(完整版)利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

1、， x ® a01¥00¥01¥ ，¥ 0 0法则 1导数结合洛必达法则巧解高考压轴题若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) lim f (x)=0及 lim g (x)=0；(2)在点x ® a x® aa 的 去 心 邻 域 内 ， f(x) 与 g(x) 可 导 且 g'(x)0 ； (3) limx ® afg¢¢(x)(x)=l ， 那 么limx ® af (x)g (x)= limx ® afg¢¢(x)(x)=l 。

2、法则 2若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim f (x)=0及 lim g (x)=0；(2) $A f 0 ，x ®¥x ®¥f(x) 和 g(x) 在(-¥,A)与(A, +¥)上 可 导 ， 且 g'(x)0 ； (3) limx ®¥fg¢¢(x)(x)=l ， 那 么limx ®¥f (x)g (x)= limx ®¥f ¢(x) g ¢(x)=l 。法则 3若函数 f(x) 和 g(x)满足下列

3、条件：(1) lim f (x)=¥及lim g (x)=¥；(2) 在点x ® a x ® aa 的 去 心 邻 域 内 ， f(x) 与 g(x) 可 导 且 g'(x)0 ； (3) limx ® af ¢(x) g ¢(x)=l ， 那 么limx ® af (x)g (x)= limx ® afg¢¢(x)(x)=l 。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1. 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-， x ®a+ -洛必达法

4、则也成立。0 ¥2.洛必达法则可处理 ， ， 0 ×¥， ， ， ， ¥ -¥型。0 ¥0 ¥3. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， 0 ×¥， ，0 ¥， ¥ -¥型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时 称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4. 若条件符合，洛必达法则可连续多次使 用，直到求出极限为止。1-2exxx xx+ç ÷22()( )21 -x1()二高考题处理1.(2010 年全国

5、新课标理)设函数 f ( x) =e x -1 -x -ax 2 。（1）若 a =0 ，求 f ( x) 的单调区间；（2） 若当 x ³0 时 f ( x ) ³0 ，求 a 的取值范围解:（II）当 x =0 时， f ( x) =0 ，对任意实数 a,均在 f ( x) ³0 ；当 x >0 时， f ( x ) ³0 等价于a £ex-x -1x 2令g(x)=ex-x -1x 2(x>0),则g¢(x) =xex xx 3+x +2，令h (x)=xe-2e +x +2 (x>0)，则h ¢(x

6、)=xe-e+1 ， h¢¢(x)=xe>0，知 h¢(x)在(0,+¥)上为增函数， h¢(x)>h¢(0)=0；知h(x)在(0,+¥)上为增函数，h (x)>h(0)=0；g¢(x)>0，g(x)在 (0,+¥)上为增 函 数 。 由 洛 必 达 法 则 知 ，limx ® 0ex-x -1x 2=limx ® 0e x e x=lim2 x 2x ® 01 1 æ 1 ö = ，故 a £ 综上，知 a 的取值范围

7、为 -¥, 。2 2 è 2 ø2 （ 2011 年 全 国 新 课 标 理 ） 已 知 函 数 ， 曲 线 y = f ( x) 在 点 (1, f (1) 处 的 切 线 方 程 为x +2 y -3 =0 。（）求 a 、 b 的值；（）如果当 x >0 ，且 x ¹1 时， f ( x ) > 取值范围。ln x k+ ，求 k 的 x -1 x2 x ln x解：（II）由题设可得，当 x >0, x ¹1 时，k< +1 恒成立。1 -x 22 x ln x (x+1)lnx-x +1 令 g (x)= +1

8、 ( x >0, x ¹1 ),则 g ¢x =2 ×1 -x 2 2，再 令h (x)=(x2+1)lnx-x2+1 ( x >0, x ¹1 ) ， 则 h¢(x)=2xln x + -x ，xh¢¢(x)=2lnx +1 -1 1 ，易知 h ¢¢x=2ln x +1 -x 2 x 2在 (0,+¥)上为增函数，且h¢¢(1)=0；故当x Î(0,1) 时， h¢¢(x)<0，当x Î（1，+ ¥）时，

9、 h¢¢(x)>0； h¢(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+¥)上为增函数；故h¢(x)>h¢(1)=0 h (x)在(0,+¥)上为增函数Qh(1)=0当xÎ(0,1) 时， h (x)<0，当 x Î（1 ，+ ¥）时，h(x )>0当 x Î(0,1) 时， g¢(x)<0 ，当 x Î（1，+ ¥）时， g¢(x)>0g (x)在(0,1)上为减函数，在(1,+¥)上为增函数2ç

10、; ÷2ln x +ax=h(x),去导数，洛必达法则知 limg (x)=2limx ®1 x ®1x ln x1 -x 2+1 =2limx ®11 +ln x-2xæ 1 ö+1 =2 ´ - +1 =0 è 2 ø k£0 ，即 k 的取值范围为（- ¥ ，03.已知函数 f(x)=x(1+a)lnx 在 x=1 时，存在极值。（1）求实数 a 的值；（2）若 x>1，mlnx>f（x)-1x-1成立,求正实数 m 的取值范围解：m ln x >x -ln x

11、 -1 x -ln x -1 ( x -1) ln x 1 1 Û m > = + = -x -1 ( x -1)ln x ( x -1)ln x ( x -1)ln x ln x x -1=g（x）g ( x) =(ln x）-1+（x-1)-1, 则g¢(x) =-1 x (lnx )+1 ( x -1)2=x (ln x ) 2 -( x -1)2 x ( x -1)(ln x) 2,令h(x)=x(ln x)2 -( x -1)2 h¢(x) =(ln x)2+2ln x -2 x +2, 令 r ( x ) =h¢(x），则r¢

12、(x) =2ln x +2 -2 xx，令M（x）=r(x)，M（¢x)=2-2xx<0,则，r(x)为减，且 r(1)=0,则 h（x）为减，且h(1)=0,则 g(x)为减，这样，g(x)<g(1),而 g(1)不存在 ，对g(x)在x=1处用罗比达法则 ，g ( x) =limx ®1x -1-ln x 1 -1/ x=lim( x -1)ln x x ®1 x -1x=limx ®1x -1 1 1 1 =lim = =x ln x +x -1 x ®¥ ln x +1+1 ln1 +2 2，则 m1/2.4.已知

13、函数f(x)= e x ,曲线y=f(x)在点(x ,y )处的切线为 y=g(x).0 0(1) 证明：对于"x ÎR ，f(x) ³g(x);(2) 当 x ³0 时，f(x)³1+ ,恒成立，求实数 1 +xa 的取值范围。解：分离变量：a£ex(1+x ) -(1+x ) e x ( x 2 +x -1) +1h¢(x) =x x 2（x>0），分子 r(x)=e x ( x2+x -1) +1,(x Î0, ¥ ) ，扩展定义域 ，求导r¢(x) =ex ( x 2+3 x）&#

14、179;0，可知， r(x)为定义域内增函数，而 r（x） ³r(0)=0.所以h¢(x)0.为增函数。则 a£h(0)- 不存在，罗比达法则可得为 1练习1. 2006 年全国 2 理设函数 f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的 x0，都有 f(x)ax 成立，求实数 a 的取值范围3 2. 2006 全国 1 理已知函数f (x)=1 +x1 -xe-ax.（）设 a >0 ，讨论 y = f (x)的单调性；（）若对任意x Î(0,1)恒有f (x)>1，求a的取值范围.3. 2007 全国 1 理4. 设函数f ( x) =ex-

15、e-x（）证明：f ( x )的导数f¢(x) 2；（）若对所有x 0都有f ( x ) ax，求a的取值范围5. 2008 全国 2 理设函数f ( x) =sin x2 +cos x（）求f ( x )的单调区间；（）如果对任何 x 0 ，都有 f ( x) ax ，求 a 的取值范围解：（）f¢(x) =(2 +cos x )cos x -sin x( -sin x ) 2cos x +1=(2 +cos x ) 2 (2 +cos x ) 2当2k -2 32 1<x <2 k + （ k ÎZ ）时， cos x >- ，即 f3 2&

16、#162;(x) >0；当2k +2 3<x <2 k +43（k ÎZ）时，cos x <-12，即f¢(x) <0因 此f ( x)在 每 一 个 区 间æçè2k -2 3，2k +2 3ö÷ø（ k ÎZ ） 是 增 函 数 ，f ( x )在 每 一 个 区 间æçè22 k + ，2k +343ö÷ø（k ÎZ）是减函数解：（）略（）应用洛必达法则和导数f ( x) =sin x2 +cos x

17、£ax若 x =0 ，则 a ÎR ；若x >0，则sin x2 +cos x£ax等价于a ³sin x x(2 +cos x)，即g ( x ) =sin x x (2 +cos x )则g '( x) =2 x cos x -2sin x -sin x cos x +xx 2 (2 +cos x) 2.4记h( x) =2 x cos x -2sin x -sin x cos x +x，h '( x ) =2cos x -2 x sin x -2cos x -cos2 x +1=-2x sin x -cos2 x +1 =2s

18、in2x -2 x sin x =2sin x(sin x -x )而lim g ( x ) =limx ®0 x ®0sin x cos x 1 =lim =x (2 +cos x ) x ®0 2+cos x -x sin x 3.另一方面，当x Îp, +¥)时， g ( x ) =sin x 1 1 1£ £ < ，因此 a ³x (2 +cos x ) x p 3136. 2008 辽宁理设函数f ( x) =ln x1 +x-ln x +ln( x +1).求f ( x)的单调区间和极值;是否存在

19、实数 a ,使得关于 x 的不等式 试说明理由.7 2010 新课标理f ( x) a 的解集为 (0, +¥)?若存在, 求 a 的取值范围 ; 若不存在,设函数f ( x )=e x -1-x -ax 2.（）若a =0，求f ( x)的单调区间;（）若当 x0 时f ( x )0，求 a 的取值范围.8 .2010 新课标文已知函数f ( x) =x ( ex -1) -ax 2.（）若f ( x)在x =-1时有极值，求函数f ( x)的解析式；（）当x ³0 时， f ( x ) ³0，求a的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数 当 x 

20、9;0 时， f ( x) ³0 ，即 x( e 当 x =0 时， a ÎR ；x -1) ³ax 2.当x >0时，x( ex -1) ³ax 2等价于ex-1 ³ax，也即a £ex -1x.5记g ( x) =ex-1x，x Î(0, +¥)，则 g '( x ) =( x -1)e xx+1.记h ( x ) =( x -1)e x +1 ， x Î(0, +¥)，则 h '( x) =xe x >0 ，因此 h ( x) =( x -1)e x +1在(0

21、, +¥)上单调递增，且h( x) >h (0) =0，所以g '( x ) =h( x )x>0 ，从而 g ( x) =e x -1x在 (0, +¥)上单调递增.由洛必达法则有e x -1 e xlim g ( x ) =lim =lim =1 x ® 0 x ® 0 x x ® 0 1，即当 x ® 0时， g ( x ) ® 1所以g ( x) >1，即有a £1.综上所述，当a £1，x ³0时，f ( x) ³0成立.9. 2010 全国大纲理设

22、函数f ( x ) =1 -e-x.（）证明：当x >-1时， f ( x) ³xx +1；（）设当x ³0时，f ( x) £xax +1，求a的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数由题设x ³0，此时f ( x) ³0.当a <0时，若x >-1 x，则a ax +1<0，f ( x) £xax +1不成立；当 a ³0 时，当 x ³0 时， f ( x ) £ 若 x =0 ，则 a ÎR ；x x ，即 1 -e-x £ax +1 ax +1；

23、若 x >0 ，则 1 -e-x£xax +11 -e-x 1 xe x -e x +1 等价于 £ ，即 a £ .x ax +1 xe x -x记g ( x ) =xe x -e x +1 xe x -x，则g '( x ) =e 2 x -x 2 e x -2e x +1 e x= ( e( xe x -x ) 2 ( xe x -x ) 2x-x2-2 +e-x).记h ( x ) =ex -x 2-2 +e-x ，则 h '( x) =e x -2 x -e-x ， h ''(x ) =e x+e-x-2 >0

24、.因此，h '( x) =ex-2 x -e-x在(0，+¥)上单调递增，且h '(0) =0，所以h '( x) >0，即h ( x) 在 (0，+¥)上单调递增，且h(0) =0 ，所以 h ( x ) >0.6因此g '( x )=( xee xx -x )2h ( x) >0，所以g ( x)在(0，+¥)上单调递增.由洛必达法则有lim g ( x) =limx®0 x ® 0xe x -e x +1=lim xe x -x x ® 0 exxe x+xexe x +xe x

25、 1 =lim =-1 x®0 2e x +xe x 2，即当 x ® 0时，g ( x ) ®1 1 ，即有 g ( x ) >2 2，所以a £1 1 .综上所述， a 的取值范围是 ( -¥, 2 2.10. 2011 新课标理已知函数f ( x) =a ln x b+ ，曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程为 x +1 xx +2 y -3 =0.（）求a、b的值；（ ）如果当x >0，且x ¹1时，f ( x) >ln x k+x -1 x， 求k的取值范围.押题 若不等式sin

26、 x >x -ax3对于x Î(0,p2)恒成立，求 a 的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当x Î(0,p2)时，原不等式等价于a >x -sin xx 3.记f ( x) =x -sin xx 3，则f '( x ) =3sin x -x cos x -2 xx 4.记g ( x) =3sin x -x cos x -2 x，则g '( x) =2cos x +x sin x -2.因为g ''(x ) =x cos x -sin x =cos x ( x -tan x)，g '''(x) =-xsin x <0 ，所以 g ''(x) 在 (0,p2)上单调递减，且g ''(x ) <0，所以g '( x )在(0,p p ) 上单调递减，且 g '( x) <0 .因