 .12. 如图 , 直三棱柱 ABC-A1B1 C1 中, AB AC, D

6、、 E 分别为 AA1 、B1C 的中点 , DE 平面 BCC1.( ) 证明 :AB=AC;( ) 设二面角 A-BD-C为 60°,求 B1C与平面 BCD所成的角的大小 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除13. 如图 ,四棱锥 P-ABCD的底面是正方形 , PD 底面 ABCD,点 E 在棱 PB上.( ) 求证 : 平面 AEC平面 PDB;( ) 当 PD= 2 AB且 E 为 PB的中点时 , 求 AE与平面 PDB所成的角的大小 .14. 如图 , 在四棱锥 P-ABCD中, 底面 ABCD是矩形 , PA平面 ABCD,PA=A

7、D=4,AB=2.以 BD的中点 O为球心、 BD为直径的球面交 PD于点 M.( ) 求证 : 平面 ABM平面 PCD;( ) 求直线 PC与平面 ABM所成的角 ;( ) 求点 O到平面 ABM的距离 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除15. 如图 ,四棱锥 S-ABCD的底面是正方形 , SD 平面 ABCD, SD=2a, AD= 2a ,点E 是 SD上的点 ,且 DE= a (0< 2).( ) 求证 : 对任意的 (0, 2,都有 AC BE;( ) 设二面角 C-AE-D的大小为,直线 BE与平面 ABCD所成的角为.若tantan1

8、 , 求 的值 .16. 如图 ,在五面体 ABCDEF中 , AB DC, BAD=, CD=AD=2. 四边形 ABFE为平2行四边形 , FA 平面 ABCD, FC=3, ED= 7 .求:( ) 直线 AB到平面 EFCD的距离 ;( ) 二面角 F-AD-E 的平面角的正切值 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除17. 如图 , 设动点 P在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1 C1D1 的对角线 BD1 上,记 D1P.D1 B当 APC为钝角时 , 求 的取值范围 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除答案与

9、解析1. 解法一 :( ) 取 AB中点 E, 连结 DE, 则四边形BCDE为矩形 , DE=CB=2.连结 SE, 则 SE AB, SE=222分 ). 又 SD=1, 故 ED=SE+SD, 所以 DSE为直角 . (3由 AB DE, AB SE, DE SE=E, 得 AB平面 SDE, 所以 AB SD, SD与两条相交直线AB、 SE都垂直 ,所以 SD平面 SAB. (6分 )( ) 由 AB平面 SDE知 ,平面 ABCD平面 SDE. 作 SF DE, 垂足为 F,则 SF平面 ABCD,学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除SF= . 作

10、FG BC, 垂足为 G, 则 FG=DC=1. 连结 SG, 则 SG BC. 又 BCFG, SG FG=G, 故BC平面 SFG, 平面 SBC平面 SFG. (9 分 ) 作 FH SG, H为垂足 ,则 FH平面 SBC. FH= ,即 F 到平面 SBC的距离为. 由于 ED BC, 所以 ED平面 SBC, E 到平面 SBC的距离 d 也为.设 AB与平面 SBC所成的角为 , 则 sin= =, =arcsin.(12 分)解法二 : 以 C 为坐标原点 ,射线 CD为 x 轴正半轴 ,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设 D(1, 0, 0),则 A(2, 2,0)

11、、B(0, 2, 0).又设 S(x, y, z),则 x>0, y>0, z>0.( )=(x-2, y-2, z),=(x, y-2, z),=(x-1, y, z),由|=|得=,故 x=1.由|=1 得 y2+z2=1,又由 |=2 得 x2+(y-2) 2+z2 =4,即 y2+z2-4y+1=0,故 y= , z=. (3分 ) 于是 S,=,=·=0,·=0.故 DS AS, DS BS, 又 AS BS=S, 所以 SD平面 SAB. (6 分)( ) 设平面 SBC的法向量a=(m, n, p),则 a, a , a ·=0,

12、a ·=0.又=(0, 2, 0),故(9 分 )取 p=2 得 a=(-, 0, 2).又=(-2, 0, 0), cos<, a>=.故 AB与平面 SBC所成的角为 arcsin. (12分 )学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除2. 解法一 :( ) 在平面 OAB内作 ON OA交 AB于 N, 连结 CN.在 AOB中 ,AOB=120°且 OA=OB, OAB= OBA=30° .在 Rt AON中 , OAN=30° ,ON= AN. 在 ONB中, NOB=120° -90 

13、6; =30° = OBN, NB=ON=AN. 又 AB=3AQ, Q为 AN的中点 . 在 CAN中 , P, Q分别为 AC, AN 的中点 , PQ CN. 由 OA OC, OA ON知 :OA平面 CON. 又 NC? 平面 CON, OA CN. 由 PQ CN, 知 OA PQ. ( ) 连结 PN, PO.由 OC OA, OC OB知 :OC平面 OAB. 又 ON? 平面 OAB, OC ON. 又由 ON OA知 :ON平面 AOC. OP是 NP在平面 AOC内的射影 .在等腰 Rt COA中 , P 为 AC的中点 , AC OP. 根据三垂线定理,知 :

14、AC NP. OPN为二面角 O-AC-B的平面角 . 在等腰 Rt COA中 , OC=OA=1, OP= . 在 RtAON中, ON=OAtan 30 ° =,在 Rt PON中, PN=, cos OPN=.解法二 :( ) 取 O为坐标原点 , 以 OA, OC 所在的直线为 x 轴 , z 轴 , 建立空间直角坐标系 O-xyz( 如图所示 ).则 A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B.P 为 AC的中点 ,P.=,又由已知,可得=.又=+=.=-=,学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除·=·(1, 0,

15、0)=0.故.( ) 记平面 ABC的法向量n=(n 1, n 2, n 3),则由 n, n ,且=(1, 0, -1),得故可取 n=(1, 1).又平面 OAC的法向量为e=(0, 1, 0).cos<n,e>=.二面角 O-AC-B 的平面角是锐角,记为 ,则 cos =.3.( ) 如图所示 ,由正三棱柱ABC-A1B1C1 的性质知 AA1平面 ABC.又 DE? 平面 ABC, 所以 DE AA1.而 DE A1E, AA 1 A1E=A1,所以 DE平面 ACC1A1.又 DE? 平面 A1DE, 故平面 A1DE平面 ACC1A1.( ) 解法一 : 过点 A 作

16、 AF 垂直 A1E于点 F,连结 DF. 由 ( ) 知 ,平面 A1DE平面 ACC1A1,所以 AF平面 A1DE. 故 ADF是直线 AD和平面 A1DE所成的角 .因为 DE平面 ACC1A1,所以 DE AC. 而 ABC是边长为4 的正三角形 ,于是 AD=2,AE=4-CE=4- CD=3. 又因为 AA1=,所以 A1E=4, AF=,sin ADF=.即直线 AD和平面 A1DE所成角的正弦值为.解法二 : 如图所示 ,设 O是 AC的中点 ,以 O为原点建立空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是A(2, 0, 0), A1(2,0,),D(-1, 0), E(-1,0,

17、 0).易知=(-3, -),=(0, -, 0),=(-3, 0).设 n=(x, y, z)是平面 A1DE的一学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除个法向量 ,则解得 x=-z, y=0.故可取 n=(, 0, -3).于是 cos<n,>=-.由此即知 ,直线 AD和平面 A1DE所成角的正弦值为.4. 解法一 :( ) 证明 : 三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱 , AB AA1. 在 ABC中, AB=1, AC= , ABC=60° , 由正弦定理得 ACB=30°, BAC=90° , 即 AB A

18、C. AB平面 ACC1A1,又 A1C? 平面 ACC1A1,AB A1C.( ) 如图 ,作 ADA1C 交 A1C于 D 点,连结 BD, 由三垂线定理知BD A1C, ADB为二面角A-A1C-B 的平面角 .在 Rt AA1C 中 ,AD=,在 Rt BAD中 , tan ADB=, ADB=arctan,即二面角A-A1C-B 的大小为arctan.解法二 :( ) 证明 : 三棱柱ABC-A1B1C1 为直三棱柱 , AA1 AB, AA 1 AC. 在 ABC中 , AB=1, AC=, ABC=60° .由正弦定理得ACB=30° ,BAC=90°

19、; ,即 AB AC. 如图 ,建立空间直角坐标系,则 A(0,0, 0),B(1, 0, 0),C(0, 0), A (0, 0,), =(1, 0, 0),=(0, -). ·=1×0+0× +0×1(-)=0, AB A1 C.()如图,可取 m=(1, 0, 0)为平面 AA1C 的法向量 ,设平面 A1BC的法向量为n=(l,m, n),则·n=0,·n=0,又=(-1, 0), l=m, n=m.不妨取 m=1, 则 n=(, 1, 1).学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除cos<m

20、, n>=,二面角A-A1C-B 的大小为arccos.5. 解法一 :( ) 作 AO BC, 垂足为 O, 连结 OD, 由题设知 , AO 底面 BCDE, 且 O为 BC中点 . 由 = = 知 , Rt OCD Rt CDE, 从而 ODC= CED, 于是 CE OD. 由三垂线定理知 , AD CE.( ) 作 CG AD, 垂足为 G, 连结 GE. 由 ( ) 知 , CE AD. 又 CE CG=C, 故 AD平面 CGE, AD GE,所以 CGE是二面角C-AD-E 的平面角 . GE=, CE=,cos CGE=-.所以二面角C-AD-E 为 arccos.解法

21、二 :( ) 作 AO BC, 垂足为 O. 由题设知AO底面 BCDE, 且 O为 BC的中点 .以 O为坐标原点 ,射线 OC为 x 轴正向 ,建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设 A(0, 0, t).由已知条件有C(1, 0, 0),D(1, 0), E(-1, 0),=(-2, 0),=(1, -t).所以·=0,知 ADCE.( ) ABC为等边三角形 ,因此 A(0, 0,).作 CG AD, 垂足为 G, 连结 CE. 在 Rt ACD中 ,求得|AG|=|AD|.故 G,=,又=(1,-),·=0,·=0.所以与的夹角等于二面角C-AD-E 的

22、平面角 .由学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除cos<>=-知二面角C-AD-E 为 arccos.6. 解法一 :( ) 取 BC中点 O, 连结 AO. ABC为正三角形 , AO BC. 正三棱柱 ABC-A1 B1 C1中 , 平面 ABC平面 BCC1B1, AO平面 BCC1B1.连结 B1O, 在正方形 BB1C1C 中 , O、D分别为 BC、CC 的中点 ,B1O BD, AB1 BD. 在正方形 ABBA111中, AB1A B, AB平面 A BD.111( ) 设 AB1与 A1B交于点 G,在平面 A1BD中 ,作 GF

23、A1D于 F,连结 AF, 由 ( ) 得 AB1平面 A1BD, AF A D. AFG为二面角A-A D-B 的平面角 . 在 AA D中 ,由等面积法可求得 AF=, 又111AG= AB1 =, sin AFG=,所以二面角A-A1D-B 的大小为arcsin.解法二 :( ) 取 BC中点 O, 连结 AO. ABC为正三角形 , AO BC. 在正三棱柱111ABC-ABC中,1111111以 O为原点 ,的方向为 x、y、平面 ABC平面 BCCB , AO平面 BCCB .取 B C中点 O,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 B(1,0, 0),D(-1, 1,0),A1

24、(0, 2,),A(0,0,),B1(1,2, 0),=(1, 2, -),=(-2, 1, 0),=(-1, 2,). ·=-2+2+0=0,·=-1+4-3=0, AB1平面 A1BD.( ) 设平面 A1AD的法向量为 n=(x, y, z).=(-1, 1, -),=(0, 2, 0). n, n ,令 z=1 得 n=(-, 0, 1)为平面 A1AD的一个法向量 .由( ) 知 AB1平面 A1BD, 为平面 A1BD的法向量 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除cos<n,>=-.二面角A-A1D-B 的大小为ar

25、ccos.7.解法一 :( ) AC=BC=a, ACB是等腰三角形 , 又 D是 AB的中点 , CD AB, 又 VC底面 ABC, VCAB, 于是 AB平面 VCD, 又 AB? 平面 VAB, 平面 VAB平面 VCD.( ) 过点 C在平面 VCD内作 CH VD于 H, 则由 ( ) 知 CH平面 VAB. 连结 BH,于是 CBH就是直线BC与平面 VAB所成的角 . 依题意 CBH= ,所以在 Rt CHD中 , CH=asin ; 在 Rt BHC中,CH=asin = , sin = , 0< < , = . 故当 = 时,直线 BC与平面 VAB所成的角为

26、.解法二 :( ) 以 CA、CB、CV所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), D, V.于是 ,=(-a, a, 0). 从而 · =(-a,a,0) ·=- a2+ a2+0=0,即AB CD. 同理· =(-a, a, 0)·=- a2+ a2+0=0, 即 AB VD.又 CD VD=D, AB 平面 VCD, 又 AB? 平面 VAB, 平面 VAB平面 VCD.( ) 设平面 VAB的一个法向量为n=(x, y, z),则由得可取 n=

27、(1,1,cot ),又=(0,-a,0),于是 sin=sin,即 sin =, 0< < , = .故当 = 时 ,直线 BC与平面 VAB所成的角为.学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除解法三 :( ) 以点 D 为原点 , 以 DC、 DB所在的直线分别为 x 轴、 y 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 D(0, 0, 0),A,B,C,V,于是=(0,a,0),从而· =(0a,0) ·=0, 即 AB DC. 同理· =(0,a, 0) ·=0,即 ABDV. 又 DC DV=D, AB

28、平面 VCD.又 AB? 平面 VAB, 平面 VAB平面 VCD.( ) 设平面 VAB的一个法向量为n=(x, y, z),则由得取 n=(tan , 0, 1),又=,于是 sin=sin,即 sin =. 0< < , = .故当 = 时,直线 BC与平面 VAB所成的角为.8.解法一 :( ) 取 CD中点 O, 连 OB, OM, 则 OB CD, OM CD.又平面 MCD平面 BCD, 则 MO平面 BCD, 所以 MOAB, A 、 B、 O、 M共面 .延长 AM、 BO相交于 E, 则 AEB就是 AM与平面 BCD所成的角 .OB=MO= , MO AB,学

29、习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除则 = , EO=OB= , 所以 EB=2=AB, 故 AEB=45° .直线 AM与平面 BCD所成角的大小为45°.( )CE 是平面 ACM与平面 BCD的交线 . 由 ( ) 知 , O 是 BE的中点 , 则 BCED是菱形 . 作 BF EC于F, 连 AF, 则 AF EC, AFB就是二面角 A-EC-B 的平面角 ,设为 .因为 BCE=120° , 所以BCF=60° . BF=BC ·sin 60 ° = , tan = =2, sin =. 所

30、以,所求二面角的正弦值是.解法二 : 取 CD中点 O, 连 OB, OM, 则 OB CD, OM CD, 又平面 MCD平面 BCD, 则 MO平面 BCD.以 O为原点 ,直线 OC、 BO、 OM为 x 轴、 y 轴、 z 轴 ,建立空间直角坐标系如图. OB=OM=,则各点坐标分别为O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0,), B(0, -, 0), A(0, -, 2),( ) 设直线 AM与平面 BCD所成的角为 .因=(0, -),平面 BCD的法向量为 n=(0, 0, 1).则有 sin = cos<, n> = ,所以 =45°

31、 .直线 AM与平面 BCD所成角的大小为45°.( )=(-1, 0,),=(-1, -, 2).设平面 ACM的法向量为 n =(x, y, z),由得解得 x= z, y=z,取 n =( ,111, 1).平面 BCD的法向量为 n=(0, 0, 1).则 cos<n1, n>=. 设所求二面角为 ,则 sin =. 所以 , 所求二面角的正弦值是.9. 解法一 :( ) 因为 PD平面 ABCD, BC? 平面 ABCD,所以 PD BC. 由 BCD=90° , 得 BC DC. 又 PD DC=D, PD? 平面 PCD, DC? 平面 PCD,

32、所以 BC平面 PCD. 因为 PC? 平面 PCD, 所以 PC BC.( ) 连结 AC. 设点 A到平面 PBC的距离为 h. 因为 AB DC, BCD=90°, 所以 ABC=90°. 从而由 AB=2, BC=1, 得 ABC的面积 SABC=1. 由 PD平面 ABCD及 PD=1, 得三棱锥 P-ABC的体积 V= S学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除ABC·PD= .因为 PD平面 ABCD, DC? 平面 ABCD, 所以 PDDC. 又 PD=DC=1, 所以 PC=.由 PC BC, BC=1,得 PBC的

33、面积 S PBC=.由 V= S PBCh= ·· h= ,得 h=.因此 ,点 A 到平面 PBC的距离为.解法二 : 建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,则 P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0).( )=(0, 1, -1),=(-1, 0, 0).·=0× (-1)+1 ×0+(-1) ×0=0, PC BC.( ) 设平面 PBC的法向量n=(x,y, z),则有即令 y=1 得 n=(0,1, 1).又因为 A(1,-1, 0),=(0, 2, 0),所以点 A 到平面 PBC的距离 d=.

34、解法三 :( ) 取 AB中点 E, 连 DE, 则 DE BC, DE面 PBC, 则 A 点到面 PBC的距离等于 E 点到面 PBC 距离的 2 倍 , 即等于点到面 PBC距离的 2 倍. 过 D作 DH PC, 则 DH面 PBC. 在 Rt PCD中 , DH= , A 到面 PBC的距离为 .10. 解法一 :( ) 连结 A1B, 记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1B1B 为正方形 ,故 A1B AB1,且 AF=FB1.又 AE=3EB1,所以 FE=EB1.又 D 为 BB1 的中点 ,故DE BF, DE AB1.作 CG AB, G 为垂足 ,由 AC=

35、BC知 , G 为 AB中点 .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除又由底面 ABC面 AA1B1B, 得 CG面 AA1B1B. 连结 DG, 则 DGAB1, 故 DE DG, 由三垂线定理 , 得 DE CD. 所以 DE为异面直线 AB1 与 CD的公垂线 .( ) 因为 DG AB1, 故 CDG为异面直线 AB1与 CD的夹角 , CDG=45° . 设 AB=2, 则 AB1=2 , DG= , CG= , AC= . 作 B1H A1C1, H 为垂足 . 因为底面 A1B1C1面 AA1C1C, 故 B1H面 AA1 C1C, 又作

36、HK AC1, K 为垂足 , 连结 B1K, 由三垂线定理 , 得 B1K AC1, 因此 B1KH为二面角 A1-AC1-B 1 的平面角 .B1H=,HC1=,AC1=,HK=,tan B1 KH=,所以二面角A1-AC1-B 1 的大小为 arctan.解法二 :( ) 以 B 为坐标原点 ,射线 BA 为 x 轴正半轴 ,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设 AB=2, 则 A(2, 0, 0), B1(0, 2, 0), D(0, 1, 0), E,又设 C(1, 0, c),则=(2, -2, 0),=(1, -1, c).于是·=0,·=0,故 DE

37、B1A, DE DC, 所以 DE为异面直线AB1 与 CD的公垂线 .( ) 因为 <>等于异面直线AB1 与 CD的夹角 ,故·=| · |cos 45 ° ,即 2××=4,解得 c=,故=(-1, 0,).又=(0, 2, 0),所以=+=(-1, 2,).设平面 AA1 C1 的法向量为m=(x, y, z),则m·=0, m ·=0,即 -x+2y+z=0 且 2y=0.令 x=,则 z=1, y=0,故 m=(, 0, 1).设平面AB1C1 的法向量为n=(p, q, r),则 n·=0

38、, n ·=0,即-p+2q+r=0, 2p-2q=0.令 p=,则q=, r=-1,故 n=(, -1).所以 cos<m, n>=.由于 <m, n>等于二面角A1-AC1-B 1 的平面角 ,所以二面角A1-AC1-B 1 的大小为 arccos.11. (2009 全国 , 19, 12 分 ) 如图 , 四棱锥 S-ABCD中 , 底面 ABCD为矩形 , SD底面 ABCD, AD= , DC=SD=2. 点 M在侧棱 SC上 , ABM=60° .学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除11. 解法一 :(

39、) 作 ME CD交 SD于点 E, 则 ME AB, ME平面 SAD.连结 AE, 则四边形ABME为直角梯形 .作 MF AB, 垂足为 F,则 AFME为矩形 .设 ME=x, 则SE=x,AE=, MF=AE=, FB=2-x.由 MF=FB· tan 60 ° ,得=(2-x),解得 x=1.即 ME=1, 从而 ME= DC,所以 M为侧棱 SC的中点 .( )MB=2, 又 ABM=60° , AB=2, 所以 ABM为等边三角形 .又由 ( ) 知 M为 SC中点 , SM= , SA=, AM=2,222取 AM中点 G, 连结故 SA =SM

40、+AM, SMA=90° .BG, 取 SA中点 H, 连结 GH, 则 BGAM, GHAM,由此知 BGH为二面角 S-AM-B的平面角 . 连结 BH.在 BGH中 , BG=AM= , GH= SM=, BH=,所以 cos BGH=- .二面角 S-AM-B的大小为arccos.解法二 : 以 D 为坐标原点 ,射线 DA为 x 轴正半轴 ,建立如图所示的直角坐标系D-xyz.设 A(, 0, 0),则 B(, 2, 0), C(0, 2, 0), S(0, 0, 2).( ) 设=( >0),则 M,=.又=(0, 2, 0), <>=60°,

41、故·=| · |cos 60 ° ,即=,解得 =1,即=.所以 M为侧棱 SC的中点 .( ) 由 M(0, 1, 1), A(, 0, 0),得 AM的中点 G.又=(0, -1, 1),学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除=(-, 1, 1).·=0,·=0,所以.所以 <>等于二面角S-AM-B的平面角 .因为 cos<>=-.所以二面角S-AM-B 的大小为arccos.12. 解法一 :( ) 取 BC中点 F,连结 EF, 则 EF B1B,从而 EFDA.连结 AF, 则 ADEF为平行四边形,从而 AF DE. (2分) 又 DE平面 BCC1,故 AF平面 BCC1,从而 AF BC, 即 AF 为 BC的垂直平分线,所以 AB=AC. (5 分 )( ) 作 AGBD, 垂足为 G, 连