高中数学--数学归纳法

1、高中数学-数学归纳法13.4 数学归纳法一、填空题1 1 11用数学归纳法证明 1 n(nN，且 n1)，第一步要证的不2 3 2n1等式是_1 1 1 1解析 n2 时，左边1 1 ，右边2.2 221 2 31 1答案 1 22 32.用数学归纳法证明：12 22 n2 n(n1) ；当推证当 nk1 等式也成立 1×3 3×5 (2n1)(2n1) 2(2n1)时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .12 22 k2 (k1)2解析 当 nk1 时， 1×3 3×5 (2k1)(2k1) (2k1)(2k3)k(k1) (k1)2 2(2k1) (2

2、k1)(2k3)k(k1) (k1)2 (k1)(k2)故只需证明 即可.2(2k1) (2k1)(2k3) 2(2k3)k(k1) (k1)2 (k1)(k2)答案 2(2k1) (2k1)(2k3) 2(2k3)3若 f(n)122232(2n)2，则 f(k1)与 f(k)的递推关系式是_解析 f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案 f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)23若存在正整数 m，使得 f(n)(2n7)3n9(nN*)能被 m 整除，则 m_.解析 f(1)6，f(2)18，f(3

3、)18，猜想：m6. 答案 64用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”，要利用归纳1 / 92 3 4 2n1 2n n1 n2 2n2 3 4 2k1 2k 2k1 2k21高中数学-数学归纳法假设证 nk1 时的情况，只需展开的式子是_解析 假设当 nk 时，原式能被 9 整除，即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3 展开，让其出现 k3 即可答案 (k3)35用数学归纳法证明 123n2n4n22，则当 nk1 时左端应在 nk的基础上加上_解析 当 nk 时，左侧12

4、3k2，当 nk1 时，左侧123k2(k21)(k1)2，当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案 (k21)(k22)(k23)(k1)21 1 1 1 1 1 1 16用数学归纳法证明 1 ，则当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上_1 1 1 1 1解析 当 nk 时，左侧1 当 nk1 时，2 3 4 2k1 2k1 1 1 1 1 1 1左侧1 .答案1 1 2k1 2k27.设平面内有 n 条直线 ( n ³3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点 . 若用 f(n) 表示这 n 条直线交点的个数

5、 ,则 f(4)= ; 当 n>4 时,f(n)= (用 n 表示).答案:5 ( n +1)(n -2)2解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,f(n)-f(n-1)=n-1.2 / 912高中数学-数学归纳法累加得f(n)-f(3)=3+4+(n-1)=3 +( n -2) 2( n -2) . f ( n) = ( n +1)(n -2).21 1 1 1278用数学归纳法证明不等式 1 (nN*)成立，其初始值至2 4 2n1 64少应取_æ1ö1

6、31;÷n1 1 1 èø 1解析 右边1 2 ，2 4 2n1 1 2n11 2代入验证可知 n 的最小值是 8.答案 819在数列a 中，a 且 S n(2n1)a ，通过计算 a ，a ，a ，猜想 a 的表达n 1 3 n n 2 3 4 n式是_1 1解析 当 n2 时，a a 6a ，即 a a ；1 2 2 2 5 1 15当 n3 时，a a a 15a ，1 2 3 3即 a 31 1 (a a ) ；14 1 2 35当 n4 时，a a a a 28a ，1 2 3 4 4即 a 41 1 (a a a ) .27 1 2 3 631 1 1

7、 1 1 1 1a ，a ，a ，a ，1 3 1×3 2 15 3×5 3 35 5×7 4 7×9故猜想 a n2n112n1.答案 a n12 n1 2n110用数学归纳法证明 (n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)，从“k 到 k1”左端需乘的代数式是_3 / 9n高中数学-数学归纳法解析 左端需乘的代数式是 答案 2(2k1)2k1 2k2k12(2k1)11如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN 数字之和是_11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1 *)行，在这些数中非 1 的解析 所有

8、数字之和 S 202222n12n1，除掉 1 的和 2n1(2n1)2n2n.答案 2n2n12对于不等式 n2nn1(nN*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当 n1 时， 12111，不等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立，即 k2kk1，则当 nk1 时，(k1)2(k1) k23k2 (k23k2)(k2)(k2)2(k1)1，当 nk1 时，不等式成立则上述证法中_（哪一步推理）不正确. 解析 此同学从 nk 到 nk1 的推理中没有应用归纳假设 答案 从 nk 到 nk1 的推理13 12223242 (1)n 1·n2，当 n 分别取 1,2

9、,3,4 时的值依次为_，所以猜想原式_.解析 当 n1 时，原式121(1)11·1×(11) 2当 n2 时，原式12223(1)21·2×(21) 24 / 9ì1î高中数学-数学归纳法当 n3 时，原式1222326(1)31·3×(31) 2当 n4 时，原式1222324210(1)41·4×(41) 2猜想原式(1)n1·n(n1) 2.答案 1，3,6，10 (1)n1·n n12二、解答题14已知数列a 满足 a a2pa (pR)，且 a (0,2)，试猜

10、想 p 的最小值，n n1 n n 1使得 a (0,2)对 nN*恒成立，并给出证明n证明 当 n1 时，a a22 1pa a (a p) 1 1 1因为 a (0,2)，所以欲使 a (0,2)恒成立， 1 2pa ，则要í 2pa 1 a1恒成立，解得 2p2 2，由此猜想 p 的最小值为 2.因为 p2，所以要证该猜想成立，只要证：当 p2 时，a (0,2)对 nN*n恒成立现用数学归纳法证明：1 当 n1 时结论显然成立；2 假设当 nk 时结论成立，即 a (0,2)，k则当 nk1 时，a a22a a (2a )，k1 k k k k一方面，a a (2a )0

11、成立，k1 k k另一方面，a a (2a )(a 1)2112，k1 k k k所以 a (0,2)，即当 nk1 时结论也成立 k1由可知，猜想成立，即 p 的最小值为 2.15在数列a 中，对于任意 nN*n，a 4a33a . n1 n n(1)求证：若|a |1，则|a |1；n n1(2)若存在正整数 m，使得 a 1，求证：m5 / 9nnn13n1高中数学-数学归纳法|a |1； 1a cos12 k3 m1(其中 kZ)(参考公式：cos 34cos33cos )证明 (1)因为|a |1，a 4a33a .n n1 n n所以|a |4a33a |a |(4|a |23)1

12、. n1 n n n n(2)假设|a |1，则1|a |4a32 13a |a |(4|a |23)1. 1 1 1若|a |1，则k|a |4a33a |a |(4|a |23)1.k1 k k k k所以当|a |1 时，有|a |1(nN*)，这与已知 a 1 矛盾，所以|a |1. 1 n m 1由可知，存在 ，使得 a cos ，1则 a 4cos233cos cos 3.假设 nk 时，有 a cos 3nn1，即 a cos 3kk1，则 a 4a33a 4(cos 3k1)33(cos 3 k1 k kk1)cos 3k.所以对任意 nN*，a cos 3nn1，则 a co

13、s 3mm11,3m12k，其中 kZ.即 2 k3 m1.所以 a cos12 k3 m1(其中 k 为整数)116在数列a 中，a 1，a c .n 1 n1 an5 1(1)设 c ，b ，求数列b 的通项公式；2 n a 2 nn(2)求使不等式 a a 3 成立的 c 的取值范围n n15 1 a 2解析 (1)a 2 2 ，n1 2 a 2an n1 2a 4 2，即 b 4b 2. a 2 a 2 a 2 n1 nn1 n n2 æb 4ç3 è2öb ÷，又 a 1， ø6 / 9所 b 333高中数学-数学归纳法故

14、b 11a 211，ìï 2üï 1以í ý是首项为 ，公比为 nïî ïþ4 的等比数列，2 1 4n1 2b ×4n1，b .n 3 3 n 3 3(2)a 1，a c1，由 a a ，得 c2. 1 2 2 1用数学归纳法证明：当 c2 时，a a .n n11当 n1 时，a c a ，命题成立；2 a 11设当 nk 时，a a ，k k1则当 nk1 时，a ck21ak11c a . a k1k故由知当 c2 时，a a .n n11 1当 c2 时，因为 ca a ，n

15、1 a n an n所以 a2ca 10 有解，n nc c24 所以2a nc c242，令 c c242，当 2c103时，a 3. n当 c103时，3，且 1a ，n于是 a n11 1 1 1(a ) (a ) (a ) (1) a n 3 n 32 n1 3nn1所以 a (1)，n1 3n当 nlog313时，a 3，a 3，与已知矛盾 n1 n1因此 c103不符合要求æ 10ù所以 c 的取值范围是ç2， ú.è û7 / 921k 2 4 k k2 k2 k21 k1kk1 kk高中数学-数学归纳法17已知在正项数

16、列a 中，对于一切的 nN*均有 a2a a 成立n n n n1(1)证明：数列a 中的任意一项都小于 1；n1(2)探究 a 与 的大小，并证明你的结论n n证明 (1)由 a2a a ，得 a a a2.n n n1 n1 n n因为在数列a 中，a 0，n n所以 a 0.所以 a a20.n1 n n所以 0a 1.n故数列a 中的任意一项都小于 1.n1(2)由(1)知 0a 1 ，那么 a a a2n 1 2 1 1æçè1ö 1 1 1 a ÷2 ，ø 4 4 21由此猜想：a (n2)，下面用数学归纳法证明：n n1

17、 当 n2 时，显然成立；2 当 nk 时(k2，kN)时，假设猜想正确，1 1即 a ，k k 2æ 1ö 1 æ1 1ö 1 1 1 k1 k1 1那么 a a a2ça ÷2 ç ÷2 ，è 2ø 4 è ø故当 nk1 时，猜想也正确综上所述，对于一切 nN*1 ，都有 a .n n18. 设函数 yf(x)，对任意实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)2xy. (1)求 f(0)的值；(2)若 f(1)1，求 f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想 f(n)(nN*)的表达式并用数学归纳法证明.【解题指南】(1)令 x，y 均为 0 可得 f(0)；(2) 利用递推条件可得 f(2)，f(3)，f(4)；(3) 证明时要利用 nk 时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令 xy0，得 f(00)f(0)f(0)2×0×0，得 f(0)0. (2)由 f(1)1，得 f(2)f(11)f(1)f(1