余弦三角函数值及知识点汇总

1、学习必备欢迎下载余弦三角函数值及知识点汇总【本讲教育信息 】一. 教学内容：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角二. 教学目的1、掌握余弦函数、正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，了解正切函数的渐近线。2、会由已知的三角函数值求角，并了解反正弦、反余弦、反正切的意义，且会用符号 arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示角。三. 教学重点、难点重点：1、余弦函数和正切函数的图象及其主要性质；2、已知三角函数值求角。难点：1、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，利用正切线画出函数的图象，并使直线确实成为此图象的两条渐近线。

2、2、（1）根据 0 ，2 范围确定有已知三角函数值的角；（2）对符号 arcsinx 、arccosx 、arctanx 的正确认识；（3）用符号 arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示所求角。四. 知识分析学习必备欢迎下载1、余弦函数的图象变换（1）函数图象的左右变换，即由变换得到的图象。函数的图象，可以看作把的图象上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位而得到的。（2）函数图象的横向伸缩变换，即由变换得到图象。函数（且）的图象，可以看作把的图象上的所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。（3）函数图象的纵向伸缩变换，即由变换得到

3、的图象函数（a0且 a1）的图象，可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长（当a1时）或缩短（当 0a1） 或缩短（0a0）的最小正周期 t。注意：如果则最小正周期为 t。（3）余弦函数的奇偶性。由图像可以看出余弦曲线关于y 轴对称，因而是偶函数。也可由诱导公式cos( x) cosx 知，余弦函数为偶函数。（4）余弦函数的单调性。学习必备欢迎下载由余弦曲线可以知道：余弦函数ycosx 在每一个闭区间上，都从 1 增大到 1，是增函数，在每一个闭区间上，都从 1 减小到 1，是减函数，也不是说，余弦函数的单调区间是及。4、正切函数的性质（1）定义域： x|x r且 x，kz（2）值域： r ，

4、函数无最大值、最小值；（3）周期：；（4）奇偶性：是奇函数；（5）单调性：在每一个开区间，kz 内均为增函数，须注意的两个问题：正切函数 ytanx ，x（kz）是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数；函数 yatan()(a0，0)，其定义域由不等式（kz）得到，其周期为。5、正切函数的图象根据正切函数的定义域和周期， 我们取， 利用单位圆中的正切线，通过平行移动，作出的图象（如图 1），而后向左、右扩展得到函的图象（如图 2），并把它叫做正切曲线。学习必备欢迎下载图1 图 2 6、正切函数与正、余弦函数的比较正切函数，其定义域不是 r，又正切函数与正、余弦函数对应法则不同， 因

5、此一些性质与正、 余弦函数的性质有了较大的差别，如正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，反应在图象上是连续无间断点，而正切函数在r上不连续，它有无数条垂直于x轴的渐近线，图象被这些渐近线分隔开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间， 而正切函数在每一个区间上都是增函数。它们也存在大量的共性，如均为周期函数，且对而言，是奇函数，它的图像既可以类似地用正切线的几何方法作图，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为（）、（）、（），直线，直线（其中）。作出这三个点和这两条渐近线，便可得到在一个周期上的简图； 正弦函数与正切函数同是中心对称图形（

6、注意余弦函数同时也是轴对称图形）。函数的对称中心的坐标是，的值域为 r是显然的。学习必备欢迎下载还须注意的是，对正、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正、余弦函数的结论作一般的推广，须论证后加以应用，例如：的周期是的周期的一半，而与的周期却相同，均为。再如的周期可用最小公倍数法求， 而的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期。7、已知三角函数值求角的有关概念根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sinx a ( 1a1) 的角 x有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件 sinx a( 1a1)的角 x，记作 arcsina ，即 xarcsina ，其中 x

7、，且 asinx 。根据余弦函数的图象的性质，为了使符合条件cosxa(1a1)的角 x有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件 cosxa(1a1)的角 x， 记作 arccosa ， 即 xarccosa ， 其中 x，且 acosx. 。根据正切函数的图象的性质， 为了使符合条件tanx a(a 为任意实数 ) 的角 x有且只有一个，我们选择开区间（）作为基本的范围。在这个开区间内，符合条件 tanx a(a 为任意实数 ) 的角 x，记作 arctana ，即 xarctana ，其中x（），且 atanx 。注意：（ 1）arcsina 、arccosa

8、、arctana 都表示一个角，它们的正弦值、余弦值、正切值分别都是a。并且 arcsina 、arccosa 、arctana（）。（2）arcsina 、arccosa 中的 a，而 arctana 中的 ar 。8、已知三角函数值时角的表示三角函数值与角都在某一范围内变化时，三角函数值与角的对应关系如下表：学习必备欢迎下载9、已知三角函数值求角应注意的问题（1）已知角 x 的一个三角函数值求x，所得的角不一定只有一个， 角的个数要根据角的取值范围来确定， 这个范围应该在题目中给定。 如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：第一步，确定角 x 的可能是第几象限角

9、。第二步，若函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1。第三步，如果函数值为负数，则根据角x 可能是第几象限角得出（0，2）内对应的角如果它是第二象限角，那么可表示为x1+；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为或。第四步，如果要求出以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果。（2） arcsinx 、 arccosx 、 arctanx 这些符号，在解决某些非特殊角的问题 （例如立体几何中求两条异面直线的角、直线与平面所成的角、二面角等）时常用，所以应该了解它们的意义，并学会正确使用它们。（3）如果求得的角是特殊角，则最

10、好用弧度来表示。学习必备欢迎下载【典型例题】例 1. 画出函数 ycosx，的简图。分析： 运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线。解析： 按五个关键点列表：x 0 cosx 1 0 1 0 1 cosx 1 0 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：点评：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数的图象来得到的图象？同样的，能否从函数的图象得到函数的图象？例 2. 求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）分析： 根据基本函数的单调性来求解。解析： （1）求函数的单调递增区间由下式确定：，学习必备欢迎下载即函数的单调递增区间是。（2）函数的单调递增区间，由下式

11、确定：，x，即函数的单调递增区间是点评： 求形如的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“”视为一个“整体”；时，所列不等式的方向与的单调区间对应的不等式方向相同或相反。例 3. 求下列函数的周期：（1）（2）；（3）。分析：（1）先用诱导公式将转为正值，再用 t；（2）可利用绝对值的意义；（ 3）可用最小公倍数法。解析： （1）。学习必备欢迎下载（2）因为 y|sinx|的周期是，故 y|sin2x|的周期是。（3）y1cos3x 的周期是 t1，y2sin2x 的周期 t2。因为且 4 与 6 的最小公倍数是 12，所以。点评： 周期的求法除应用定义及有关结论外

12、，还可作出函数的图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法。如（2）题作出图象容易观察得出周期为。例 4. 求函数的定义域、周期和单调区间。分析： 根据正切函数的定义域、值域、单调性求解。解析： 函数的自变量应满足：即。函数的定义域为由于因此函数的周期为。由是增函数。学习必备欢迎下载即。因此，函数的单调递增区间为点评：一般地，函数的周期为，常常使用此公式来求周期，此函数周期可直接由得到。例 5. 若()，且 tancot，则必有（）a. b. c. +分析： 利用诱导公式化为同名的三角函数，再利用单调性进行比较。解析： 、。，且在（）上单调递增，【答案】 c 点评：比较三角函数值的大小要注

13、意将不同名的三角函数转化为同名的三角函数，再将自变量化在同一单调区间内，利用单调性比较大小。学习必备欢迎下载例 6. 已知 sin ，若满足：（1）（2）；（3）为第三象限角；（4）r。试分别求 。分析： 根据正弦函数图象的性质及诱导公式求解。解析：（1）因为正弦函数在闭区间上是增函数，所以符合sin 条件的角只有一个。又因为 sin，sin()， 所以。（2）因为 sin 0，所以是第三或第四象限角，由正弦函数的单调性，符合 sin 的角有两个。根据三角式sin() sin和sin(2)sin( )得或。（3）因为是第三象限角，在闭区间内有，所以符合条件sin 的第三象限角的集合是z。（4）由正弦函数的周期性可知：当或(k z) 时，sin，即所求的角的集合是或，kz。点评：对于， | a | 1， 这个方程的角可以表示成x1+arcsina或 x2+arcsina ，kz。学习必备欢迎下载例 7. 已知