高中数学直线和圆知识点总结(1)

1、直线和圆一直线1斜率与倾斜角：k tan，0, )（1）0, )时， k 0 2；（2）2时， k 不存在；（3）( , )时， k 0 2（4）当倾斜角从 0 增加到 90 时，斜率从0增加到 ；当倾斜角从 90 增加到 180 时，斜率从 2直线方程增加到0（1）点斜式：y y0k(x x )0（2） 斜截式：（3） 两点式：y kx by y1y y2 1x x1x x2 1（4）截距式：x ya b1（5）一般式：3距离公式Ax By C 0（1）点P (x ,y )， 1 1 1P (x ,y )2 2 2之间的距离：PP1 2(x2x )2 (y y )2 1 2 1（2）点P (

2、x ,y )到直线 Ax By C 0 的距离： d 0 0|Ax0ABy02 B 2C |（3）平行线间的距离：Ax By C10与Ax By C20的距离：d|C1AC |22 B 24位置关系（1）截距式：y kx b形式重合：k1k2b1b2相交：k1k2平行：k1k2b1b2垂直：k k1 21（2）一般式：Ax By C 0形式重合：平行：A B1A B122A B 且 A C 2 1 1A B 且 A C 2 1 122A C 且 B C 2 1 1A C 且 B C 2 1 122C B1C B122222 2垂直：A A12B B120相交：A B12A B215直线系A x

3、 B y C （A x B y C ） 0 1 1 1 2 2 2表示过两直线l :A x B y C 1 1 110 和 l :A x B y C2 2 220交点的所有直线方程（不含 l ）2二圆1圆的方程（1）标准形式：(x a)2 (y b)2 R 2（R 0）（2）一般式：x2 y 2Dx Ey F 0 （ D E 4F 0）（3）参数方程：x x0y y0rcosrsin（ 是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以A (x ,y ), 1 1B (x ,y )为直径的圆的方程是： 2 2(x x )(x x ) (y y )(y y

4、) 0A B A B2位置关系（1）点P (x ,y )和圆 0 0(x a)2 (y b)2 R 2的位置关系：当(x0a)2 (y0b)2 R2时，点P (x ,y )在圆 (x a) (y b) R 0 02内部当当(x0(x0a)2 (y0a)2 (y0b)2 Rb)2 R22时，点时，点P (x ,y )在圆 0 0P (x ,y )在圆 0 0(x a)2 (y b)2 R(x a)2 (y b)2 R22上外（2）直线Ax By C 0和圆(x a)2 (y b)2 R 2的位置关系：判断圆心O (a,b)到直线Ax By C 0 的距离 d|Aa Bb C |与半径 R 的大小

5、关系 A 2 B 2当当当d Rd Rd R时，直线和圆相交（有两个交点）；时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1) 几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系(2) 代数法：联立直线与圆的方程消元后利用 判断(3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交3圆和圆的位置关系判断圆心距d OO1 2与两圆半径之和R1R2，半径之差R1R2（R1R2）的大小关系当当d Rd R11RR22时，两圆相离，有 4 条公切线；时，两圆外切，有 3 条公切线；当R1R2d R1R2时，两圆相交，有

6、2 条公切线；当d R1R2时，两圆内切，有 1 条公切线；当0 d R1R2时，两圆内含，没有公切线；4当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5弦长公式：l 2 R2d2例 1 若圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点，则实数 k 的取值范围是_解析：由题意知21k21，解得 3k 3.答案：( 3， 3)例 2 已知两圆 C ：x2 y21_2x10y 24 0 ， C ： x2 y222x2y8 0 ，则两圆公共弦所在的直线方程是解析：两圆相减即得 x2y40.答案：x2y40例 3 设直线 xmy10 与圆(x1)2(y2)24 相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为

7、2 3，则实数 m 的值是 _|12m1| 3解析：由题意得，圆心(1,2)到直线 xmy10 的距离 d 431，即 1，解得 m± .1m2 3答案：±33例 4 若 a，b，c 是直角三角形 ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆 C：x2y24 被直线 l：axbyc0 所截得的弦 长为_解析：由题意可知圆 C：x2y24 被直线 l：axbyc0 所截得的弦长为 24c a2b22 ，由于 a2b2c2，所以所求弦长为 2 3.答案：2 3例 5 已知M：x2(y2)21，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点 4 2(1)若|AB| ，求|

8、MQ|及直线 MQ 的方程；3(2)求证：直线 AB 恒过定点2 2解：(1)设直线 MQ 交 AB 于点 P，则|AP| ，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP|38 1 12 ，9 3|MA|2又|MQ| ，|MQ|3.|MP|设 Q(x,0)，而点 M(0,2)，由 x2223，得 x± 5，则 Q 点的坐标为( 5，0)或( 5，0)从而直线 MQ 的方程为 2x 5y2 50 或 2x 5y2 50.(2)证明：设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A，B 两点在以 QM 为直径的圆上，此圆的方程为 x(xq)y(y2)30，而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减

9、可得 AB 的方程为 qx2y30，所以直线 AB 恒过定点 0， .2例 6 过点(1，2)的直线 l 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为_解析：将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径 r1.由弦长为 2得弦心距为22.设直线方程为 y2k(x1)，即 kxyk20，则|2k3| 2 17 ，化简得 7k224k170，得 k1 或 k .k21 2 717答案：1 或7例 7 圆 x22xy230 的圆心到直线 x 3y30 的距离为_|13|解析：圆心(1,0)，d 1.13答案：1例 8 圆心在原点且与直线 xy20 相

10、切的圆的方程为 _解析：设圆的方程为 x2y2a2(a0)|2| a，a 2，11x2y22.答案：x2y22例 9 已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为_ 圆 C 的方程为 x2y2DxF0，则265DF0， 10DF0，解得D4，F6.圆 C 的方程为 x2y24x60.答案 (1)C (2)x2y24x60例 10 (1)与曲线 C：x2y22x2y0 相内切，同时又与直线 l：y2x 相切的半径最小的圆的半径是_ (2)已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21 则 2xy 的最大值为_，最小值为_解析：(1)依题意，曲线 C 表示的

11、是以点 C(1，1)为圆心， 2为半径的圆，圆心 C(1，1)到直线 y2x2x1AB|112| 2 2 2 3 2即 xy20 的距离等于 2 2，易知所求圆的半径等于 .2 2(2)令 b2xy，则 b 为直线 2xyb 在 y 轴上的截距的相反数，当直线 2xyb 与圆相切时，b 取得最值由 |2×21b|1.解得 b5± 5，所以 2xy 的最大值为 5 5，最小值为 5 5.53 2答案：(1) (2)5 5 5 52例 11 已知 x，y 满足 x2y2y21，则 的最小值为_y2 y2解析： 表示圆上的点 P(x，y)与点 Q(1,2)连线的斜率，所以 的最小

12、值是直线 PQ 与圆相切时的斜率设 x1 x1直线 PQ 的方程为 y2k(x1)即 kxy2k0.由|2k| 3 y2 31 得 k ，结合图形可知， ，故最小值 k21 4 x1 43为 .43答案：4例 12 已知两点 A(2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2y22x0 上任意一点，则ABC 面积的最小值是_解析：l ：xy20，圆心(1,0)到 l 的距离 d32，3则 AB 边上的高的最小值为 1.21 3故ABC 面积的最小值是 ×2 2× 1 3 2.2 2答案：3 2例 13 平面直角坐标系 xoy 中，直线 x y 1 0截以原点 O 为圆心的圆所得

13、的弦长为6（1） 求圆 O 的方程；（2） 若直线 l与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D ，E ，当 DE 长最小时，求直线 l的方程；（3） 设 M ，P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N ，若直线 MP 、NP 分别交于 x 轴于点（m ，） 和（n，），问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解： 因为 O 点到直线 x y 1 0 的距离为12，所以圆 O 的半径为 (12)2(62)2 2 ，故圆 O 的方程为 x2y22 x y设直线 l的方程为 1(a 0,b 0) ，即 bx ay ab 0 ，a b由直线 l与圆 O 相切，

14、得aba 2 b 22 ，即1 1 1 a 2 b 2 2，DE2a2b21 12(a 2 b )(2a 2 b 2) 8 ，当且仅当 a b 2 时取等号，此时直线 l的方程为 x y 2 0 设 M (x ,y ) ， P (x ,y ) ，则 N (x , y ) ， x 2 1 1 2 2 1 1 1y 212 ， x22y222 ，22334222122222222 2直线 MP 与 x直线 NP 与 xx y x y 轴交点 ( 1 2 2 1y y2 1x y x y 轴交点 ( 1 2 2 1y y2 1,0)， m,0)， nx y x y 1 2 2 1 ，y y2 1x

15、y x y 1 2 2 1 ，y y2 1x y x y x y x y 2 mn 1 2 2 1 1 2 2 1y y y y y 2 1 2 1故 mn 为定值 2x2 y1 22 y2221x2 (y22 1)2 y2 (y2 1 2y 2 y 2212) y 222y， 1例 14 圆 x +y =8 内一点 P （1，2），过点 P 的直线 l 的倾斜角为 ，直线 l交圆于 A 、B 两点. （1）当 = 时,求 AB 的长；4（2）当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程.解:（1）当 = 时，k = 1，AB直线 AB 的方程为 y2= （x+1 ），即 xy1=0.故圆

16、心（0，0）到 AB 的距离 d=12= ，2从而弦长|AB|=2812=30.（2）设 A （x ，y ），B （x ，y ），则 x +x = 2，y +y =4.1 1 2 2 1 2 1 2由x1y18,x22y228,两式相减得（x +x ）（x x ）+ （y +y ）（y y ）=0 ，1 2 1 2 1 2 1 2即2（x x ）+4 （y y ）=0 ，1 2 1 2kAB=y1x1y2x212.直线 l 的方程为 y2= （x1），即 x2y5=0.2例 15 已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l:xy+10=0 上. (1)若动圆 C 过点(5,0),求圆 C 的

17、方程;(2)是否存在正实数 r,使得动圆 C 中满足与圆 O :x +y =r 存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆 C 的方程为(xa) +(yb) =25, 其中圆心(a,b)满足 ab+10=0.又动圆过点(5,0),(5a) +(0b) =25.相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不解方程组a b 10 0( 5 a) (0 b) 25,或 ,22222 2 22 2 22 2 2222 222a 10 a 5可得b 0 b 5故所求圆 C 的方程为(x+10) +y=25 或(x+5) +(y5)=25.10(2)圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= =

18、51 12.当 r 满足 r+5d 时，动圆 C 中不存在与圆 O ：x +y =r 相外切的圆；当 r 满足 r+5d 时，r 每取一个数值，动圆 C 中存在两个圆与圆 O ：x +y =r 相外切；当 r 满足 r+5=d,即 r=525 时，动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O ：x +y =r 相外切.1自点 A( 1,4)作圆 (x 2)2(y 3)2题目1 的切线 l，则切线 l的方程为 2求与圆x y 5 外切于点 P ( 1,2)，且半径为 2 5 的圆的方程.3若点 P 在直线 l ：xy30 上，过点 P 的直线 l 与曲线 C ：(x5) y 16 相切于点 M ，则 PM 的最小1 2值 4设 O 为坐标原点，曲线 x （1）求 m 的值；（2）求直线 PQ